\(\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}\) \(\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}\) \(\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}\) \(\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}\) \(\def\ident{\Longleftrightarrow}\) \(\def\thus{\Rightarrow}\) \(\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }\) \(\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }\) \(\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }\) \(\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }\) \(\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}\) \(\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}\) \(\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}\) \(\renewcommand{\geq}{\geqslant}\) \(\renewcommand{\leq}{\leqslant}\) \(\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}\) \(\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}\) \(\def\ex{\exists}\) \(\def\exo{\ex!}\) \(\renewcommand{\fal}{\forall}\) \(\renewcommand{\int}{\intop}\) \(\def\inf{\infty}\) \(\renewcommand{\tg}{\tan}\) \(\renewcommand{\phi}{\varphi}\) \(\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}\) \(\def\alp{\alpha}\) \(\def\lam{\lambda}\) \(\def\gam{\gamma}\) \(\def\eps{\epsilon}\) \(\def\sig{\sigma}\) \(\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}\) \(\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}\) \(\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}\) \(\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}\) \(\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}\) \(\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}\) \(\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}\) \(\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}\) \(\newcommand\E{\mathbbold{e}}\) \(\newcommand\F{\mathbbold{f}}\) \(\newcommand\G{\mathbbold{g}}\) \(\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}\) \(\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}\) \(\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}\) \(\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}\) \(\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}\) \(\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}\) \(\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}\) \(\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}\) \(\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}\) \(\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}\) \(\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}\)

ЭВМ и Периферийные Устройства#

Кузьминова Алла Владимирована

Новиков Григорий Григорьевич, доцент кафедры 12

Структура курса: теория, потом практика

Межсемистровый контроль на 8 неделе

Любая «Н»ка подкрепляется бумажкой

Стоит слушать лекции Новикова Григория Григорьевича

Разбалловка#

  • 20 баллов за 1 - 8 работ

  • 30 за 9 - 16 работы
    штраф за несвоевременность сдачи

Литература#

  • Электронные версии http://dozen.mephi.ru/student/liter.him (htm?)

  • Канал Б.М. - электронные вычислительные машины и системы

  • В.В. Гуров - Основы теории и организации ЭВМ

  • Поспелов Д.А. - логические методы анализа и синтеза схем

  • Савельев А.Я. - Прикладная теория цифровых автоматов

  • Соловьев Г.Н. - Арифметические устройства ЭВМ

СЕМ1 Арифметические действия над числами в произвольной системе счисления#

Числа используются для изображения и записи величины
Одна и та же величина может быть написана различными методами

Напр: \(25\ (яблок) = XXV = 25_{10} = 1101_2 = 19_{16}\)

Что такое ч
Система счисления- система изображения чисел с помощью ограниченного количества символов

Основание Системы Счисления (написано снизу)

В позиционной системе счисления каждая позиция имеет свой уникальный вес:
2 3
2 - десятки, 3 - еденицы

Произвольное Н-разрядное десятичное число можно записать как

\[\overline{X} = \pm X_1 * 10^M-1 + X_2 * 10^{M-2} + ... + X_n * 10^{M-n}\]

\(X_i\) - число
\(M\) - разряд

\[\pm \sum^n_{i=1}{X_i * 10^{M-i}} = \pm 10^M * \sum^n_{i=1}{X_i * 10^{-1}}\]

\(10 \rightarrow p\) для любой системы

Для двоичной можем использовать 0, 1
Для p можем использовать 0, 1, 2 … p-1
Дляпредставления значений больше 10 мы используем буквы:

10

11

12

13

14

15

A

B

C

D

E

F

\(35.75_{10}\):
\(p=2:\; 100100.11_2 = 1*2^5 + 1*2^2 + 1*2^{-1} + 1*2^{-2}\)
\(p=8:\; 44.6_8 = 4*8^1 + 4*8^0 + 6*8^{-1}\)
\(p=16:\; 24.C_{16} = 2*16^1 + 4*16^0 + C*16^{-1}\)

Факторы для выбора системы счисления:

  1. Сложность выполнения арифметических операция

  2. Объём оборудования для хранения чисел

  3. Условия для создания апаратуры

Какие мы можем провести операции?

Сложение#

\(A_p = a_1\: a_2\: a_3\: ...\: a_n\)
\(B_p = b_1\: b_2\: b_3\: ...\: b_n\)
\(A_p + B_p = c_1\: c_2\: c_3\: ...\: c_n\)
\((a_i + b_i = c_i)\)

Таблица сложения для \(p=2\)#

\(0 + 0 = 0\)
\(1 + 0 = 1\)
\(0 + 1 = 1\)
\(1 + 1 = 10\)

Вычитание#

\(A_p = a_1\: a_2\: a_3\: ...\: a_n\)
\(B_p = b_1\: b_2\: b_3\: ...\: b_n\)
\(A_p + B_p = Г_1\: Г_2\: Г_3\: ...\: Г_n\)
\((a_i + b_i = Г_i)\)

Таблица вычитания для \(p=2\)#

\(0 - 0 = 0\)
\(1 - 0 = 1\)
\(1 - 1 = 0\)
\(10 - 1 = 1\)

Умножение#

\(p=2\)

\(a_i \setminus b_i\)

0

1

0

0

0

1

0

1

Например 6*5:

\(\;\;110\)
\(\,{}^*101\)
\(\overline{\;\;110}\)
\(\;000\)
\(110\)
\(\overline{11110}\)

Деление#

\(p=2\)

Примеры#

Сложение#

\(\:\:{8ED3}_{16}\)
\({}^+{A47A}_{16}\)
\(\overline{\:{1334D}_{16}}\)

Вычитание#

\(\:\:{D17E}_{16}\)
\({}^-{AE98}_{16}\)
\(\overline{\:\:\:\:{22E6}_{16}}\)

Умножение#

\(\:\:32_5\)
\({}^*43_5\)
\(\overline{\:\:201}\)
\(233\)
\(\overline{3031_5}\)

Деление#

\(3241_5 | \underline{21_5}\)
\(\underline{21}\;\;\;\;\;|130\)
\(\;\;144\)
\(\;\;\underline{113}\)
\(\;\;\;\;11\)

Ответ: (A:B) = \(130 (11) _5\)

ЛЕК 1#

Электронная Вычислительная Машина - устройство для автоматической обработки информации, представленной в цифровой форме, под управлением программы
Программа - записанный алгоритм
Не любую задачу можно алгоритмизировать, значит и написать для неё программу

Чарльз Бэббидж предложил такую структуру машины:

  • “склад” (storage) для хранения чисел, память

  • “мельница” (mill) - арифметическое устройство

  • устройство управления - устройство, которое определяет последовательность дейсвий

  • устройство вводы и вывода данных

Марк 1 - был построен с помощью шестерёнок
Мог производить 30 сложений/вычитаний в секунду
20 умножений с секунду и 5-10 делений в секунду

EINAC - первый ЭВМ, разработанный в IBM, был создан с помощью вакуумных ламп
5000 сложений/вычитаний в секунду
300-400 умножений в секунду
40 делений в секунду

4 декабря 1948 года был произведено первое изобретение в сфере электронной техники
25 декабря 1951 года СССР приняла в эксплуатацию первую действующую в СССР и Европе ЭВМ

БЭСМ
производила 10 тыс операций в секунду, 39-разрядные числа с плавающей точкой
имел оперативную памяти на 1024 слова и внешнее ЗУ

ЭВМ “МИФИ” (1957-1962)
Разработан Атомавяном, орифмитические снова выбрал Соловьёв
Зуев работал над ЗУ, Чернышёв разработал систему ввода-вывода

Эволюция использования компьютеров

Параметр

50-е

60-е

70-е

80-е

с 90-х

критерий эффективности использлования ЭВМ

машинные ресурсы

машинные ресурсы

человечечкие ресурсы, программы писать трудно

тружно формализовывать

полная скорость доступа к информации

расположение пользователя

-

-

-

-

-

тип пользователя

-

-

-

-

-

тип диалога

-

-

-

-

-

Поколения ЭВМ:

  1. лампы

  2. транзисторы

  3. интегральные микросхемы

ЛЕК 20.09.22#

формат - какие смысловое значения будут присвоены отдельным разрядам или группам разрядов в формате того самого X

любой форматможно представить ограниченым количеством разрядов

формат числа с плавающей точной представлен парой числе с фиксированной точкой

\(X = \pm 2^{\pm m} \sum^n_{i=1} x_i2^{-1}\)

мантисса нормализованная - правильная дробь (без целой части) можно, где первая цифра отлична от нуля.
представляется в ввиде числа с фиксированной запятой (слева)

порядок “экспонента” - целое число. представляется в виде числа с фиксированной запятой (справа)

Арифметические сложение

сумма в i-м разряде
\(S_i = X_i + Y_i + C_{i-1}\)
\(S_i = S_i-P\) при \(S_i \geq P\)

перенос в следующий i+1 разряд
\(C_i = \cases{0, X_i + Y_i +C_{i-1} < P \\ 1, X_i +Y_i + C_{i-1} \geq P}\)

Прямой код - когда знак хранится в первом бите, а в остальном - значение

при выполнении операция с прямым кодом можно использовать только числа с одинаковыми знаками

обратный код - если число положительное - протсо записываем в двоичном формате, если меньше нуля - интверсия

дополнительный код - то же, что в обратном, то добавь 1 к отрицательным числам

переполнение разрядной сетки

модифицированный обратный и дополнительный коды - дополнительно добавляем вперёд один разряд
в случае если первый бит и доп бит не равны - возникло переполнение

при переносе из знакового разряда стоит корректироватл числоа, добавляя 1

операция сдвига

  • логический

  • циклический

  • арифметический

Логические основы ЭВМ

  • формальный синтез комбинационных схем

  • постоение устройств с памятью

логическая переменная - может принимать два значения: истина, ложь

функция алгебры логики - такая функция, агрменты и значения которой принадлежит множеству из элементов “истина” и “ложь”

канонический способ представления ФАЛ следует из таблицы истинности
формат - какие смысловое значения будут присвоены отдельным разрядам или группам разрядов в формате того самого X

любой форматможно представить ограниченым количеством разрядов

формат числа с плавающей точной представлен парой числе с фиксированной точкой

\(X = \pm 2^{\pm m} \sum^n_{i=1} x_i2^{-1}\)

мантисса нормализованная - правильная дробь (без целой части) можно, где первая цифра отлична от нуля.
представляется в ввиде числа с фиксированной запятой (слева)

порядок “экспонента” - целое число. представляется в виде числа с фиксированной запятой (справа)

Арифметические сложение

сумма в i-м разряде
\(S_i = X_i + Y_i + C_{i-1}\)
\(S_i = S_i-P\) при \(S_i \geq P\)

перенос в следующий i+1 разряд
\(C_i = \cases{0, X_i + Y_i +C_{i-1} < P \\ 1, X_i +Y_i + C_{i-1} \geq P}\)

Прямой код - когда знак хранится в первом бите, а в остальном - значение

при выполнении операция с прямым кодом можно использовать только числа с одинаковыми знаками

обратный код - если число положительное - протсо записываем в двоичном формате, если меньше нуля - интверсия

дополнительный код - то же, что в обратном, то добавь 1 к отрицательным числам

переполнение разрядной сетки

модифицированный обратный и дополнительный коды - дополнительно добавляем вперёд один разряд
в случае если первый бит и доп бит не равны - возникло переполнение

при переносе из знакового разряда стоит корректироватл числоа, добавляя 1

операция сдвига

  • логический

  • циклический

  • арифметический

Логические основы ЭВМ

  • формальный синтез комбинационных схем

  • постоение устройств с памятью

логическая переменная - может принимать два значения: истина, ложь

функция алгебры логики - такая функция, агрменты и значения которой принадлежит множеству из элементов “истина” и “ложь”

канонический способ представления ФАЛ следует из таблицы истинности

СЕМ 23.09.22#

Минимизация ФАЛ
по методу Куайна - Мак-Класки

СДНФ \(X_1 X_2 X_3 \cup \upline{X_1} X_2 X_3\)
(1 1 1) (0 1 1)
СКНФ \((X_1\cup X_2) \cap (\upline{x_1} \cup \upline(X_2))\)
(0 0) (1 1)

Алгоритм

  1. термы \(\rightarrow\) бинарный код

  2. группы, с равным количеством 1

  3. сравнение в группах (склеивание)
    \(X_1 X_2 X_3 \cup X_1 X_2 \upline X_3 = X_1 X_2\)

  4. Составляем таблицу исходных теоремы фин \(\rightarrow\) столбцы, минимизируем термы

Пример \(f(x ,y, z) = \sum(6, 7, 2, 1, 0)\)
110 111 010 001 000

3-й ранг
0-я группа 000
1-я группа 010 001
2-я группа 110
3-я группа 111

2-й ранг
0-я группа 0-0,00-
1-я группа -10,—
2-я группа 11-
нинтермы

\(\;\)

110

111

010

001

000

0-0

x

x

00-

x

x

-10

x

x

11-

x

x

нужено минимум по кресту из каждого столбца

\(f_{МДНФ}=\upline{x}\ \upline y\cup x\ y\cup\upline x\ \upline z = \upline{x}\ \upline y\cup x\ y\cup y\ \upline z\)

Пример \(f(x, y, z) = \prod(6, 5, 4, 3, 1)\)
110 101 100 011 001

3-й ранг
0-я группа
1-я группа 100, 001
2-я группа 110, 101, 011
3-я группа

2-й ранг
0-я группа
1-я группа 1-0, 10-, —, —, -01, 0-1
2-я группа

\

110

101

100

011

001

1-0

x

x

10-

x

x

-01

x

x

0-1

x

x

\(f_{МДНФ} = (\upline x \cup z)(x\cup\upline z)(\upline x \cap y) = (\upline x \cup z)(x\cup\upline z)(y\cup\upline z)\)

СЕМ 30.09.22#

Картинка 1 Картинка 2 Картинка 3 Картинка 4 Картинка 5

ЛЕК 04.10.22#

n переменных
набор переменных - неповторимое сочитание

двоичный эквивалент - число, записанное в двоичном формате
номер набора - величина двоичного квивалента

Гравифечкие метода минимизации ФАЛ
Диаграммы Вейча

b

notb

a

ab

a not b

not a

not a b

not a not b

Логический синтез комбинационного сумматора#

\(S_i(x_i, y_i, c_{i-1}) = x_i + y_i +c_{i-1}\)

flowchart LR a((Xi)) --> b["f(xi,yi,ci-1)\n \n \n"] c((Yi)) --> b d(("Ci-1")) --> b b --> e((Si)) & f((Ci))

xi

yi

ci-1

si

ci

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

далее записываем как ФАЛ и минимизируем

СЕМ 07.10.22#

Минимизация неполностью определённых ФАЛ
Пример 1

abc

f(a, b, c)

000

1

001

0

010

0

011

0

100

-

101

1

110

1

111

-

b

b

-b

-b

a

1

.

1

.

-a

0

0

0

1

-c

c

c

-c

Алгоритм НДНФ

  1. создаём эквивалентную функцию: 0 \(\rightarrow\) 0, 1 \(\rightarrow\) 1, “-” \(\rightarrow\) 1

  2. МДНФ эквивалентной функции

  3. анализируем МДНФ эквивалентной (исключаем лишние/избыточные члены)

  4. теперь мы нашли

Пример 2 \(F(a, b, c, d) = \sum (0, 5, 8, 12, 15)\)
запрещённые наборы - X = (1,2,3,10,13,14)

min ДНФ от F - ?

N

a

b

c

d

F

\(\tilde F\)

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

-

1

2

0

0

1

0

-

1

3

0

0

1

1

-

1

4

0

1

0

0

0

0

5

0

1

0

1

1

1

6

0

1

1

0

0

0

7

0

1

1

1

0

0

8

1

0

0

0

1

1

9

1

0

0

1

0

0

10

1

0

1

0

-

1

11

1

0

1

1

0

0

12

1

1

0

0

1

1

13

1

1

0

1

-

1

14

1

1

1

0

-

1

15

1

1

1

1

1

1

C6 минимизация

b

b

-b

-b

a

1

1.

1

-c

a

1.

1

1.

c

-a

1.

1.

c

-a

1

1.

1

-c

-d

d

d

-d

\(\tilde F = ab\cup \upline {ab} \cup \upline {bd} \cup \upline{ac}d\)

0(0000)

5(0101)

8(1000)

12(1100)

15(1111)

-

-

-

-

-

-

\(ab\)(11–)

x

x

\(\upline {ab}\)(00–)

x

\(\upline {bd}\)(-0-0)

x

x

\(\upline {ac}d\)(0-01)

x

\(min \tilde F_{МДНФ}(a,b,c,d) = ab \cup \upline{bd} \cup \upline{ac}d\)

для МКНФ используем нули для неопределённых знаяений

(для КНФ мы делаем единицы для abcd и пишем в таблицу для вычеркивания ненужных обратные значения и используем 0 как форма записи)

ЛЕК 11.10.22#

Солько будет 1+1
Хорошо ли, что дна и та же штука обозначается по разному

Значения суммтора исходят из арифметической операции, но явялется логической функцией

Минимизировать - чтобы опимизировать (вот что начальство делает с преподавательским составом XD)

Потенциальное представление логическийх переменных - напражением в проводе
больше или равно (3.5 вольт) - “1”
меньше или равно (0 вольт) - “0”
между - не несёт информации

при переходе из одного состояния в другой тратятся время и энергия

импульсный сигнал - изменение во времени сигнала несущего значение логической переменной, из исходного состояния в противоположенное
и обратно (два раза)

один раз - переход

осциллограф - устройство, ползволяющее увидеть развёртку во времени фрагмента периодического сигнала

временная диагламма - условное изображение состояния логическийх сигналов на осях времени

логическая схема устройства - представление логических операций в графическом виде, с помощью условных графическийх обозначенияй

правила рисования схем:

  • входы слева, выходы справа

Принципы неймана:

  1. машины на электронных элементах должны работать на в десятичной а в двоичной система счиасления

  2. эвм должны управляться с помощью программ, расположенной в отдельном блоке - запоминающем устройстве (ЗУ), обладающем достоточной ёмкостью и скоростью чтения/записи

  3. программа, и числа, с которыми оперирует машина представляются в двоичном коде - и данные и программу можно преобразовывать одними и теми же элементами

  4. иерархическая организация памяти

  5. арифм устройстваконструируются на основе схем, выполняющих операцию сложения

  6. великий принцип неймана: для ускорения используем паралелизацию - способ превзойти физические ограничения по скорости

Классическая эвм:

flowchart TB z[Запоминяющее устройство] alu[Арифметика-Логическое устройство] y[Устройство управления] z --> |Операнды| alu z --> |Команда| y y --> |Адреса команд и данных| z alu --> |Результат| z alu --> |Признаки результата| y y --> |Управляющие сигналы| alu

Функционал устройства классического эвм

запоминающее устройство - память - набор ячеек с присвоенными адресами
арифметическо-логическое устройство - выполняет арифметические и логические операции

СЕМ 14.10.22#

Формы представления чисел в ЭВМ
Число позиций
\(X_p=\pm p^m\sum^n_{i=1}x_ip^{-1}\)
n - количество разрядов
m - количество разрядов целой части

Фиксированная запятая#

1.1 m = const
1.2 m = 0
\(X_p= \pm \sum ^ n _{i=1}x_ip^{-i}\)

Формат числа

Знак

\(2^{-1}\)

\(\dots\)

\(2^{-n}\)

n+1 ячеек

1.3 m = n

Знак

\(2^{n-1}\)

\(x^{n-2}\)

\(\dots\)

\(2^1\)

\(2^0\)

n+1 ячеек

Представление числе с плавающей запятой#

\(m\neq cost\)
m - порядок
\(X_p=\pm \sum ^n_{i=1}x_ip^{-i}=\pm(x_12^{-1} + x_22^{-2} + \dots + x_n2^{-n})\) - мантисса

\(m \geq n\) - целое число
\(m \leq 0\) - дробное число
\(1\leq m\leq n\) - смешанное число

|Знак порядка| \(2^{m-1}\)|\(\dots\)|\(2^0\)|Знак мантиссы|\(2^{-1}\)|\(\dots\)|\(2^{-n}\)|
количество ячеек - n

Нормализация числа#

\(p^{-1}<|\sum_{i=1}^nx_ip^{-i}|<1\)
\(0.1_2\) \(|M|<1\)

Нормализованное число
\(10^{-2} \cdot 0.989137\)
Ненормализованное число
\(10^{-1} \cdot 0.0989137\)

Смещённый порядок#

\(M_{машин}\)

.

Знак числа

.

Мантисса нормализованная

\(М_{машин}\) (машинный порядок) = \(M_{числа} +2^{n_{поряд}-1}\)

\(n_{поряд}\) - разряд порядка

\(M_{числа}\) - число, на которое сдвигаем число

  1. Порядок \(-78.47_{10}\)
    \(n_{пор}=5\)
    \(n_{ман}=16\)

\(78/2=39\ ост\ 0\)
\(39/2=19\ ост\ 1\)
\(19/2=9\ ост\ 1\)
\(9/2=4\ ост\ 1\)
\(4/2=2\ ост\ 0\)
\(2/2=(1)\ ост\ 0\)
\(78_{10}=1001110_2\)

  1. \(0.47_{10} = 0111100001010_2\)

\(A_1 = 1001110,0111100001010\)

Нормализуем

\(M_{маш} = +7+2^{5-1}=6+16=23_{10}=10111_2\)

приводим к 16 разрядам
\(10111.1.1001110011110000|1010\)
\(10111.1.1001110011110001\)

СЕМ 28.10.22 Машинная методика выполнения арифмитических операций#

П.К. - прямой код
О.К. - обратный код
Д.К. - дополнительный код
М.О.К. - модифицированный обратный код
М.Д.К. - модифицированный дополнительный код

  1. Операция суммы A + B \(\rightarrow\) сумматор

  2. Операция вычитания A - B \(\rightarrow\) сумматор
    \(A = 0 . a_1 a_2 \dots a_n > 0\), то
    \(\cases{[A]_{пк} \\ [A]_{ок}\\ [A]_{дк}} = 0 a_1 a_2 a_4\)
    \(\cases{[A]_{мок} \\ [A]_{мдк}}= 0 0 . a_1 a_2 a_3\)

\(B = 0 . a_1 a_2 \dots a_n < 0\), то
\([B]_{пк} = 1. a_1 a_2 a_4\)
\([B]_{ок} = 1. \upline a_1 \upline a_2 \upline a_4\)
\([B]_{дк} = 1. \upline a_1 \upline a_2 \upline a_4\)
\(1\)
\([A]_{мок} = 11.\upline a_1 \upline a_2 \upline a_3\)
\([A]_{мдк} = 11.\upline a_1 \upline a_2 \upline a_3\)
\(1\)

пк \(\rightarrow\) ок
ок + 1

  1. Алгебраическое суммирование для чисел пк
    \(A_{пк} = \cases{A, A\geq 0\\|A|+1, A < 0}\)

  2. Алгебраическое суммирование ок
    \(A_{ок} = \cases{0.a_1a_2a_3, A\geq 0\\1.\upline a_1 \upline a_2 \upline a_3, A< 0}\)

Пример \(A_{ок} = 0.0111, B_{ок}=0.1101\)
\(0.0111\)
+
\(\dnline {0.1101}\)
\(1.0100\)
переполнение положительное

\(0.xx + 0.xx = 1.xx\)

Прмер \(A_{ок} = 0.1101, B_{ок}=-0.1011 = 1.1011\)
\(-0.1101 = A_{ок}\)
\(+\)
\(-1.1011 = B_{ок}\)
\(10.1000\)

переносим первую еденичку при 10
\(0.1000\)
\(+\)
\(1\)
\(0.1001\)

Недостаток. Неоднозначность нуля
+0 \(\rightarrow\) 0.000.0
-0 \(\rightarrow\) 1.111.1

Алгоритм суммы числа дк
\(A=0.a_1a_2a_3, A\geq 0\)
\(A=1.\upline a_1\upline a_2\upline a_3 +1, A<0\)

Пример \(A_{пк} = 0.1011, B_{пк}=0.1010\)
\(0.1011 (дк)\)
\(+\)
\(0.1010 (дк)\)
\(1.0101\)

переполнение положительное

\(A_{ок} = 0.1101\)
\(B_{ок}=1.1011+1 = 1.1100\)

\(0.1101\)
\(+\)
\(1.1100\)
\(10.1001 (дк)\)

правило дк: игнорируем первую единичку при 10

Неодназначность дк
+0 \(\rightarrow\) 0.000.0
-0 \(\rightarrow\) 1.111.1 + 1
при 10 игнорируем 1

Представление в мок

Алгоритм МОК МДК
\(знак1 | знак2 | . |\ |\)
A > 0
\(00.\_\_\_\)
A < 0
11.___

переполнения
10.____ - отрицательное
01.____ - положительное

  1. Сложение зад ДК, исп МДК, раз ПК

\(A_{дк} = 1.110100\)
\(B_{дк} = 0.101111\)
\(11.110100\)
\(+\)
\(00.101111\)
\(100.100011\)
игнорируем \(00.100011\)

\(C_{пк}=0.100011\)

  1. Вычтаиние зад пк, исп мок, рез пк
    \(A_{пк}=1.010101\)
    \(B_{пк}=0.011011\)

\(A_{мок} = 11.101010\)
\([-B]_{ок}=1.100100\)
\([-B]_{мок}=11.100100\)

\(11.101010\)
\(+\)
\(11.100100\)
\(111.001110\)
\(11.001111 (мок)\)
\(1.001111(ок)\)
\(1.110000(пк)\)

СЕМ 11.11.22#

Операции умножения чисел с фиксированной запятой (ПК и ДК)

\(X_{пк} = Зн_х . х_1 х_2 х_3 х_4 \dots х_n\)
\(Y_{пк} = Зн_y . y_1 y_2 y_3 y_4 \dots y_n\)
\(Z_{пк} = зн_z . z_1 z_2 z_3 \dots z_n\)
\(Z = X * Y = \)

  1. \(Зн_z = Зн_x \oplus Зн_y\)
    |Зн х|Зн у| Зн z|
    |-|-|-|
    |0|0|0|
    |0|1|1|
    |1|0|1|
    |1|1|0|

  2. \(0.x_1x_2x_3 * 0.y_1y_2y_3 = 0.z_1z_2z_3\)
    M = 2n

\(Z = X*Y = X*(y_1*2^{-1} + y_2 * 2 ^ {-2} \dots y_n * 2^{-n})\)
\(= X * 2^{-1} *y_1 + X * 2^{-2} *y_2 \dots X * 2^{-n} *y_n\)
схема горнера
\(Z = (\dots((O + X * y_n) * 2^{-1} + X*y_{n-1})*2^{-1} \dots + X*y_1) * 2^{-1}\)
\(O + X * y_n = z_1\)
\((O + X * y_n) * 2^{-1} + X*y_{n-1} = z_2\)

Пример 1#

\(X_{пк} = 1.1010\)
\(Y_{пк} = 0.1011\)
\(Z_{пк} = X_{пк} * Y_{пк}\)

  1. \(Зн_{z} = 1 \oplus 0 = 1\)
    \(|X| = 0.1010\)
    \(|Y|=0.1011\)

  2. \(x*2^{-1}*y_1 = 0.01010\)
    \(x*2^{-2}*y_2=0.00000\)
    \(x*2^{-3}*y_3 = 0.0001010\)
    \(x*2^{-4}*y_4 = 0.00001010\)
    \(= 0.01101110\)
    Ответ \(Z_{пк} = 1.01101110_{пк}\)
    Последние нули в ответе оставляем

Пример#

\(X_{пк} = 1.1101\)
\(Y_{пк} = 1.1011\)
\(Z_{пк} = X_{пк} * Y_{пк}\)

  1. \(Зн_{z} = 1 \oplus 1 = 0\)

  2. \(0.0000\)
    \(x*y_1=0.1101\)
    \(0.1101 = \sum_1\)

    \(0.01101 = \sum_1*2^{-1}\)
    \(x*y_3=0.1101\)
    \(1.00111 = \sum_2\)

    \(0.100111 = \sum_2 * 2^{-1}*\)
    \(0.000000\)
    \(0.100111 = \sum_3\)

    \(0.0100111 = \sum_3*2^{-1}\)
    \(0.1101\)
    \(1.0001111 = \sum_4\)

    \(0.10001111 = \sum_4*2^{-1}\)

Ответ \(0.10001111\)

СЕМ 18.11.22#

Опер РКН ФЗ
\(X_{дк} = x_0 x_1 \dots x_n\)
\(Y_{дк} = y_0 y_1 \dots y_n\)
\(Z_{дк} = z_0 z_1 \dots z_n\)
\(Z = X * Y\)

  1. начинаем со старшего разряда

\(Z = X(y_1-y_0) 2^0 + X2^{-1}(y_2-y_1) + \dots + X2^{-n}(y_{n+1}-y_{n})\)

Пример 1 \(X_{дк} = 0.10101, Y_{дк}\) = 1.01101==0==

такт

\(y_i\)

\(y_{i-1}\)

разность

1

0

1

-1

\(X_{дк} = 1.01011 * 2^0 = 1.01011\)

2

1

0

1

\(X_{дк} = 0.10101 * 2^{-1} = 0.010101\)

3

1

1

0

\(X_{дк} = 0 * 2^{-2} = 0\)

4

0

1

-1

\(X_{дк} = 1.01011 * 2^{-3} = 1.11101011\)

5

1

0

1

\(X_{дк} = 0.10101*2^{-4} = 0.000010101\)

6

==0==

1

-1

\(X_{дк} = 1.01011*2^{-5} = 1.1111101011\)

Сумма 101.1001110001

\(Z = 1.1001110001_{дк}\)

\(- X_{дк}\) = ?
\(X_{пк} = 0.10101\)
\(-X_{пк} = -0.10101 = 1.10101\)
\([-X_{пк}]_{дк} = 1.01010 + 1 = 1.01011 = -X_{дк}\)

  1. начинаем со страшего разряда
    \(Z = (\dots ((0 + X(y_{n+1}-y_n)) 2^{-1} + X(y_{n}-y_{n-1})2^{-1}) \dots + X(y_2-y_01))2^{-1} + X(y_1-y_0)\)
    \(X = 0.10101\)
    \(Y = 1.01101\)==0==

такт

\(y_i\)

\(y_{i-1}\)

разность

1

0

1

-1

\(X_{дк} = 1.01011\)

2

1

0

1

\(X_{дк} = 0.10101\)

3

1

1

0

\(X_{дк} = 0\)

4

0

1

-1

\(X_{дк} = 1.01011\)

5

1

0

1

\(X_{дк} = 0.10101\)

6

==0==

1

-1

\(X_{дк} = 1.01011\)

\(0+1.01011 = 1.01011 = \sum_1\rightarrow 1p\)
1.01011 + 0.10101 = ==1==0.010101 = \(\sum_2 \rightarrow 1p\)
\(0.0010101 + 1.01011 = 1.1000001 = \sum_3 \rightarrow 1p\)
\(1.11000001 + 0 = 1.1100001 = \sum_4 \rightarrow 1p\)
1.111000001 + 0.10101 = ==1==0.100010001 = \(\sum \rightarrow 1p\)
0.10100010001 +1.01011 = 1.1001110001

\(Z = 1.1001110001_{дк}\)

ЛЕК 22.11.22#

Как впихнуть невпихуемое?
Каким образом код можно преобразовать из паралельное (нмогоразрядное) в … - мультиплексирование
Мультиплексер - цифровой коммутатор
MUX
выбирает из нескольких данных ему сигналов
мультиплексер - базис

Демультиплексер - дешифратор - на фходе имеет позиционный двоичный код а на выходе имеет унитарный двоичный код

Время течёт равномерно, непрерывно из прошлого черезнастоящее в будущее

Время обычно понимается в двух видах, физическое и искуственное - сделано с помощью машин, отмеряющих кванты верменеи - такты - оно работает из-за синхронизации

этим занимается генератор тактовых импульсов - нет входов, один выход
все события происходят одновременно с этими тактами
моменты времени
\(\emat{\dots & t-1 & t & t+1 & \dots}\)
Период - время между одноимёнными частиями такта
\(F = \frac 1 T\)

Память - способность сохранять состояние
\(t \rightarrow t+1\)

Состояние - значение логической переменной - в какой момент времени

\(Q(t)\) - состоярие сейчас
\(Q(t+1)\) - состояние в следующий момент времени
\(Q(t) \rightarrow Q(t+1)\) - состояние в переходе

Тригер - элемент имеющий признаки: два устойчивые состояния, два взаимно инверсных входа, управляющие входы

состояние в текущий момент времени под возжействием внешних сигналов пораждает состояние в следующий момент времени

обратные связи - для схемы стрелки пирса

табоица переходов - показывает переход состояния из сейчас в следующее состояние

С10 Операция деление Ф3 ПК, ДК#

\(X_{пк} = Зн\ .x_0 x_1 \dots x_n\)
\(Y_{пк} = Зн\ .y_0 y_1 \dots y_n\)
\(Z_{пк} = Зн\ z_0 .z_1 \dots z_n\)

\(Z_{пк} = \frac {X_{пк}}{Y_{пк}}\)

  1. Определеяем знак Z = знак x \(\oplus\) знак y

  2. \(Z = (0.x_1 x_2) / (0.y_1 y_2)\)

Методика деления со сдвигом остатка (пк)#

\(\alp_i = \cases{2\alp_{i-1} - y, \alp_{i-1} \geq 0 \\ 2\alp_{i-1} + y, \alp_{i-1} < 0}\)

Если \(\cases{\alp_u \geq 0 \thus z_i = 1\\\alp_i < 0 \thus z_i=0}\)

\(\alp_0 = |x|-|y|, \cases{\alp_0 \geq 0 \thus z_0 = 1 \\ \alp_0 < 0 \thus z_0=0}\)

\(2\alp_{i-1} - Y_{пк} \thus 2\alp_{i-1} + (-Y_{дк})\)

Пример#

\(X_{пк} = 1.1001\)
\(Y_{пк} = 0.1011\)

  1. \(Зн = 1 \oplus 0 = 1\)

  2. \(-Y_{дк} = 1.0101\)
    \(0.1001 (|x|)\)
    \(1.0101 (-y)\)
    \(1.1110=\alp_0 <0\)
    \(Z_0 = 0\) след опер +

\(1.1100 (2\alp)\)
\(0.1011 (y)\)
\(00111 = \alp_1 \geq 0 Z_1 = 1\ оп -\)

\(0.1110(2\alp_1)\)
\(1.0101 (-y)\)
\(0.0011 = \alp_2 \geq 0 Z_2 = 1\ сл -\)

\(0.0110 (2\alp_2)\)
\(1.0101 (-y)\)
\(1.1011 = \alp_3 < 0 Z = 0\ сл +\)

\(1.0110 (2\alp_3)\)
\(0.1011(y)\)
\(0.0001 = \alp_4 \geq 0 Z_4 = 1\)

и тд до бесконечности

Ответ \(Z_{пк} = 10.1101_{пк}\)

Методика для дк#

\(X_{дк} = x_0.x_1x_2\), \(x_0 - знак\)
\(Y_{дк} = y_0 .y_1 y_2\), \(y_0 - знак\)
\(Z_{дк} = z_0 . z_2 z_2\) \(|Z| < 1\)

\(\alp_1 = \cases{2\alp_{i-1} + [-Y_{дк}], Зн\alp_{i-1} = Зн Y\\2\alp_{i-1}+Y_{дк}, Зн \alp_{i-1} \neq Зн Y}\)

Первый шаг
вместо \(2\alp_{i-1} \rightarrow x_{дк}\)
\(Зн \alp_{i-1} \thus Зн x = x_0\)

Пример#

\(X = 1.0111_{дк}\)
\(Y = 1.0011_{дк}\)
\(-Y_{дк} = 0.1101\)

  1. Зн X = Зн Y
    |X| - |Y|
    \(1.0111\)
    \(0.1101\)
    \(0.0100 = \alp_0\)
    \(Зн \alp_0 \neq Зн Y , Z_0 = 0\)
    \(0.1000\)
    \(1.0011\)
    \(1.1011\)
    \(Зн \alp_1 = Зн Y , Z_1 = 1\)
    \(1.0110\)
    \(0.1101\)
    \(0.0011\)
    \(Зн \alp_2 \neq Зн Y, Z_2 = 0\)
    \(0.0110\)
    \(1.0011\)
    \(1.1001\)
    \(Зн \alp_3 = Зн Y, Z_3 = 1\)
    \(1.0010\)
    \(0.1101\)
    \(1.1111\)
    \(Зн \alp_4 = Зн Y , Z_4 = 1\)
    и тд до бесконечности
    Ответ \(Z_{дк} = 0.1011_{дк}\)

Арифметические операции с числами с плавающей точкой#

Умнож и деление
Нормализация

\(X = M_x 2^{m_x} = S_x x_1 x_2 \dots\)
\(Y = M_y 2^{m_y} = S_y y_1 y_2 \dots\)
\(M_x, M_y\) - мантиссы, нормализованные
\(S_x, S_y\) - знаки чисел

\(Z_1 = XY = (M_x \cdot M_y) \cdot2 ^{m_x + m_y}\)
\(Z_2 = \frac X Y = (\frac {M_x} {M_y}) \cdot2^{m_x-m_y}\)

Пример 1#

\([M_x]_{дк} = 0.110\)
\([M_y]_{дк} = 0.011\)

\([M_{XY}]_{мдк} = 00.110 +00.011 = 0.1001_{мдк}, П(+)\)
\([M_{\frac X Y}]_{мдк} = 00.110 + 11.101 = 100.011_{мдк}\)

Ответ \(01.001_{мдк}, П(+)\)

\(00.011_{мдк}\)

Порядок смещения (машинный)#

\(m_{маш} = m_{числа} +2^{n_п}\)
\(n_п\) - разрядность порядка

\(m_{XY_{маш}} = m_{X_{маш}} + m_{Y_{маш}} - 2^{n_п-1}\)
\(m_{\frac{X}{Y}_{маш}} = m_{X_{маш}} - m_{Y_{маш}} + 2^{n_п-1}\)

Пример 2
\(m_{X_{маш}} - 1110\)
\(m_{Y_{маш}} = 1011\)

\(m_{XН_{маш}} = 14+11-8 = 17_{10} = 10001_2, Предст\)
\(m_{\frac{X}{Y}_{маш}} = 14-11+8 = 11_{10} = 1011_2\)
Ответ \(10001_2, пр\)
\(1011_2\)

СЕМ 16.12.22#

Двоично-десятичная СС
Алгоритм действия
Методика сложения В СС 8421

десят числа

\(2^3=8\)

\(2^2=4\)

\(2^1=2\)

\(2^0=1\)

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

2

0

0

1

0

3

0

0

1

1

4

0

1

0

0

5

0

1

0

1

6

0

1

1

0

7

0

1

1

0

8

1

0

0

1

9

1

0

0

0

10

1

0

1

1

11

1

0

1

0

12

1

1

0

1

13

1

1

0

0

14

1

1

1

1

15

1

1

1

0

16

0

0

0

1

17

0

0

0

0

8421+3 - сдвиг на три позиции вниз

Сложение

  1. десятич цифра -Ю двоичный эквиивалент (тетрады)

  2. Послед сумм тетрады (попрев 2 арф) \(\thus\) предварит \(\sum\)
    \(\geq 16\) перенос +0110
    \(10-15\) перенос искуств + 0110
    нет переноса < 10

  3. Коррекция преде раз

  4. Окончат результат

Пример 1#

Сумма в 8421

Знак разряд

\(548_{10}\)

0

0101

0100

1000

\(279_{10}\)

0

0010

0111

1001

1000

1100

==1==0001

предв \(\sum\)

0110

0110

коррекция

1000

==1==0010

0111

8

2

7

+проверка

Ответ: \(x+y = 0,1000\ 0010\ 0111_{8421}\)

для +3
коннекцря +0011
нет переноса +1101

Пример 2#

Сумма в 8421 + 3

\(2508_{10}\)

0

0101

1000

0011

1011

\(0196_{10}\)

0

0011

0100

1100

1001

0

1000+1101+10101

1101+1101=11010

10000+0011=0011

10100

2

7

0

4

положительная проверка

Ответ: \(0,0101\ 1010\ 0011\ 0111_{8421+3}\)