\(\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}\) \(\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}\) \(\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}\) \(\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}\) \(\def\ident{\Longleftrightarrow}\) \(\def\thus{\Rightarrow}\) \(\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }\) \(\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }\) \(\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }\) \(\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }\) \(\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}\) \(\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}\) \(\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}\) \(\renewcommand{\geq}{\geqslant}\) \(\renewcommand{\leq}{\leqslant}\) \(\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}\) \(\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}\) \(\def\ex{\exists}\) \(\def\exo{\ex!}\) \(\renewcommand{\fal}{\forall}\) \(\renewcommand{\int}{\intop}\) \(\def\inf{\infty}\) \(\renewcommand{\tg}{\tan}\) \(\renewcommand{\phi}{\varphi}\) \(\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}\) \(\def\alp{\alpha}\) \(\def\lam{\lambda}\) \(\def\gam{\gamma}\) \(\def\eps{\epsilon}\) \(\def\sig{\sigma}\) \(\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}\) \(\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}\) \(\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}\) \(\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}\) \(\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}\) \(\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}\) \(\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}\) \(\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}\) \(\newcommand\E{\mathbbold{e}}\) \(\newcommand\F{\mathbbold{f}}\) \(\newcommand\G{\mathbbold{g}}\) \(\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}\) \(\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}\) \(\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}\) \(\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}\) \(\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}\) \(\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}\) \(\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}\) \(\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}\) \(\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}\) \(\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}\) \(\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}\)

Линейная алгебра #

Линейная алгебра

Линейная алгебра

Преподаватель : Михайлов Владислав Дмитриевич

Конспект : Руденький Н.В., Б\(22\)-В\(71\).

Лекция 15.02.2023 #

Теорема об обратимости матриц #

\(A^{-1}\) - обратная, если \(A^{-1}A =AA^{-1} = E\)
Теорема: \(A\) обратима тогда и только тогда, когда \(det{A} \neq 0, \ A^{-1} = \dfrac{1}{det{A}}\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix}\)
Доказательство:
- Необходимость: Пусть \(\exists A^{-1}: A^{-1}A = E, \ det{AB} = det{A} \cdot det{B} \implies det{A^{-1}} \cdot det{A} = det{E} = 1 \implies det{A} \neq 0\)
- Достаточность: Докажем, что \(A^{-1}\) обратная к \(A, \ det{A} \neq 0\).
- \(AA^{-1} =\dfrac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix} = E\)
- Предположим, что существует другая обратная матрица \(\ A^{-1} = X , \ Y: AY = YA = E\)
- \(X = X(AY) = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y\)

Свойства обратных матриц #

\((A^{-1})^{-1} = A\)
\((AB)^{-1} =B^{-1}A^{-1}\)
\((A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}\)
- Докажем \((1)\)
- \(A^{-1}A = E\)
- \(A^{-1}AA^{-1} = (A^{-1}A)A^{-1} = EA^{-1}\)
- Докажем \((2)\)
- \((AB)B^{-1}A^{-1} \ ? \ E\)
- \(A(BB^{-1})A^{-1} = AEA^{-1} = AA^{-1} = E\)

Вычисление обратных матриц #

По определению
Элементарными преобразованиями

Утверждение об элементарных преобразованиях #

Каждое элементарное преобразование есть умножение исходной матрицы на некую невырожденную матрицу, а именно:
Перемена мест строк (столбцов)
- \(\rho = E - B_{ii} - B_{jj} + B_{ij} + B_{ji}, \ B_{ii}\) , где \(b_{ij} = 0, b_{ii} = 1\)
Умножение \(i\) - строки на \(\lambda\)
- \(\rho = E - (1 - \lambda)B_{ii}\)
Сложение \(i, j\) - строк
- \(\rho = E + B_{ij}\)
Переход от \(A\) к \(E\) есть последовательность операций : \(\rho_{s}\rho_{s-1}\dots\rho_{1}A = E\)
\(\rho_{s}\rho_{s-1}\dots\rho_{1}AA^{-1} = EA^{-1}\)
\(\rho_{s}\rho_{s-1}\dots\rho_{1} = A^{-1}\)

Теорема о ранге матрицы #

\(rg{(A)} = r\)
Если в матрице \(A\) есть минор \(k\) порядка отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то \(rg(A) = k\)

Лекция 01.03.2023 #

Теорема о базисном миноре #

Любая строка базисного минора есть линейная комбинация базисных строк
- Докажем, что любая строка есть линейная комбинация базисных строк. Если cтрока базисная, то данное утверждение очевидно. Возьмем произвольную строку не обязательно входящую в базисный минор. Для удобства будем считать, что базисный минор порядка \(r\) в левом верхнем углу матрицы. Разложим определитель по правому столбцу.
  - \( \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1r} & a_{1j} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2r} & a_{2j} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{r1} & a_{r2} & \dots & a_{rr} & a_{rj} \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kr} & a_{kj} \end{vmatrix} = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \dots + a_{kj}A_{kj} = a_{1j}C_{1} + a_{2j}C_{2} + \dots + a_{kj}C_{kj} = 0\)
- Получим, что произвольная строка выражается через линейную комбинацию базисных.

Следствие из теоремы о базисном миноре #

Определитель матрицы равен \(0\) тогда и только тогда, когда его строки линейно зависимы
Доказательство:
- Необходимость: \(det{A} = 0 \implies\) строки \(A\) линейно зависимы.
- Достаточность : строки линейно зависимы \(\implies\) \(det{A} = 0\)

Системы линейных алгебраический уравнений #

\(\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{11}x_{1} + a_{11}x_{1} + \dots + a_{1n}x_{n} = b_{2} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots\dots \dots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \dots + a_{mn}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases} \end{equation*}\)
Набор чисел называется решением, если при подстановке в систему образуется тождество. В этом случае система совместна
Две системы эквивалентны, если множества их решений совпадают

Совместность однородной системы #

\(\left(b_{1}=b_{2} \dots = b_{m} = 0\right)\) Всегда совместна, так как имеется одно решение \(\left(x_{1}=x_{2} \dots = x_{m} = 0\right)\)

Теорема Кронекера - Капелли #

Система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы
- \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{22} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}\)
- \(\overline{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{22} & a_{13} & \dots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} & b_{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn} & b_{m} \\ \end{pmatrix}\)
Доказательство
- Необходимость: система имеет решение, тогда существует набор чисел \(x_{1} = c_{1}, x_{2} = c_{2}, \dots, x_{n} = c_{n}\). Тогда при подстановке в систему обращаются в тождество
- \(\begin{pmatrix} a_{11} \\ \dots \\ a_{m1} \\ \end{pmatrix} c_{1} + \begin{pmatrix} a_{12} \\ \dots \\ a_{m2} \\ \end{pmatrix} c_{2} + \dots + \begin{pmatrix} a_{1n} \\ \dots \\ a_{mn} \\ \end{pmatrix} c_{n} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ \dots \\ b_{m} \\ \end{pmatrix}\). Это означает, что столбец \(B\) есть линейная комбинация столбцов матрицы \(A \implies rgA = rg\overline{A}\)
- Достаточность: дано \(rang{A} = rang{\overline{A}}\). Доказать, что система совместна, то есть если добавление столбца свободных членов не меняет ранга расширенной матрицы, то этот столбец есть линейная комбинация столбцов \(A\). А это значит, что существуют ненулевое число \(c_{j}\)

Правило Крамера #

Рассмотрим квадратную систему с отличным от нуля определителем (Система Крамера)
- \(\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots + a_{1n}x_{n} = b_{1} & | & A_{1j}\\ a_{21}x_{1} + a_{21}x_{2} + \dots + a_{2n}x_{n} = b_{2} & | & A_{2j}\\ \dots + \dots + \dots + \dots + \dots =& | & \dots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \dots + a_{nn}x_{n} = b_{n} & | & A_{nj} \\ \end{cases} \end{equation*}\)
- \(x_{1}(a_{11} A_{1j} + a_{21} A_{2j} + \dots + a_{n1} A_{nj}) + \dots + x_{n}(a_{1n}A_{1j} + a_{2n}A_{2j} + \dots + a_{nn}A_{nj}) = \underbrace{b_{1} A_{1j} + b_{2} A_{2j} + \dots + b_{n}A_{nj}}_{\Delta j}\)
- \(x_{j} \Delta = \Delta_{j} \implies x_{j} = \dfrac{\Delta_{j}}{\Delta}\)

Исследование системы. Общее решение однородных и неоднородных систем #

Пусть \(rg{A} = r < n\). Без ограничения общности будем считать, что \(r\) уравнений, входящих в базисный минор и \(r\) неизвестных находятся в левом верхнем углу.
- \(\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots + a_{1r}x_{r} = - a_{1_r+1}x_{r + 1} - a_{2, r + 2}x_{r + 2} - \dots - a_{1n}x_{n} + b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \dots + a_{2r}x_{r} = - a_{2, r+1}x_{r + 1} - a_{2, r + 2}x_{r + 2} - \dots - a_{2n}x_{n} + b_{2} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{r1}x_{1} + a_{r2}x_{2} + \dots + a_{rr}x_{r} = - a_{r, r+1}x_{r + 1} - a_{2, r+2}x_{r + 2} - \dots - a_{rn}x_{n} + b_{r} \\ \end{cases} \end{equation*}\)
- Получим систему Крамера, которая имеет единственное решение, поскольку свободным переменным можно придавать любые значения, то решений бесконечно много
- \(\bigg|\{x_{r + 1}, x_{r + 2}, \dots, x_{n}\}\bigg|= n - r \implies n - r \) линейно независимых наборов свободных переменных. Все они и называются ФСР.
- Нормальная ФСР состоит из единиц и нулей: \(X_{1} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \dots \\ x_{r} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ \end{pmatrix}; \ X_{2} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \dots \\ x_{r} \\ 0 \\ 1 \\ 0\\ \dots \\ \end{pmatrix}; \ X_{3} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \dots \\ x_{r} \\ 0 \\ 0 \\ 1\\ \dots \\ \end{pmatrix}; \ \dots; \ X_{n - r} = \begin{pmatrix}x_{1} \\ \dots \\ x_{r} \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ 1 \\ \end{pmatrix}\)
Если сложить все решения ФСР с произвольными коэффициентами, то получим общее решение соответствующей однородной системы: \(X = c_{1}X_{1} + \dots + c_{n -r}X_{n-r}\)

Общее решение неоднородной системы #

Общее решение неоднородной системы \(X_{ОРНС} = X_{ЧРНС} + X_{ОРОС}\)

Лекция 15.03.2023 #

Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений #

\(\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} \dots a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} \dots a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \dots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} \dots a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{cases}\)
- Элементарными преобразованиями приводим расширенную матрицу системы к виду:
- \(\begin{pmatrix} 1 & a_{12} & \dots & a_{1n} \ | b_{1} \\ 0 & 1 & \dots & a_{2n}' \ | b_{2}' \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & a_{m-1n}' & a_{mn}' \ | b_{m}' \\ 0 & \dots & \dots &\dots | 0 \\ \end{pmatrix}\)
- \(a_{mn}' = a_{m-1n}' = 0 \neq b_{m}' \implies\) Система несовместна
- \(a_{m-1n}' = 0, a_{mn}' \neq 0 \implies\) У системы только одно решение
- \(a_{m-1n}' \neq 0, a_{mn}' \neq 0 \implies \) У системы больше одного решения

Линейные пространства #

Обозначение

\(\RR^{n}\)

Определение

Множество элементов любой природы называется линейным пространством этих элементов, если эти элементы подчиняются двум требованиям:
- Для любой пары элементов определен элемент этого же пространства, называемый суммой этих элементов, так что выполняется 4 аксиомы для \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \RR^{n}\):
  - \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)
  - \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)
  - \(\forall \vec{a}: \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\)
  - \(\forall \vec{a} \in \RR^{n} \ \exists \vec{a}': \vec{a}' + \vec{a} = \vec{0}\)
- На данном множестве определена операция умножения элемента пространства на число, со следующими свойствами:
  - \((\lambda \mu)\vec{a} = \lambda(\mu \vec{a})\)
  - \((\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}\)
  - \(\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}\)
  - \(\vec{a} \cdot 1 = \vec{a}\)
Примеры
- \(\RR^{2}\) по сложению и умножению
- Пространство функций заданных и непрерывных на \(\left[a;b\right]\)
- Пространство упорядоченных наборов чисел \(a = \left(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\right)\)
- Пространство всех многочленов \(P_{n}(x), \deg{P} \leq n\)

Некоторые свойства \(\RR^{n}\)#

Единственность нулевого элемента
- Предположим, что есть два различных нулевых элемента \(\vec{0_{1}}, \ \vec{0_{2}} \in \RR^{n}\). Взяв за нулевой элемент \(\vec{0_{1}}\), за произвольный \(\vec{0_{2}}:\) \(\vec{0_{2}} + \vec{0_{1}} = \vec{0_{2}}\). Наоборот: \(\vec{0_{2}}: \vec{0_{1}} + \vec{0_{2}} = \vec{0_{1}} \implies \vec{0_{1}} = \vec{0_{2}}\)
Единственность противоположного элемента для любого элемента \(\vec{a} \in \RR^{n}\).
- Пусть имеется два различных противоположных элемента для одного и того же \(\vec{a} \in \RR^{n}: \vec{a} + \vec{b_{1}} = \vec{0}\) и \(\vec{a} + \vec{b_{2}} = \vec{0} \implies\)\(\vec{b_{1}} = \vec{b_{1}} + \vec{0} = \vec{b_{1}} + (\vec{a} + \vec{b_{2}})= (\vec{b_{1}} + \vec{a}) + \vec{b_{2}} = \vec{0} + \vec{b_{2}} = \vec{b_{2}}\)
Нулевой элемент получается умножением любого элемента \(a \in \RR^{n}\) на число \(0 \in \RR\).
- \(0 \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot 0 + \vec{0} = \vec{a} \cdot 0 + \vec{a} + \vec{a}' = \vec{a} \cdot 0 + \vec{a} \cdot \vec{1} + \vec{a}' = \vec{a} \left(0 + \vec{1}\right) + \vec{a}' = \vec{a} \cdot 1 + \vec{a}' = \vec{a} + \vec{a}' = \vec{0}\)
Получение противоположного элемента для любого \(\vec{a} \in \RR^{n}\) с заданной операцией сложения элементов.
- Докажем, что \(\vec{a}' = \left(-1\right)\vec{a}\)
- \(\left(-1\right)\vec{a} = \left(-1\right)\vec{a} + \vec{0} = \left(-1\right) \vec{a} + \vec{a} + \vec{a}' = (-1 + 1) \vec{a} + \vec{a}' = 0 \vec{a} + \vec{a}' = \vec{0} + \vec{a}' = \vec{a}'\)

Базис и размерность \(\RR^{n}\)#

Совокупность элементов \(\vec{e}_{1}, \vec{e_{2}}, \dots, \vec{e_{n}} \in \RR^{n}\) называется линейно независимой, если \( \lambda_{1}\vec{e_{1}} + \lambda_{2}\vec{e}_{2} + \dots + \lambda_{n} \vec{e_{n}} = 0 \implies \) \(\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = \dots = \lambda_{n} = 0\).

MEPhI Docs