\(\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}\) \(\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}\) \(\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}\) \(\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}\) \(\def\ident{\Longleftrightarrow}\) \(\def\thus{\Rightarrow}\) \(\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }\) \(\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }\) \(\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }\) \(\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }\) \(\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}\) \(\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}\) \(\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}\) \(\renewcommand{\geq}{\geqslant}\) \(\renewcommand{\leq}{\leqslant}\) \(\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}\) \(\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}\) \(\def\ex{\exists}\) \(\def\exo{\ex!}\) \(\renewcommand{\fal}{\forall}\) \(\renewcommand{\int}{\intop}\) \(\def\inf{\infty}\) \(\renewcommand{\tg}{\tan}\) \(\renewcommand{\phi}{\varphi}\) \(\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}\) \(\def\alp{\alpha}\) \(\def\lam{\lambda}\) \(\def\gam{\gamma}\) \(\def\eps{\epsilon}\) \(\def\sig{\sigma}\) \(\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}\) \(\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}\) \(\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}\) \(\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}\) \(\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}\) \(\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}\) \(\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}\) \(\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}\) \(\newcommand\E{\mathbbold{e}}\) \(\newcommand\F{\mathbbold{f}}\) \(\newcommand\G{\mathbbold{g}}\) \(\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}\) \(\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}\) \(\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}\) \(\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}\) \(\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}\) \(\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}\) \(\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}\) \(\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}\) \(\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}\) \(\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}\) \(\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}\)

Математический Анализ

Содержание

• Математический Анализ

  • Литература

  • Разбалловка

  • ЛЕК 1

  • ЛЕК 2

  • ЛЕК 09/19/22

  • СЕМ 21.09.22

  • ЛЕК 22.09.22

  • ЛЕК 29.09.22

  • ЛЕК 03.10.22

  • ЛЕК 06.10.22

  • ЛЕК 13.10.22

  • ЛЕК 17.10.22

  • ЛЕК 20.10.22

  • ЛЕК 27.10.22

  • 24.11.22

  • 5.7 непрерывность функции на множестве

  • ЛЕК 12.12.22

  • Лек 08.02.23

Горбатова Марина Вячеславовна mgorbatova@mail.ru
Лектор - Байков Андрей Юрьевич

Литература

• Кудрявцев А. Д. - Курс Мат. Анализа - Том 1

• Кудрявцев А. Д. - Курс Мат. Анализа - Том 2

• Кудрявцев А. Д. - Курс Мат. Анализа - Том 3

• Кудрявцев А. Д. - Курс Мат. Анализа - Сборник

Разбалловка

• 50 за сём (30 мин)

• 50 за экзамен (30 мин)

• 25 за половину сема (15 мин)

15 за вовермя сданный колоквиум
-10 баллов за несданный колоквиум

ЛЕК 1

Основные обозначения

1. Латинский алвафив \(A, a, B, b ...\)

2. Греческий алфавит \(\alpha, \beta, \gamma\)

3. Знаки операций \(/, +, \times, \bigcap, \cup\) \

4. Логический операции \(>, \geq, <, \leq, \vee, \wedge\)

5. Кванторы:

   • \(\forall\) - общность

   • \(\exists\) - существование

   • \(\exists!\) - единственность

6. Другие символы

7. Латинские буквы в готической формате \(\mathbb{N, P, Q}\)

8. Буквы иврита \(\aleph\)

Логический высказывания

Логическое высказывание - утверждение, которое может быть либо, истинным либо ложным
Например: “Сегодня - пятое сентября”

\(A \Rightarrow B, A \vee B, A \wedge B\)
A = “Мы находимся в МИФИ”
B = “Мы изучаем мат. анализ”

Предикат - заявление, превращающееся в истинноевысказывание, в зависимости от истинности его аргументов
Например: Х - река, Р(Х) = “Х протекает в Африке”, Р(Волга) - ложь, Р(Нил) - истина

Квантифные высказывания
\(\forall x P(x)\)
\(\exists x P(x)\)
\(\exists! x P(x)\)

\(P(x) \rightarrow \overline{P(x)}\)

\(\overline{\forall x P(x)} = \exists x \overline{P(x)}\)
\(\overline{\exists x P(x)} = \forall x \overline{P(x)}\)

\(\overline{\forall x P(x)} = \exists x \overline{P(x)} \rightarrow\) “существует река, не протекающая в Африке”
\(\overline{\exists x P(x)} = \forall x \overline{{P(x)}} \rightarrow\) “любая река не протекает в Африке”

Элементы теории множеств

1.1 Общие понятия

Объект:

• Свойства:

  • Именования

  • Принадлежности

Множество - совокупность математических объектов, имеющих одинаковое свойсвтво принадлежности

\(A = \{a, b, c, ...\}\)
\(a \in A\)
\(d \notin A\)

\(B = \{ элементы\ |\ общие\ свойства \}\)
\(B = \{2k\ |\ k\in \mathbb{N}\}\)

1.2 Подмножество

\(A \subseteq B, A \subset B\)
\(A \subset B \ident \forall x (x \in R) \Rightarrow (x \in B)\)
\(A \subset B \ident \begin{cases} {a \subseteq B} \\ {A \neq B}\end{cases}\) - собственное
\(\emptyset = \{\}\) - пустое множество
\(\mu\) - универсальное множество (содержит все объекты≤ нужные при решении задачи)

<картинка диаграммы эйлера-венна>

1.3 Булеан

\(A\) - множество, состоящее их всех подмножеств данного множества
\(\mathbb{P}(A)\)
Пример: \(A= \{a, b, c\}\)
\(\mathbb{P}(A) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\)

1.4 Операции над множествами

1. Объединение \(C = A \cup B\) - диаграмма венна - всё
   \(\forall k \begin{cases} (k \in C) \Rightarrow (k \in A) \vee (k \in B) \\ (k \notin C) \Rightarrow (k \notin A) \wedge (k \notin B) \end{cases}\)
   Множество, состоящее из всех элементов, каждое из которых принадлежит либо множеству А, либо множеству В

2. Пересечение множеств \(C = A \cap B\) - диаграмма вена - пересечение
   \(\forall k \begin{cases} (k \in C) \Rightarrow (k \in A) \wedge (k \in B) \\ (k \notin C) \Rightarrow (k \notin A) \vee (k \notin B) \end{cases}\)

3. Разность \(C = A \setminus B\) - диаграмма вена - только А
   \(\forall k \begin{cases} (k \in C) \Rightarrow (k \in A) \wedge (k \notin B) \\ (k \notin C) \Rightarrow (k \notin A) \vee (k \in B) \end{cases}\)

4. Дополниение \(\overline{A} = \mu \setminus A\) - доподиаграмма вена - всё кроме А

1.5 Свойства операций

1. Коммутативность \(\cup, \cap\)
   \(A \cup B = B \cup A\)
   \(A \cap B = B \cap A\)

2. Ассоциативность \(\cup, \cap\)
   \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)

3. Дистрибутивность \(\cup, \cap\)
   \((A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\)
   \((A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\)

4. Прямая дистрибутивность
   \((A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)\)
   \((A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C)\)

5. Обратная дистрибутивная разность
   \(C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)\)
   \(C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)\)

Задача

Доказать закон де моргана
\(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)
\(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)

ЛЕК 2

1.6 НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

\(\emptyset\)
Расселовское ординарное множество
\(\tilde 1 = P(\emptyset) = \{\emptyset\}\)
\(\tilde 2 = \tilde 1 \cup \{\tilde 1\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\)
\(\tilde 3 = \tilde 2 \cup \set{\tilde 2}\)
\(\vdots\)
\(\widetilde {k+1} = \tilde k \cup \set{\tilde k}\) - определение натурального числа \(\dnline {\tilde k = k}\)

\(\tilde1\subset\tilde2\subset\tilde3\subset\dots\)

\(\tilde k < \tilde m \thus \tilde k \subset \tilde m\)
\(\tilde k > \tilde m \thus \tilde m \subset \tilde k\)

Второе определение числа

Аксиома множества натуральных чисел

1. \(\forall k \in N\ \ \exists!(k+1)\)

2. \(\forall k \in N\ \ \exists! k'\) за которым сделает \(k (k' = k + 1)\)

3. \(\exists! k = 1\)

4. \(\forall M \subseteq N \begin{cases} (k \in M) \Rightarrow (k + 1) \in M \\ 1 \in M \end{cases} \Rightarrow M = N\)

1.7 Примеры операция с мнимыми числами (сем)

1.8 Нумерация элементов множества, мощьность конечного множества

\(A = \{ a, b, c \dots \}\)
\(\{ a, 1 \}\)
\(\{b, 2\}\)
\(A' = \{ \{a,1\}, \{b, 2\}, \{c, 3\} \dots \}\)
\(A \rightarrow A' \ident p \rightarrow \{ p, k \}, k \in N\)
\(\{ p, k \} = p_k\)
Процесс нумерации заканчивается на некотором элементе с номером n, то множество называется конечным,а число n называется количеством элементов или мощностью множества
$\(|A| = n\)\( \)\emat{A’ & = & (a, & b, & c, & \dots, & ;;) \ & & 1 & 2 & 3 & & n}\( Конечное упор6ядоченное множество такого типа называется кортежем (круглые скобки) \)A= {1, 2, 3}\( \)A_1 = (1, 2, 3)\( \)A_2 = (2, 3, 1)\( Кортеж из двух элементов называется упорядоченной парой \)(a, b)$

1.9 Метод математический индукции

\(\{ A_1, A_2, A_3, \dots, A_n \}\) - бесконечное, но нумерованная

1. \(A_1\) - истинно(база индукции)

2. \(\forall k\) из истинности \(A_k\) следует истинность \(A_{k+1}\)

\(1\ и\ 2 \Rightarrow \forall k A_k\) истинно
\(К\) - меножество неравномерных истинных высказываний
\(\begin{cases} k \subseteq N \\ 1 \in K \\ (k \in K) \Rightarrow (k+1 \in K) \end{cases} \Rightarrow K = N\)

1.10 Элементы комбинаторики

Перестановки и размещения

\(A = \{ a_1, a_2, \dots, a_n \}, |A| = n\)
\(n! = 1\cdot 2 \cdot3\cdot\ \dots\ \cdot n\)
\((n+1)! = n!(n+1)\)
\((n+m)! = n!(n+1)(n+2)\dots (n+m)\)
\(0! = 1\)

\(P_n\) Перестановкой называется формирование из множества \(A, |A| = n\) кортежа той же длинны \(n\)

\(A = (\textvisiblespace{n}, (n-1), (n-2), \dots, 1)\)
\(P_n = n\cdot(n-1)\cdot(n-2), \dots \cdot 1 = n!\)
\(P_n = n!\)

\(A_n^k\) Размещением из n элементов по k называется формирование из элементов множества мошьности n кортежа длинны k
\(A' = (n, n-1, \dots n-k+1)\)
\(A_n^k = (n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\dots(n-k+1)) = \frac{(n-k)\cdot(n-l-1)\dots 1}{(n-k)\cdot(n-k+1) \dots 1}\)
\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)
\(A_n^n = P_n\)

\(C_n^y\) Сочестанием из n элементов по k, называется выделение из множества мощбности n, подмножествам мощности k
\(C_n^y \cdot P_k = A_n^k\)
\(C_n^y = \frac{A_n^k}{P_k}\)

1. \(C_n^0 = C_n^n = 1\)

2. \(C_n^1=C_n^{}n-1 = n\)

3. \(C_m^m = C_n^{n-m}\)

4. \(C_n^m + C_n^{m+1} = C_{n+1}^{m+1}\)
   (доказать)

1.12 Треугольник паскаля и бином Ньютона

\(n\)
\(C_n^0 C_n^1 C_n^2 \dots C_n^k + C_n^{k+1} \dots C_n^{n-1} C_n^n\)
\(C_{n+1}^0 C_{n+1}^1 \dots C_{n+1}^k C_{n+1}^{k+1} C_{n+1}^{k+2} \dots C_{n+1}^n c_{n+1}^{n+1}\)

  
1  
1 1  
1 2 1  
1 3 3 1  
1 4 6 4 1  
1 5 10 10 5 1  
1 6 15 20 15 6 1  

\((a+b)^n = \sum_{k=0}^nC_n^kb^ka^{n-k}\)
(доказать)

\(\prod^n_{k=1}(a_k+b_k) = (a_1+b_1)(a_2+b_2)\dots(a_n+b_n)\)

1.13 Декартово произведение множеств

\(A = \{ a, a' \dots \}, B = \{b, b'\}\)
\(A = \{a\}, B=\{b\}\)
\(A\times B = \{(a,b) | a\in A, b\in B\}\)

\(A=\{1,2\}, B=\{3, 4, 5\}\)
\(A\times B = \{ (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5) \}\)
\(B\times A = \{(3, 1), (3,2), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2)\}\)
\(B\times A\neq A\times B\)

1.14 Отображание. Функция

\(A \xrightarrow{\;D\;} B \ident D \subseteq A\times B\)
\(A\) - множество прообразов
\(B\) - множество образов

Отображение (функция) - … при котором каждому прообразу соответсвует …
\(F \subset A\times B\)
\(A \xrightarrow{\;F\;} B \ident B = F(A)\)
\(A_1=\{ a | a\in A, \exists b (a, b) \in F \}\)
\(B_1 = \{ b | b\in B, \exists a (a, b)\in F \}\)
\(A_1\) - множество (область) определения F
\(B_1\) - множество значений F
\(A_1 = D[F]\)
\(B_1 = E[F]\)

!!! ПРОПУСК

ЛЕК 09/19/22

Множество \(\ZZ\) - кольцо

\(\set{\ZZ, +, \cdot}\) - кольцо
есть сложение - значит авелева группа

1. нейтральный элемент \(e = 0\)

2. ассоциативность \((a + b) + c = (a + b) + c\)

\(0 \up{def}{=} 1 - 1\)
вводим отрицательные числа:
\(-1 \up{det}{=} 0 - 1\)
\(-2 \up{det}{=} -1 - 1\)
\(\vdots\)
\(-k = 0 - 1 - 1 \dots -1 (k раз)\)

\(\forall n \in \NN n = 0 + 1 + 1\) (k раз)

из этого вытекает свойствой ассоциативности

\(\thus \cases{k + (-k) = 0 \\ -p-m = -(p+m)} \thus\) Абелева группа

свойства дистрибутивности, которые нужно будет доказать
\(a(b+c) = ab +ac\) и наоборот
\((b+c)a = ba +ca\) и наоборот

\(\thus\) это кольцо

2.8 Поле рациональных чисел

\(\ZZ \rightarrow \QQ\)

1. нейтральный элемент \(e = 1\)

2. обратный элемент: \(\forall n \in \ZZ\setminus\set{0}\) введём \(n^{-1} \up{det}{=} \frac{1}{n} \colon n \cdot \frac{1}{n} = 1\)

3. \(\forall n \in \ZZ \forall m \in \NN\) введём \(n\cdot m^{-1} = n\cdot \frac{1}{m}=\frac{n}{m}\)
   свойства (доказать):

   • \((\frac{m}{n}^{-1}=\frac{n}{m})\)

   • \(\frac{np}{mp} = \frac{n}{m}\)

4. Упорядоченность \(\frac{m}{n} > \frac{p}{n} \ident m > p, n\ in \NN\)

5. Определяем \(Q = \set{\frac{m}{n} | m\in\ZZ, n\in\NN}\)
   Докажем, что это множество является полем:

Свойства кольца следуют из свойств множества \(\ZZ\)

1. \(\forall \frac{m}{n} \ex (\frac{m}{n}^{-1}) = \frac{n}{m}, m\neq0,n\neq0\)

2. \(e = 1\)

3. ассоциативность \((\frac{m}{n} \frac{p}{k})\frac{\pi}{d} = \frac{m}{n} (\frac{p}{k}\frac{\pi}{d})\)

4. комутотивность \(\frac m n \frac p k = \frac {mp} {nk} = \frac p k \frac m n\)
   \(\thus\) Множество по умножению является абелевой группой
   \(\thus\) это поле

Племма: между любыми двумя рациональными числами лежить хотя бы одно рациональное число
\(\forall a \in \QQ \forall b \in \QQ \ex c: a<c<b\)
\(c=\frac{a+b}2 = \frac a 2 + \frac b 2\)
пусть \(b > a\)
\(\thus \frac a 2 + \frac a 2 < c < \frac b 2 + \frac b 2 \thus a < c < b\)
следствие между любыми двумя рациональными числами лежит бесконечно много рациональных чисел
\(\epsilon \in \QQ, \eps > 0, a \in \QQ\)
\(\eps\) в окрестности числа \(a\) называется множеством рациональных чисел, отличающихся оп абсолютной величине от числа \(a\) меньше чем на \(\eps\), то есть \(\Mu_\eps(a) = \set{r | r\in\QQ, \norm{r-a}<\eps}\)

Теорема: у двух различных рациональных чисел всегда можно найти непересекающийся \(\eps\) окрестности
\(\forall a\in\QQ\forall b\in\QQ : a \neq b : \ex \eps > 0 : \Mu_\eps(a) \cup \Mu_\eps(b) = \emptyset\)
Доказательство
\(b > a, \eps < \frac {b-a} {2} \thus b - a > 2 \eps \thus \Mu_\eps(b) \cup \Mu_\eps(a) = \emptyset\)

2.9 Мощьность множества рациональных чисел

Теорема \(\QQ\) - счетно
\(\QQ = \QQ_+ \cup \QQ_- \cup \set{0}\)

Разбиением множества называется представление его в виде объединения непересекающийхся подмножееств
\(\QQ_+ = \set{\frac m n | m\in\NN, n\in\NN}\)

n\m	1	2	3	4	\(\;\;\;\)
1	\(\rightarrow\)	\(\downarrow\)	\(\rightarrow\)	\(\downarrow\)	.
2	\(\downarrow\)	\(\leftarrow\)	\(\uparrow\)	\(\downarrow\)	.
3	\(\rightarrow\)	\(\rightarrow\)	\(\uparrow\)	\(\downarrow\)	.
4	\(\downarrow\)	\(\leftarrow\)	\(\leftarrow\)	\(\leftarrow\)	.
\(\;\)	.	.	.	.	.

(картинка с “змейкой”, идещей по каждой точке)
Дз: доказать, что \(\QQ\) - счётно

Таким образом мы нахоим все \(\QQ\)

Теорема: множество, являющееся объединением счётного числа счетных множетсв является счетным

3.1 Рациональные последовательности и действительные числа

\(\NN \dn y \rightarrow \QQ\)
Множетсов прообразов называется множеством номеров, а множетсов образов называется членами последовательности
\(y_n\) - номерованный элемент
Множество - \(\set{y_n}\), \(n\in\NN\)

Способы адания последовательности:

1. явное - \(y_n = f(x)\)

2. рекуррентное - \(\cases{y_n = f(y_{n-1}, y_{n-1}, \dots, y_{n-k}) \\ y_1, y_2, y_k}\)

Пример: \(\cases{y_n = y_{n-2} + y_{n-1} \\ y_1 = 1 \\ y_2 = 1}\)
\(\ex N \forall n > N :y_{n+1} \geq y_n\) - нестрого возрастающая
определение убывающей последовательности аналогично
Возрастаюющая или убывающая последовательность называется монотонной
Могут быть строго или не строго монотонные последовательности

Определение
Последовательность называется ограниченной сверху, если \(\ex M: \forall n : y_n < M\) - сверху
\(\ex m: \forall n : y_n > m\) - снизу
если последовательность ограничина и сверху и снизу, то она называется просто ограниченной

3.2 Фундаментыльные поседовательности

Последовательность называется фундаментальной, если для неё выполнен критерий Коши: \(\forall \eps > 0 \ex N: \forall n_1 > N : \forall n_2 > N : \norm{y_{n_1} - y_{n_2}} < \eps\)
\((1 +\frac 1 n) ^ n\)
Примеры

1. \(y_n = \frac 1 n\) фундамент \(N = [\frac 1 \eps] =1\)

2. \(y_n = (-1)^n\)

Теорема
Доказательство
\(\eps \rightarrow \ex N \forall (n_1 > N, n_2 > N) : \norm{y_{n_1} - y_{n_2}} <\eps\)
\(n_1 = N + 1, n_2 = n\)

\(\norm{y_{N+1} - y_n} < \eps\)
\(y_{N+1} - \eps < y_n < y_{N-1} + \eps\)

\(X = \set{y_1, y_2, \dots, y_N}\)
\(C_1^x = min(y_k), y_k \in X\)
\(C_2^x=max(y_k), y_k \in X\)

\(\forall y_k \in X : C^x_1 - \eps < y_k < C_2^x + \eps\)
\(C_1 = min(y_{N+1}, C_1^+ - \eps)\)
\(C_2 = max(y_{N+1}+\eps, C_2^* + \eps)\)
\(\forall y_k : C_1 < y_k < C_2\)

СЕМ 21.09.22

ЛЕК 22.09.22

Последовательность называется полностью монотонной, если её монотонность начинается с первого номера

Фундаментальная последовательность (на прошлой лекции)

Операции с последовательностью
Суммы разности и произведения последовательности \(\set{x_n}, \set{y_n}\)
\(\set{x_n + y_n}, \set{x_n - y_n}, \set{x_n \cdot y_n}\)

Если \(\forall n : y_n \neq 0\), то \(\ex \set{\frac{x_n}{y_n}}\)

Теорема: сумма, разность и произведение фундаментальных последовательностей также являются фундаментальными последовательностями

Доказательство
\(\set{x_n}\) - фундаментальная \(\thus \forall \epsilon > 0 \ex N_1: \forall n > N_1 \forall k > N_1: |x_n - x_k| < \eps / 2\)
\(\set{y_n}\) - фундаментальная \(\thus \forall \eps > 0 \ex N-2: \forall n>N_2 \forall k >N_2: |y_n-y_k| < \eps/2\)

\(\eps \rightarrow N = max(N_1, N_2)\)

Для суммы и разности
\(|(x_n\pm y_n)-(x_k\pm y_k)| = |(x_n - x_k)\mp(y_n-y_k)| \leq |x_n-x_k|+|y_n-y_k| < \frac\eps2+\frac \eps2=\eps\)
Для произведения

\(\set{x_n}\) - фундаментальная \(\thus \set{x_n}\) - ограниченное \(\thus \ex M_1: \forall n: |X_n|<M_1\)
\(\set{y_n}\) - фундаментальная \(\thus \set{y_n}\) - ограниченное \(\thus \ex M_2: \forall n: |X_n|<M_2\)

\(M = max(M_1, M_2)\)
\(N: \forall n > N: (|x_n-x_k|<\frac\eps{2M} \cap |y_n-y_k|<\frac\eps {2M})\)
\(|x_ny_n-x_ky_k| = \frac 1 2 |x_ny_n+x_ny_n+x_ny_k-x_ny_k+x_ky_n-x_ky_n-x_ky_k-x_ky_k| = \frac 1 2 |x_n(y_n-y_k)+y_n(x_n-x_k)+x_k(y_n-y_k)-y_k(x_n-x_k)| \leq |(x_n+x_k)(y_n-y_k) + (y_n+y_k)(x_n-x_k)| < \frac 1 2( 2M\cdot\frac\eps{2M}+2M\cdot\frac\eps{2M}) = \eps\)

3.3 Предел последовательности

\(a\) - предел полседовательности, если \(\forall\eps>0\ \ex N: |x_n - a| < \eps\) \(x_n\in \UU_\eps(a)\)

Теорема
Если есть последний предел, то этот предел единственный

Предположим, что \((\ex lim_{x\rightarrow\inf}{x_n} = a) \cap (\ex lim_{n\rightarrow\inf} x_n = b)\)
\(a\neq b \thus \ex\eps>0: \UU_\eps(a)\cap\UU_\eps(b)=\emptyset\)
\(\ex N_1:\forall n > N_1: x_n\in\UU_\eps(a)\)
\(\ex N_2:\forall n > N_2: x_n\in\UU_\eps(b)\)

\(N=max(N_1,N_2)\thus\forall n> N:(x_n\in\UU_\eps(a))\cap(x_n\in\UU_\eps(b)) \thus x_n\in(\UU_\eps(a)\cap\UU_\eps(b))=\emptyset\)
Если последовательность имеет предел, то эта последовательность фундаментальная

\(a=lim_{n\rightarrow\inf}x_n\)
\(\ex(a=\lim n\inf x_n)\thus\set{x_n}\) - фундаментальная
Доказательство
\(\eps \rightarrow \ex N: \forall n > N : |x_n-a| < \frac \eps 2\)
\(n>N,k>N\)
\(|x_n-x_k|=|(x_n-a)-(x_k-a)|\leq|x_n-a|+|x_k-a|<\frac \eps 2 + \frac \eps 2 = \eps\)

Бесконечно малые и бесконельно большие последовательности

Последовательность \(\set{\alp_n}\) - бексонечно малая, если \(lim_{n\rightarrow\inf}d_n=0\)

Любую последовательность, имеющую предел, можно представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой последовательности

\((\lim n \inf x_n = a) \thus (a+\alp_n=x_n, \lim n \inf \alp_n = 0)\)

1. Б.б. положительная последоветальность
   \(\lim n \inf x_n = + \inf: \forall M > 0\ \ex N : \forall n>N : X_n > M\)

2. Б.б. отрицательная последовательность
   \(\lim x \inf x_n = -\inf: \forall M>0: \ \ex N: \forall n>N: X_n \leftarrow M\)

3. Б.б. по модулю
   \(\lim n \inf x_n = \inf : \forall M > 0\ \ex N: \forall n > N: |X_n| > M\)
   \(x_n = \cases{0, n=2k\\n,n=2k-1}\)

Подпоследовательности

\(n_k, n \in \NN, k\in\NN\)
\(\forall k: n_{k+1}>n_k\)

\(\set{n_k}\) - некая последовательность
\(\set{x_{n_k}}\) - подпоследовательность

Теорема, если последовательность \((\lim n \inf x_n =a) \thus (\lim k \inf x_{n_k} = a)\)
Доказательство
\(\set{n_k}\) - Б.б. положительная последовательность
\(\forall A \ex k_1 \forall k>k_1: n_k>A\)

\(\forall \eps > 0 \ex N \forall n > N : |x_n - a| < \eps\)
\(\eps \rightarrow N\)
\(k_1:\forall k>k_1: n_k>N \thus |x_{n_k}|<\eps\)

Теорема
Пусть \(\ex \lim n \inf x_n = a, \ex\lim n \inf y_n = b\)
\(\lim n \inf (x_n\pm y_n) = a\pm b\)
\(\lim n \inf x_ny_n=ab\)
\((b\neq0)\cap(\forall n : y_n \neq 0) \ \ \ \ex \lim n \inf \frac {x_n} {y_n} = \frac a b\)

Доказательство

1. Для суммы и разности
   \(\lim n \inf x_n = a \thus \forall \eps > 0\ \ex N_1 \forall n > N_1: |x_n - a| < \eps/2\)
   \(\lim n \inf y_n = a \thus \forall \eps > 0\ \ex N_2 \forall n > N_2: |y_n - a| < \eps/2\)

\(N=max(N_1,N_2)\)

\(|(x_n \pm y_n)-(a\pm b)| = |(x_n-a)\pm(y_n-b)| \leq |x_n - a| +|y_n-b| < \eps/2+\eps/2=\eps\)

2. Для произведения
   \(\set{x_n}\) имеет предел \(\thus\set{x_n}\) -фунд \(\thus \set{x_n}\) - огр \(\thus \ex M_1:|X_n|<M_1 \forall n\)
   Аналогично \(\ex M_2:|y_n|<M_2 \forall n\)

\(M=max(M_1, M_2)\)

\(N\) - общий номер, начиная с которого будут выполняться условия
\(\forall n > N :\cases{|x_n-a|<\frac\eps{2M}\\|y_n-b|<\frac \eps{2M}}\)

\(|x_ny_n-ab|=\frac 1 2 |x_ny_n+x_ny_n + a x_n - ax_n + by_n-by_n-ab-ab| = \frac a b |y_n(x_n-a) + x_n(y_n-b) +a(y_n-b) + b(x_b-a)|<\frac 1 2 (M\eps/2M r...?4) <\eps\)

ЛЕК 29.09.22

ЛЕК 03.10.22

александрович графс

4

\(a, a\in\ZZ\)
\(a = \pm \sum_{k=0}^n e_kq^k, l_n\neq0\)

Лемма 2

\(a \in\NN, a=\sum_{k=0}^Ne_kq^k, e_n\neq0\)
\(q^N\leq a\leq q^{N+1}\)

Доказательство

1. \(a\geq q^N : a=e_Nq^N+\sum_{k=0}^{N-1}e_kq^k \geq q^N\)

2. \(a < q^{N+1} : a=\sum^N_{k=0}e_kq^k\leq (q-1)\sum^N_{k=0}q^k=(q-1)\frac{q^{N+1}-1}{q-1} = q^{N+1}-1 < q^{N+1}\)

Теорема, пусть задана некая система счисления с основанием \(S_q, N\in\NN, a\in\QQ, 0\leq a<1\)
Число a, с погрешностью \(\eps < \frac{1}{q^N}\) может быть представленно в виде \(a\simeq \sum^N_{k=1}\frac{e_k}{q^k}\), т.е. \(a=\sum^N_{k=1}\frac{e_k}{q^k}+\pi, |\pi|<\frac 1 {q^N}\)
Доказательство
отрезок \([0, 1) = \cup^{q^N-1}_{p=0} [\frac{p}{q^N};\frac{p+1}{q^N})\)
\([0,1) = [0, \frac{1}{q^N}) \cup (\frac{1}{q^N}, \frac{2}{q^N}) \cup (\frac{2}{q^N}, \frac{3}{q^N}) \dots \cup (\frac{q^N-1}{q^N}, 1)\)
\(a \in [\frac{p}{q^N}, \frac{p+1}{q^N})\)
\(\frac{p}{q^N} \leq a < \frac{p+1}{q^N}\)
\(p=\sum^N_{k=0}e_kq^k\)
\(a\geq q^{N^*}, a<q^N\)
\(q^{N^*} < q^N\)
\(\thus N^* < N \thus N^* \leq N-1\)

\(\frac{1}{q^N}\sum^{N^*}_{k=1}e_kq^k \leq a < \frac{1}{q^N}\sum^{N^*}_{k=1}e_kq^k +\frac{1}{q^N}\)
\(0\leq a-\sum^{N^*}_{k=1}\frac {e_k}{q^{N-k}} < \frac 1 {q_N} ; 0\leq a-\sum_{m=N-N^*}^{N}\frac{e_m'}{q^m} < \frac 1 {q^N}\)
\(0\leq a-\sum_{m=N-N^*}^N\frac{e_{N-m}}{q^m} < \frac{1}{q^N}\)
Если \(N-N^* > 1\), то \(e_1'=e_1'=e_{N-N^*-1}=0\)
\(a\leq a-\sum^N_{m=1}\frac{e_m'}{q^m} < \frac 1 {q^N}\)

\(\thus a = \sum^N_{m=1}\frac{e_m}{q^m}+\pi, |\pi|<\frac{1}{q^N}\)

Пусть дана система основания \(q\) - последовательность

1. руккурентная \(\block{cases}{q_1 = \frac{e_1}{q} \\ q_{n+1} = q_n + \frac{e_{n+1}}{q^{n+1}}}\)

2. произвольная \(q_n = \sum^n_{k=1}\frac{e_k}{q^k}\)

\(Q_n' = a\pm q_n, a\in\ZZ\)
при q = 10 любая такая последовательность - бесконечная десятичная дробь

Теорема 2
Любая Q последовательность является фундаментальной
\(\set{q_n}, p\in \NN\)
\(r_n=|q_{n+p}-q_n|\)
докажем что \(r_n\) - бесконечно малая
\(q_{n+p}-q_{n} = \sum_{k=1}^{n+p}\frac{e_k}{q^k} - \sum^n_{k=1}\frac{e_k}{q^k}=\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{e_k}{q^k} \leq (q-1)\sum^{n+p}_{k=n+1}\frac 1 {q^k} = (q-1)\frac 1 {q^{n+1}} \frac {1-\frac{1}{q}p} {1-\frac{1}{q}} = \frac 1 {q^n}(1-\frac{1}{q^p}) <\frac 1 {q^n}\)\(0\leq r_n < \frac 1 {q^n} \thus \lim n \inf r_n = 0 \thus \forall \eps > 0 \ex N : \forall n > N :|q_{n+p} - q_n| < \eps\) \(\rightarrow\) критерий каши \(\rightarrow\) \(q_n\)-функция
\(Q_n = a\pm q\) - фундаментальная

Теорема 3
\(Q_n = a + q_n \uparrow\)
\(Q_n' = a - q_n \downarrow\)
Доказательство
\(\set{q_n}\uparrow\)
\(q_{n+1} - q_n = \frac{e_{n+1}}{q^{n+1}} \geq 0\)
\(Q_{n+1} - Q_n = \frac{e_{n+1}}{q^{n+1}} \geq 0\)
\(Q_{n+1}' - Q_n' = \frac{e_{n+1}}{q^{n+1}} \leq 0\)

3.6 Классы эквивалентности фундаментальных последовательностей

Опр 1
\(\set{x_n}, \set{y_n}, \set{x_n} ~ \set{y_n}\) - если начиная с некотрого номера попарная разность членов этой последовательности становится меньше любой заданной величины, т.е. \(\forall \eps > n \ex N : \forall n > N |x_n - y_n| < \eps\)

Опр 2
фунд послед эквивалентны, если их \(\set{x_n} \sim \set{y_n} \ident \lim n \inf (x_n - y_n) = 0\)

Класс (эквивалентности) - множество всех эквивалентных между собой последовательностей
\(a_n = \frac 1 n, b_n = \frac 1 b^2, c_n 1 - \frac 1 n, d_n = 1 - \frac 1 n^2\)
\(a_n \sim b_n, \set{a_n}\in X_1, \set{b_n} \in X_1\)
\(c_n \sim d_n\)

Любая фунд последовательность имеет предел

Теорема 1
Если некоторая последовательность из класса х имеет предел, то все последовательности из этого класса имеют тот же предел
\(\set{x_n}\in X, \ex \lim n \inf x_n = a\)
\(\eps > 0\)
\(\ex N_1 :\forall n > N_1 : |x_n - a| <\frac{\eps}{2}\)
\(\set{y_n}\in X\)
\(\ex N_2 :\forall n > N_2 : |x_n - y_n| <\frac{\eps}{2}\)
\(N = max(N_1, N_2)\)
\(|y_n-a|=|y_n - x_n + ax_n - a| \leq |y_n - x_n| + |x_n - a| < \eps\)

Пусть задана система сисления с основанием q, тогда любой класс фундаментальных последовательносетей содержит хотя бы одну Q последовательность

\(\set{x_n}\in X\)
посмтоим \(\set{Q_n} \sim \set{x_n}\)
\(\eps > 0\)
Из фунд \(\set{x_n}\) следует, что \(\ex N_1 : \forall n > N_1 \forall p\in\NN : |X_{n+p} - x_n| < \frac{\eps}{3}\)
Выбираем \(N_2\in\NN : \frac 1 {q^{N_2}} < \frac {\eps}{3} \thus \forall n > N_2 : \frac 1 {q_n} < \frac {\eps}3\)
\(N=max(N_1, N_2)+1\)

Рассмотрим член последовательности \(X_N = a + \sum_{k=1}^{N}\frac{e_k}{q_k} +\pi, |\pi|<\frac{1}{q^N} \thus |\pi| <\frac{\eps}{3}\)

\(Q_n = a + \sum^N_{k=1}\frac{e_k}{q^K} + \sum^n_{k=N+1}\frac{e_k}{q^K}\)
\(r_n = \sum^n_{k=N+1}\frac{e_k}{q^K} \leq (q-1)\sum^n_{k=N+1}\frac{1}{q^K} = \frac{q-1}{q^N}\sum^{n-N}_{k=1}\frac{1}{q^K} = \frac{q-1}{q^N}\frac 1 {q} \frac {1 - \frac{1}q (n-N)}{1 - \frac{1}{q}}\)
\(n>N\)
\(|Q_n - X_n| = |Q_n - Q_N + Q_N - X_N + X_N - X_n| \leq |Q_n - Q_N| + |Q_N-X_N| +|X_N-X_n| < \frac{\eps}3 + \frac{\eps}3 +\frac{\eps}3 = \eps\)
\(\pi\)

ЛЕК 06.10.22

\(0.12345 \dots = \frac 1 {10} + \frac 2 {10^2} + \frac 3 {10^3} \dots\)

Теорема 3

Длю любой возрастающий \(q\) -последовательности существует эквивалентная ей убывающая \(q\)-последовательность

\(\forall \set{Q_n} \uparrow \ex \set{Q_n} \downarrow : \set{Q} \sim {Q_n'}\)
Доказательство
\(Q_n = a+q_n = a+\sum^n_{k=1}\frac{e_k}{q_k}\)
Докажем, что \(\ex \set{Q_n'} : (Q_n' = b - q_n, \set{Q_n'} \sim \set{Q)n})\)

\(\set{Q_n}\sim\set{Q_n'}\ident\lim n \inf (Q_n-Q_n') = 0\)
Пусть \(Q_n'=a+1-\sum^n_{k=1}\frac {e_k'}{q_k}\)
\(Q_n-Q_n' = 1 + \sum^n_{k=1}\frac{e_k'-e_k}{q^k}\)
выбираем при условии \(e_k' : e_k'+e_k=q-1\)
\(Q_n-Q_n' = \sum^n_{k=1}\frac{q-n}{q^k}-1=(q-1)\sum^n_{k=1}\frac 1 {q^k} -1 = (q-1)\frac 1 q \frac {\frac 1 {q_n}-1}{\frac 1 q - 1} - 1 = (1-\frac 1 {q^n}) - 1 = -\frac 1 {q^n}\)
\(\lim n \inf (Q_n-Q_n') = \lim n \inf (-\frac 1 {q_n}) = 0\)

Определение

Пусть X - некоторый класс эксивалентной последовательности
Выделим из него два подкласса \(X_1 \subset X\) - полностью монотонно возрастающих \(\uparrow\) последовательностей, \(X_2 \subset X\) - полностью монотонно убывающих \(\downarrow\) последовательностей

\(X_1^\star = \set{x | x = x_k, \set{x_k} \in X_1}\) - множество всех элементов подкласса \(X_1\)
Аналогично вводим \(X_2^\star = \set{x | x = x_n, \set{x_n} \in X_2}\)

Качественные критерии сравнения классов

\(X, Y, C \neq Y\)
\(X \prec Y\) - качественное сравнение
\(\ex p > 0 \ex N \forall n > N : \forall \set{x_k}\in X\forall\set{y_n}\in Y: y_n - x_n > p\) - в таком случае класс X качественно меньше класса Y

Теорема 4

\(X, \set{x_n}\in X_1, \set{y_n}\in X_2\)
тогда, если мы возьмём два произвольных номера \(\forall k \in \NN \forall m \in \NN : y_k \geq x_m\) равенство возможно только в случае \(x_m=y_k=x\) если x - общий предел всех классов X \(x = \lim n \inf x_n = \lim n \inf y_n\)
Доказательство
Предположим противное \(x_m > y_k\)
\(\set{x_n} \uparrow \thus \forall n > m : x_n \geq x_m\)
т.к. \(\set{y_n} \downarrow \thus \forall n > k : y_n \leq y_k\)
\(x_m - y_k = x > 0 \thus \forall n > min(m, k) : x_n - y_n > z\)
\(\set{x_n} \sim \set{y_n} \thus \forall \eps > 0 \ex N : \forall n > N : |x_n-y_n|<\eps\)
\(n^\star=max(m, k, N)\)
\(\eps = \frac pi 2\)
при \(n >N^\star\)
\(\cases{x_n-y_n = |x_n - y_n| >z \\ |x_n - y_n|<\frac z 2}\)

2. если \(x_m=y_k\)
   \(\thus \cases{\forall n > m : x_n = x_m \\ \forall n > k : y_n = y_k} \thus \lim n \inf x_n = \lim n \inf y_n \thus x_m = y_k = a\)
   из теоремы о единственности следует, что все последовательности класса X имеют предел a

\(\forall \set{z_n} \in X : \lim n \inf z_n = a\)

Теорема 5

\(X\) - произвольный класс фундаментальной последовательности
тогда \(X_1^\star \cap X_2^\star\) либо пусто, либо состояит из дениственного элемента - общего предела всех последовательностей класса X

Доказательство
\(a\in X_1^\star, b \in X_2^\star\)
из теоремы 4 следует, что либо \(a < b\), либо \(a = b = x = \lim n \inf x_n, \set{x_n}\in X\)
т.к. \(\exo (\lim n \inf x_n = x \forall \set{x_n} \ in X)\), то если предел существует, то \(X_1^\star \cap X_2^\star = x\), иначе \(X_1^\star \cap X_2^\star = \emptyset\)

Теорема 6

Пусть X - произвольный класс фундаментальной (рациональной) последовательности
\(X_1^\star \cup X_2^\star = \QQ\)

Доказательство
возьмём \(a \in \QQ\)
Предположим \(\ex \set{x_n} \in X_1, \ex N : x_n > a, N \geq 2\)
построим новую последовательность \(\set{z_n} : z_1 = a, z_2 = x_N, z_3 = x_{N+1} \dots z_k = x_{N+k-2} \dots\)
\(\set{z_n} \sim \set{x_n} : |z_n - x_n| = |x_{N + n - 2} - x_n| < \eps \thus\) из фундаментаольности последовательности \(\set{x_n}\)
\(\cases{\set{z_n} \in X_1 \\ a \in \set{z_n}} \thus a \in X_1^\star\)
2-й случай
предположим, что существует такая последовательность \(\ex \set{y_n} : (\set{y_n} \in X_2, \ex N : y_N < a) \geq 2\)
\(\set{}\)…

3-й случай
предположим, что \(a = x_n + \alp, a= y_n + \beta, \alp + \beta = 1\)
\(\forall n \forall \set{x_n} \in X_1 \forall \set{y_n} \in X_2 : x_n < a < y_n\)
т.к. \(\set{x_n} \sim \set{y_n} \thus \forall \eps > 0 \ex N: \forall n > N\)
\(y_n - x_n > \eps \thus \cases{|x_n - a| < \eps \\ |y_n - a| < \eps} \thus \lim n \inf x_n = \lim n \inf y_n = a \thus a \in X_1^\star \cup X_2^\star \thus\)
\(\thus \cases{a\in X_1^\star \\ a\in X_2^\star} \thus X_1^\star \cup X_2^\star = \QQ\)

3.7 Действиельныйе числа

пусть \(U\) - некоторое упорядоченное множество \(\forall x \in U, y\in U : (x > y) \cup (x < y)\)
Отрезком в множесте U с левым концом \(x_1\) и правым концом \(x_2\) называется \(k = \set{x | x_1 \leq x \leq x_2}\)

Системой вложенных отрезков называется бесконечное множество отрезков левые концы, которых образуют польностью возрастающую последовательность, а правые полностью убывающую последовательность
\(\set{x_n} \uparrow \set{y_n}\downarrow\)
при дополниительном условии \(\set{x_n} \sim \set{y_n}\) система отрезков называется стягивающейся или канторовой системой отрезков
\(U = U_1 \cup U_2 : \forall x\in U_1 \forall y\in U_2: y \geq x\) - додекиндорово разбиение

Определение 1

Множество U называется неприрывным, если в нём любая стягивающаяся система вложенных отрезков всегда имеет один общий элемент

Определение 2

Множество U называется непрерывным, если при любом его додекиндровом разбиении подмножетсво \(U_1\ и\ U_2\) всегда имеют один и только один общий элемент

Определение 3

Множетво U называется непрерывным, если любая фундаментальная последовательность его элементов всегда имеет в качестве предела элемент этого же множества

ЛЕК 13.10.22

Дополним рациональные числа новыми элементами, которые являтся пределами рациональной фундаментальной последоательности, не имещющих предела в множестве рациональных чисел

Эти числа называются иррациональными
А объединение рациональных и иррациональных - \(\RR = \set{x | x = \lim n \inf a_n, \forall n \ a_n \ \QQ}\)
\(\QQ \subset \RR\)
\(\RR \setminus \QQ = \II\) - множество иррацональных чисел

Теорема

Множество действительных чисел является непрерывным по всем трём определениям

(проверьте это сами)

Любому действительному множеству…
\(x \rightarrow X, x\in\RR, X\) - класс фундаментальных последовательностей

\(\forall x (\ex\set{Q_n}\uparrow \in X, \ex\set{Q_n'}\downarrow \in X)\)

\(x = \lim n \inf Q_n = \lim n \inf Q_n'\)
\(\forall n : Q_n \leq x \leq Q_n'\)
\(\set{Q_n}\) - представление числа x в q-ичной стсиеме счисления

Все арифметические свойства рациональных чисел переносится на иррациональные

Упорядоченность также остаётся

Теорема

Множество действительных чисел состовляет непрерывное упорядоченное поле

к примеру, \(\set{a + b\sqrt 2 | a\in\QQ, b\in\QQ}\) - упорядоченное поле

Множество действительных чисел можно ввести аксиоматически
В этом случае оно определяется таким образом: множество элементов с свойствами:

1. аксиомы поля (абелева группа по + и
   \(*\))

2. удволетвояют условию упорядоченности \(\forall a \forall b \neq a : (a > b) \cup (b > a)\)

3. аксиома непрерывности (одно из 3-х определений)

3.8 Мощьность. Множество действительных чисел.

Теорема 1 (Кантора)

Множество действительных чисел несчётно

\(|\RR| > \aleph_0\)

Доказательство
докажем, что \([0, 1)\) несчётно
\(x \in [0, 1)\)
\(x = \frac {e_1} {q} + \frac {e_2} {q^2} +\dots +\frac {e_n} {q^n} +\dots\)
\(q \geq 2\)

\(x_1 \rightarrow e_{11} e_{12} e_{13} e_{14} \dots e_{1m} \dots\)
\(x_2 \rightarrow e_{21} e_{22} e_{23} e_{24} \dots e_{2m} \dots\)
\(x_3 \rightarrow e_{31} e_{32} e_{33} e_{34} \dots e_{3m} \dots\)
\(\dots\)
\(x_k \rightarrow e_{k1} e_{k2} e_{k3} e_{k4} \dots e_{km} \dots\)
\(\dots\)

\(y \rightarrow e_1' e_2' \dots e_k' \dots\)

\(e_1' \neq e_{11}\)
\(e_2' \neq e_{22}\)
\(e_3'\neq e_{33}\)
\(\dots\)
\(e_k'\neq e_{kk}\) \(\thus y\) не стоит в к-той строке
\(\dots\)

\(y = \frac {e_1'} {q} + \frac {e_2'} {q^2} +\dots +\frac {e_n'} {q^n} +\dots\)
\(0 \leq y < 1\)

\(|\RR|=\aleph_1\)
\(\aleph_1 > \aleph_0\)
контунуум - любое множество, имеющее такую мощьность

Теорема 2

Между любыми двумя различными действительными числами лежит бесконечно много как рациональных так и иррациональных чисел

\(x_1 \in \RR, x_2 \in \RR, x_2 > x_1\)
докажем \([x_1, x_2]\) включает в семя бесконечно много рациональных чисел

пусть \(x_2-x_1 = r\)
\(\set{Q_n}\uparrow, \lim n \inf Q_n = x_2\)
\(\ex N : \forall n > N |x_2 - Q_n| = x_2 - Q_n < r \thus\) при \(n > N: x_1 < Q_n \leq x_2\) - бесконечно много рациональных

\(x' = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}, x'\in[0, 1]\)
\(x' \leftrightarrow x\)
\(|\set{x'}| = |\set{x}| = \aleph_1\)

удалим из промежутка все рациональные числа
\(I = \set{x}\setminus \set{a | a\in \QQ, x_1 \leq a \leq x_2}\)
\(|I| = \aleph_1\)
таким образом в промежутке бесконечно много иррациональных чисел

3.10 Комплексные числа

Определениеъ 1

\(\set{F_k}\) - множество отображений
\(F_k: A \rightarrow B_k\)
\(\set{(a,b) | a\in A, b\in B_k}\)
\(F = \set{F_k}\) - многозначное отображение

\(\RR: 1 \rightarrow \NN \rightarrow \ZZ \rightarrow \QQ \rightarrow \RR\)
\(\RR': 1' \rightarrow \NN' \rightarrow \ZZ' \rightarrow \QQ' \rightarrow \RR'\)

\(\forall a \in \RR \forall a' \in \RR': a' = a*1'\)

\(1' = i\) - мнимая еденица
\(a' = ia\) - тоже мнимая единица

совмещаем эти множества

\(Z = a + ib\ \ (\star), a\in \RR, b\in\RR\)
\(Z_1 = a_1 +ib_1, z_2 = a_2 =ib_2\)
\(Z_1 \pm Z_2 = (a_1\pm a_2) + (b_1\pm b_2)i \ \ (\star \star)\)
\(Z_1 * Z_2 = a_1a_2 + i(a_1b_2+a-2b_1)+i^2b_1b_2\)

предположим \(i^2=-1 \ \ (\star\star\star)\), т.к. по модулю должно быть 1, но не может быть 1

\(Z_1*Z_2 = (a_1a_2-b_1b_2) + i(a_1b_2+a_2b_1)\ \ \ (\star\star\star\star)\)

Опредение 2

Множество чисел \((\star)\) алгебраические свойства которых определяются \((\star\star), (\star\star\star), (\star\star\star\star)\) называется комплексными числами

Выражение \((\star)\) называется алгебраической формой записи комплесного числа

Определение 3

Для \(z = x + iy\)
\(x = Re\ z\) - действительная часть
\(y = Im\ z\) - мнимая часть
\(|z| = \ro = \sqrt{x^2+y^2}\) - модуль
\(\phi\) - аргемент
\(\cases{x=\ro\cos\phi\\ y=\ro\sin\phi}\)

1. главный аргумент \(arg\ z = \phi\), \(-\pi < \phi \leq \pi\)

2. полный аргумент \(Arg\ z = arg\ z +2\pi n\)

комплексное число рисуется как вектор

Определение 5

Число \(\upline Z = a - bi\) - комплесно сопряжённое число
\(|\upline Z| = |Z|\)
\(arg\ \upline Z = -arg Z\)
\(Z \upline Z = \pi^2 =|Z|^2\)

ЛЕК 17.10.22

Чтобы поделить одно комплексное число надо умножить его на комплесно сопряженное знаменателя
\(\frac{z_1}{x_2} = \frac{z_1 \upline{z_2}}{z_2\upline{z_2}} = \frac{z_1\upline{z_2}}{|z_2|^2}\)
\(\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i}{2} = i\)

Теорема 1

Множество вокплексных чисел составляет поле.

\(\CC = \set{x+iy|x\in\RR,y\in\RR,i^2=-1}\)

Теорема 2

Мощьность множества комплексных чисел равна континууму
\(|\CC|=\aleph_1\)

Теорема 3 (эйлер)

\(e^x, e = 2,718\dots\)

\(\forall \alp \in \RR : e^{i\alp} = \cos\alp + i\sin\alp\)

\(e^{i\pi} = -1\)
\(e^{i\pi} + 1 =0\)

\(z=x+iy=\rho(\cos\phi+u\sin\phi)\)
\(\rho e^{i\phi} = \rho e^{i(\phi+2k\pi)}\)

Извлечение корня

\(\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho e^{i(\phi + 2k\pi)}} = \sqrt[n]{\rho} e ^{\frac\phi n+k\frac{2\pi}{n}} = \sqrt[n]{\rho}\cases{\cos\frac{\phi}n+i\sin\frac{\phi}{n} \\ \cos\frac{\phi+2\pi}n+i\sin\frac{\phi+2\pi}{n} \\ \dots \\ \cos\frac{\phi+(n-1)2\pi}n+i\sin\frac{\phi+(n-1)2\pi}{n}}\)

Пример \(\sqrt[6]{1}\)

\(1 = e^{2k\pi i}\)
\(\sqrt[6]{1} = e^{\frac{2k\pi}{6}i} = e^{\frac{k\pi}{3}i} = \cases{1 \\ e^{i\frac \pi 3} \\ e^{\frac{2}{3}\pi} \\ -1 \\ e^{i\frac 4 3 \pi} \\ e^{i\frac 5 3 \pi}} = \cases{1 \\ \frac 1 2 + i\frac{\sqrt 3}2 \\ -\frac 1 2 +i\frac{\sqrt 3}{2} \\ -1 \\ -\frac 1 2 - i \frac{\sqrt 3}2 \\ \frac 1 2 - i \frac{\sqrt 3}{2}}\)

4. числовые последовательности и числовые множества

4.1 Основные понятия

\(S\subseteq \RR\)
S - числовое множество - любое подмножество \(\RR\)

Числовая последователность - любое отображение \(\NN\) на числовое множество

Определения из парагрофов 2.8, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.6
Теоремы из парагрофов 3.2, 3.3, 3.4, 3.6

Определение 1

Расширенная числовая прямая
\(\upline\RR = \RR\cup{\inf} = \RR\cup\set{-\inf, +\inf}\)

Определение 2

\([a, b], (a, b], [a, b), (a,b)\)
\([a, b] = \set{x|a\leq x \leq b, x\in\RR}\)

промежутоок

Определение 3

\(x\in\vec\RR\) в окрестностью точки х в широком смысле называется лбой промежуток, включающий в семя точку х

Проколотой окрестностью в точке х называется окретсность точки х, за исключением самой точки х

1. \(\eps\) - окрестность конечной точки \(x\in\RR\)

2. Проколатая \(\eps\) - окретсность
   \(U_\eps(x) = (x-\eps, x+\eps)\)
   \(U^\cdot_\eps(x) = (x-\eps, x)\cup (x, x+\eps)\)

3. Левая окрестность \(x\in\RR:U_{-\eps} = (x-\eps, x]\)

4. Проколатая левая \(x\in\RR:U^\cdot_{-\eps} = (x-\eps, x)\)

5. Правая \(\eps\) - окрестность \(x\in\RR:U_{+\eps} = [x, x+\eps)\)

6. Правая проколотая сть \(x\in\RR:U^\cdot_{+\eps} = (x, x+\eps)\)

7. Окр \(+\inf : U_{\eps}(\inf) = (\frac 1 \eps, +\inf)\)

8. Окр \(-\inf: U_\eps(-\inf)=(-\inf, -\frac 1 2)\)

9. Окр \(\inf: U_\eps(\inf)=(-\inf, -\frac 1 2)\cup(\frac 1 \eps, +\inf)\)

Определение 4

\(a\in\upline\RR\)
\((a=\lim n \inf x_n)\ident(\forall \eps>0:\ex N: \forall n > N: x_n\in U_{\eps}(a))\)
\((\lim n \inf x_n=a-0)\ident(\ex N: \forall n > N : x_n < a)\)

\((\lim n \inf x_n = a+0) \ident (\ex N : \forall n > N : x_n > a)\)

Теорема адын

\(\forall\set{x_n} \ex \set{r_n}:\set{x_n}\sim\set{r_n}\)

Доказательство

\(\set{x_n}\)
\(n \rightarrow x_n\)
\(x_n\in\RR\thus\ex \set{Q_n} : \forall \eps > 0 \ex N : |Q_n-x_n|<\eps\)
\(Q_N \in Q \thus Q_N = r_n\)
\(\set{\eps_n}:\lim n \inf \eps_n = 0\)
\(\forall n : r_n : |x_n-r_n| < \eps \thus x_n-\eps < r_n < x_n + \eps\)

\(\thus \lim n \inf r_n = \lim n \inf (x_n-r_n) = \lim n \inf \eps_n = 0 \thus x_n \sim z_n\)

Теорема 2 (каши)

Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной

сходящаяся последоавтельность - последовательность, такая что \(\ex a = \lim n \inf x_n, a\in\RR\)

4.2 Свойства числовых множеств

Определение 1

S - ограниченное свехру \(\ident \ex y: \forall x\in S: x \leq y\)
S - ограниченное снизу \(\ident \ex y': \ex x\in S: x\geq y'\)

Определение 2

\(S_1\)
верхняя грать (точная) - наименьшая из чисел, ограничивающее множество x
\(m=sup(S) \ident (\forall x \in S: x \leq M)\cap(\forall \eps > 0: \ex x'\in S : x'>M-\eps)\)

супремум

\(m = inf(S)\ident (\forall x \in S : x \geq m) \cap (\forall \eps > 0\ex x'\in S : x' < m + \eps)\)
инфинум

Теорема 1

Ограниченное свеху числовое множество всегда имеет верхнюю грать, а снизу - нижнюю

Доказательство
S - ограниченное всехру \(\thus \ex Y:\forall y\in Y \forall x \in S : x \leq y\)

Построим множество \(X\) следующим образом \(X:\set{x|x\leq y\in Y}\)
\(X\cup Y =\RR\)

Докажите, что \(\beta = sup (S)\)
\(\beta \in Y \thus \forall x\ in S : x \leq \beta\)
\(\forall \eps > 0\ \beta - \eps \notin Y =\thus \ex x' \in S : x' > \beta-\eps\)
\(\thus \beta=sup(S)\)

ЛЕК 20.10.22

Определение 3

Множество \(S \subseteq \RR\)

x - внутренняя точка множества S, если она входит во множество S вместе с некоторой своей окресностью
\(\ex U_{\eps}(x) \subseteq S\)

x - граничная точка множества S, если в любой её окретсности есть точки принадлежащие множеству S и есть точки, не принадлежащие множеству S
\(\forall U_{\eps}(x) : (\ex y : y\in U_{\eps}(x)\cup S) \cup (\ex y : (y \in U_{\eps}(x)) \cup (y \notin S))\)

x - точка прикосновения множества S, если любая её эпсилон окрестность содержит хотя бы одну точку из множества S
\(\forall U_{\eps}(x) : U_{\eps}(x) \cup S \neq \emptyset\)

x - предельная точка множества S, если люба её эспилон-окретсность содержит бесконечное число точек множества эпсилон

x - изолированная точка, если существует проколатая \псион-окрестность в этой точке, не содржащая точек множества S
\(\ex U_{\eps}^\star(x):U_{\eps}^\star(x)\cup S = \emptyset\)

Определение 4

Множество S назвается открытым, если все его точки являются внутренними

Определение 5

Замыканием множества S называется множество состоящее из всех точек прикосновения множества S
\([S]: S \rightarrow [S]\)

(добавление к множеству всех его предельных точек)

Определение 6

Множество S называетс замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием
\(S = [S]\)

Примеры

Интервал \((a,b)\) - открытое
\([a,b]\) - замкнутое
\([a,b)\) - ни одно, ни другое

\(A=\set{x|x\in \QQ, 0<x<1}\) - открытое
\([A] = [0,1]\) - замыкание

Теорема 2

О целой части
\(\forall x \in \RR\ \ex N \in \ZZ : N \leq x < N+1\)
\(N=[x]\)

существует фиксированный \(x\in \RR\)

1. Докажем, что \(\ex N_1 \in \ZZ : N_1 \leq x\)
   Предположем, что это не так
   \(\forall L \in \ZZ : L > x \thus \ZZ\) ограниченно снизу \(\thus \ex m = inf(\ZZ) \thus \ex L \in \ZZ : L < m+1 \thus L - 1 < m\) - противоречие

2. Аналогично \(\ex N_2 \in \ZZ : x < N_2\)

3. \(\ex N_1, N_2 :N_1 \leq x < N_2, N_1\in\ZZ,N_2\in\ZZ\)

Пусть \(k = N_2 - N_1\)
\([N_1, N_2) = [N_1, N_1+1)\cup [N_1+1, N_1,+2), \dots [N_2-1, N_2)\)
т.к. \(x\in[N_1, N_2)\thus\ex p: x \in [N_1+p,N_1+p+1]\)
\(N_1+p=[X] = N\thus\) доказано

Следствия:

• Свойство Архимеда
  \(\forall (a > 0, b > 0), a\in\RR, b\in\RR :\ex N : Na > b\)
  \(N = [\frac 1 a] + 1[b]\)

4.3

Теорема 1

Числовых последовательностей
О предельном переходе в неравенстве
\(\set{x_n}, \set{y_n} : \ex \lim n \inf x_n = a, \ex \lim n \in y_n = b\)
Если существует \(\ex N : (\forall n > N : y_n \geq x_n) \thus (b\geq a)\)

Докажем от противного
\(a > b \thus a - b = r >0\)
В силу сходимости последовательности \(\forall N : \forall n > N : (|x_n - a| < \frac r 2) \cap (|y_n - b| < \frac r 2)\)

При \(n > N\)
\((y_n - b) - (x_n - a)\leq |(y_n-b) - (x_n - a)| < |y_n-b| + |x_n-a| < r\)
\(\thus y_n - x_n = y_n-b - (x_n-a) + b - a < r - r = 0 \thus y_n-x_n < 0\)
Противоречие

Замечание
\(y_n>x_n\thus \lim n \inf y_n \geq \lim n \inf x_n\)

Например

\(y_n = 1 + \frac 1 n\)
\(x_n = 1 - \frac 1 n\)
\(\thus\)
\(y_n > x_n\)
\(\lim n \inf y_n = \lim n \inf x_n = 1\)

Теорема 2

обратная \(\set{x_n}, \set{y_n}\)
\((\lim n \inf y_n > \lim n \inf x_n) \thus (\ex N : \forall n > N : y_n > x_n)\)

Доказательство

\(\lim n \inf x_n = a, \lim n \inf y_n = b\)
\(b - a = z\)
\(\eps = \frac r 3\)
\(U_{\eps}(a), U_{\eps}(b)\)

\(a = \lim n \inf x_n \thus \ex N_1 : \forall n > N_1 : x_n\in U_{\eps}(a)\)
\(b = \lim n \inf y_n \thus \ex N_2 : \forall n > N_2 : y_n \in U_{\eps}(b)\)
\(N = max(N_1, n_2)\)
\(n > N (x_n \in U_{\eps}(a))\cap (y_n\in U_{\eps}(b)) \thus y_n > x_n\)

Теорема 3

вейерштрасса

\(\set{x_n}\uparrow\) имеет предел конечный, если она ограниченна свурхе, и бесконечный, если она не ограниченна сверху

\(\lim n \inf x_n = sup\set{x_n}\)

\(\set{y_n}\downarrow\) имеет предел конечный, если она ограниченна сниху и бесконечный, если она не ограниченна сниху
\(\lim n \inf y_n = inf \set{y_n}\)

Доказательство
\(\set{x_n}\uparrow\)

1. Ограниченна сверху \(\thus\) существует ея супремум \(\ex \beta = sup \set{x_n}\)
   Докажем, что он является
   \(\eps \geq 0\)
   по определению супремума \(\ex N : x_n < \beta - \eps\)
   \(\set{x_n}\uparrow \forall n > N : x_n > x_N \thus \forall n > N : \beta-\eps <x_n < \beta \thus x_n \in U_{\eps}(\beta) \thus\) последоватлеьность имеел левый предел
   \(\lim n \inf x-n = \beta\)

2. \(x_n\) убывает и огранич снизу \(\thus\) (аналогично) \(\lim n \inf x_n = inf\)

3. \(\set{x_n}\uparrow\) неогграниченно
   \(\forall \eps > 0\ \ex N : x_N > \frac 1 \eps\)
   \(\set{x_n}\uparrow \thus \forall n > N : x_n \geq x_n > \frac 1 \eps \thus x_n\in U_{\eps}(+\inf)\thus\lim n \inf x_n = +\inf\)

4. \(\set{x_n}\downarrow\) неогр
   аналогично \(\lim n \inf x_n = - \inf\)

Теорема 4

Больцмана-Вейльштрасса
Из любой ограниченной последоватлеьности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Доказательство
\(\set{x_n} : a \leq x_n \leq b \forall n \)

…

Теорема 5

Из всякой неограниченной последовательности можно выделит бесконечно большую последовательность определённого знака
\(\set{x_n}\) неогр сверху
\(\forall \eps > 0 \ex N : x_N > \frac 1 \eps\)
вользмём \(N_1 : x_{N_1} > 1\)
\(n > N_1\)
\(N_2 > N_1 : x_{N_2} >2\)
\(N_3>N_2 : x_{N_3}>3\)
\(x_{N_k} > k\)

\(y_k = x_{N_k}\)
\(\lim n \inf y_k = + \inf\)
\(\forall \eps > 0\ \ex : N >\frac 1 \eps \thus \forall n > N : x_n > \frac 1 \eps\)
\(\thus x_n \in U_{\eps}(+\inf) \thus \lim \ \ x_n = +\inf\)
Доказано
Для неограниченной снизу аналогично

ЛЕК 27.10.22

Определение 1

\(\set{x_n}, x_{n_k}\subseteq \set{x_n}\)
если \(\ex\lim k \inf x_{n_k}\), то называется частичным пределом \(\set{x_n}\)

Наибольший из частичных пределов называется верхним пределом \(\uplim n \inf x_n\)
Наименьший из частичных пределов называется нижним пределом \(\dnlim n \inf x_n\)

Теорема 6

Любая последовательность имеет как верхние так и нижние пределы

Доказательство

1. \(\ex\) верхнего предела
   Если \(\set{x_n}\) неограничена \(\thus \ex \set{x_{n_k}} : \lim k \inf x_{n_k} = + \inf \thus \uplim n \inf x_n = + \inf\)

\(\set{x_n}\) -огр сверху
\(A\) - множество частных пределов
\(\set{x_n}\)
\(\set{x_n}\) - огр \(thus\) A - огр \(\thus \ex sup(A) = a\)

2. \(a\) - частичный предел
   \(\set{\eps_n} : (\lim n \inf \eps_n = 0) \cap (\forall n\ \eps_n > 0)\)
   по определению супремума (для \(f\)) \(\forall \eps_n \ex k : a-\eps_n < x_k \leq a\)
   Перебираем все номера, составим \(\eps_1: k = n_1 : a-\eps_1 < x_{n_1} \leq a\)
   \(\eps_2 : k=n_2 > n_1 \thus a - \eps_2 <x_{n_2} \leq a\)
   \(\dots\)
   \(\eps_p: k=n_p > n_{p-1}: a-\eps_p < x_{n_p} \leq a\)

\(\set{x_{n_p}} : \forall p : a-\eps_p < x_{n_p} \leq a\)

\(\lim p \inf x_{n_p} = a \thus a \in A \thus a = \max(A) \thus a = \uplim n \inf x_n\)
Аналогично, если \(a^\star = inf(A) \thus a^\star = \dnlim n \inf x_n\)

Теорема 7

Для того, чтобы последовательности была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы её верхний и нижний пределы совпадали

Доказательство необходимости следует из теоремы о пределе последовательности

Предпологается, что пределы конечны

\(\set{x_n}, \dnlim n \inf = \uplim n \inf = a\)
Зафиксируем \(\eps > 0\) и докажем, что \(\ex N_1 : \forall n > N_1 : x_n < a + \eps\)
Если \(\not\ex x_n > a + \eps \thus N_1 = 1\)
Предположим, что \(\ex k = n_1 : x_k > a+\eps, n > n_1\)
Если \(\forall n > n_1 : x_n < a + \eps \thus N_1 = n_1\)
\(\ex k = n_1 > n_1 : x_k > a + \eps\)
\(n > n_2\)

1. останавливаемся на каком-то шаге \(\thus \ex N_1 = n_{k}\)

2. процесс продолжается до бесконечности \(\thus \set{x_{n_p}} :\forall p\ x_{n_p} > a + \eps \thus\) все частичные пределы для последовательности \(\set{x_{n_p}} \geq a+ \eps \thus\) случай невозможен

Аналогично \(\ex N_2 : \forall n > N_2 : x_n > a - \eps\)
Возьмём \(N = \max(N_1, N_2) \thus \forall n > N : x_n \in \U \eps a \thus a = \lim n \inf x_n\)
Доказано

Важное следствие - если некоторая последовательность имеет два различных частичных предела, то она расходится

Замечательные пределы. Экспоненты

Теорема 1-я для зам пределов

Для любой Б.М. последовательности существует такой предел
\(\forall \alp_n : \lim n \inf \alp_n = 0 : \ex \lim n \inf \frac{\sin \alp_n}{\alp_n} = 1\)

Доказательство
Нарисуем тригонометрическую окружность
Прямая с углом \(\alp\)
Точка B - на оси x
Точка A - пресечение окружности и прямой
Точка D - 1 на оси x
Точка C - на прямой OA и проецируется на D
\(|AD| > |AB|\)
\(\triangle AOB \subset \triangle AOD \subset \triangle COD \thus S_{\triangle AOB} < S_{\triangle AOD} < S_{\triangle COD}\)
\(OA = OD = 1\)
\(S_{\triangle AOB} = \frac 1 2 \sin\alp \cos \alp\)
\(S_{\triangle AOD} = \frac \alp {2\pi} \pi = \frac \alp 2\)
\(S_{\triangle COD} = \frac 1 2 \tg\alp\)

\(\frac 1 2 \sin\alp \cos \alp < \frac \alp 2 < \frac 1 2 \tg\alp\)
\(\cos\alp < \frac \alp {\sin\alp} < \frac 1 {\cos\alp}\)
\(\cos\alp < \frac{\sin\alp}\alp < \frac 1 {\cos\alp}\)
\(\cos^2\alp<\frac{\sin^2\alp}{\alp^2} < \frac 1 {\cos^2\alp}\)
\(1 - \sin^2\alp < \frac{\sin^2\alp}{\alp^2} < \frac 1 {1-\sin^2\alp}\)
\(1 - \alp^2 < \frac{\sin^2\alp}{\alp^2}<\frac 1 {1-\alp^2}\)

\(\alp \rightarrow \alp_1\)
\(1 - \alp_n^2 < \frac{\sin^2\alp_n}{\alp_n^2}<\frac 1 {1-\alp_n^2}\)
\(\lim n \inf \bracs{\frac{(\sin \alp_n)}{\alp_n}}^2\)
\(\frac{\sin\alp_n}{\alp_n}>0\)
\(\lim n \inf \frac{\sin\alp_n}{\alp_n} = 1\)

Лемма 1

Если \(\set{\alp_n}\) - Б.М. последовательность, то \((\lim n \inf \alp_n = 0) \thus(\lim n \inf (1+\frac{\alp_n}{n})^n = 1)\)

Доказательство
\((1 +\frac{\alp_n}{n})^n = 1 + \alp_n + \frac{\alp_n^2}{2!}(1-\frac 1 n) + \frac{\alp_n^3}{3!}(1 - \frac 1 n)(1 - \frac 2 n) +\dots+ \frac{\alp_n^k}{k!}(1-\frac 1 n)(1 - \frac 2 n)\dots(1-\frac{k-1}n)\)
\(< 1 + \alp_n + \frac{\alp_n^2}{2!}+\frac{\alp_n^3}{3!}+\dots+1 + \alp_n + \frac{\alp_n^2}{2!}+\frac{\alp_n^3}{3!}+\frac{\alp_n^4}{4!}+\sum_{k=5}^n{\frac{\alp_n^k}{k!}}\)

При \(k \geq 5 : k! > 2^k\)
\((1+\frac{\alp_n}{n})^n < 1 + \alp_n + \frac{\alp_n^2}{2!}+\frac{\alp_n^3}{3!}+\frac{\alp_n^4}{4!}+\sum_{k=5}^n{\frac{\alp_n^k}{2^k}} = 1 + \alp_n (1 +\frac{\alp_n}2 +\frac{\alp_n^2}6 +\frac{\alp_n^3}{24}+\frac{\alp_n^4}{120}+\frac{1-(\frac{\alp_n}{2})^{n-5}}{1-\frac{\alp_k}{2}})\)
\(\lim n \inf (1+\frac{\alp_n}{n})^n=1\)

Теорема 1

\(\lim n \inf (1 +\frac 1 n)^n = e\)
\(e = 2.718\dots\)
\(x_n=(1+\frac 1 n)^n\)

1. \(\set{x_n}\uparrow\)

\(x_{n+1}-x_{n} > 0\)
\(x_n = 1 + 1 + \frac 1 {2!}(1-\frac 1 n) + \frac 1 {3!}(1-\frac 1 n)(1-\frac 2 n)+ \dots + \frac{1}{n!}(1-\frac 1 n)\dots(1-\frac{n-1}n)\)
\(x_{n+1} = (1+\frac 1 {n+1})^{n+1} = 1 + 1 + \frac 1 {2!} (1-\frac 1 {n+1}) +\dots+\frac 1 {n!}(1-\frac 1 {n+1})(1-\frac 2{n+1})\dots(1-\frac{n_1}{n+1})+\frac 1 {(n+1)!}(1-\frac 1 {n+1})(1-\frac 2 {n+1})\dots(1-\frac{n-1}{n+1})(1-\frac {n}{n+1})\)
\(>x_n+\frac{1}{(n-1)!}(1-\frac 1 {n+1})(1-\frac 2 {n+1})\dots(1-\frac n {n+1})\)
\(> x_n \thus x_{n+1} > x_n\)

2. Ограниченность
   \(n\geq 4\)
   \((1+\frac 1 n)^n = 1 + 1 +\frac 1 {2!}(1-\frac 1 n) + \frac 1 {3!}(1-\frac 1 n)(1 - \frac 2 n) + \sum^n_{k=4}\frac 1{k!}(1-\frac 1 n)(1-\frac 2 n)\dots\)
   \(< 2 + \frac 1 {2!} + \frac 1 {3!} + \sum^n_{k=4}\frac{1}{2^k} = 2 +\frac 1 2 + \frac 1 6 + \frac 1 {2^4}(1-(\frac{1}{2})^{n-4})\)
   \(< 2 +\frac{37}{48} \approxeq 2.77\)
   \(\thus \ex \lim n \inf (1 + \frac 1 n)^n = e\)
   \(2.5 < e <2.77\)

24.11.22

Определение 1 , параграф 5.6

Пусть некоторая точка \(x \in D_{f}\)
\(x\) - не граничная точка
…

Определение 2

точка \(x_0 \in [D]\), но не явл изолированной точкой этого замыкания называется точкой разрыва, если она не является точкой непрерывности функции \(f(x)\)

Точки разрыва, кроме граничных делятся на следующие три вида

1. устранимые \(\ex \lim x x_0 f(x)\)

2. точки разрыва I рода \(\ex f(x_0-0) = a, \ex f(x_0+0) = b, a \neq b\) \(b-a\) - скачок функции

3. точки разрыва II рода - все остальные

Пример 1

\(f(x) = \cases{x\sin\frac 1 x, x\neq c \\ 1m x = 0}\)
x - устр

Пример 2

\(f(x) = sgn x = \cases {1, x>0 \\ 0, x = 0 \\ -1, x < 0}\)
0 - точка разрыва 1-го рода
b - a = 2

Пример 3

\(y = \frac 1 x, x = 0\) - II рода

Пример 4

Функция дирефле
\(f(x) =\cases{1, x \in \QQ \\ 0, x \in \RR\setminus \QQ}\)

Теорема 1

\(f(x), g(x)\) - непрерывна в \(x_0\), тогда
\(\alp f(x) + \beta g(x)\)
\(f(x) g(x)\)
непрерывны

\(g(x_0) \neq 0 \thus \frac {f(x)} {g(x)}\) - непрер в \(x_0\)
доказательство следует из теоремы 4 п 55

Теорема 2

\(g(x)\) - непрерывна в \(x_0\)
\(f(y)\) непрерывна в \(y_0=g(x_0)\)
то \(f(g(x))\) непрерывна в \(x_0\)
доказательство следует из теоремы 8 п 5.5

Следствия из теорем 1 и 2

1

\(f_1(x), f_2(x) \dots f_n(x)\) - непр в \(x_0\)
\(h(x)\)
операция взятия суперпозиции

при выполнении теоремы 2 мы получаем непрерывную функцию

2

\(g(x)\) определена в окрестности x_0
\(U(x_0)\)
а \(f(y)\) - непрерывна в точке \(x_0\)
\(\lim x x_0 f(g(x)) = f(\lim x x_0 g(x))\)

доказательство
\(\lim x x_0 f(g(x)) = \lim y y_0 f(y) = f(y_0)\) (непрерыв)
\(f(\lim x x_0 g(x)) = f(y_0)\)
Доказано

Теорема 3

Об обратной функции
\(f(x) : D_f \rightarrow E_f\)
\((f\uparrow\uparrow) \vee (f\downarrow\downarrow)\)

f строго возрастает и является непррвыной к важдой точке D
То, обратная функция \(f^{-1}(x)\) определена на \(E_f\), стороого возрастает (строго убывает)
И непрерывна на \(E_f\)

1. \(\ex f^{-1}\)
   \(y_1 \in E_f, y_2 \in E_f\)
   \(y_1 = f(x_1)\)
   \(y_2 = f(x_2)\)
   \(x_1 \neq x_2\)
   \(\thus\)
   \(y_1 \neq y_2\)
   \(f\) - биекция
   \(D_f \leftrightarrow E_f \thus \ex f^{-1} : E_f \rightarrow D_f\)

2. Мнонотонность \(f^{-1}\)
   \(y_1 \in E_f, y_2\in E_f : y_2 > y_1, y_1 = f(x_1), y_2 = f(x_2)\)
   \((y_2 > y_1) \thus (x_2 > x_2) \thus f^{-1}\uparrow\uparrow\)
   аналогично \((f\downarrow\downarrow) \thus (f^{-1}\downarrow\downarrow)\)

3. Непрерывность \(f^{-1}\)
   \(f(f^{-1}(x)) \equiv x\)

\(\lim x x_0 f(f^{-1}(x)) = \lim x x_0 x\)
\(\lim x x_0 f(f^{-1}(x)) = x_0\)
\(\lim x x_0 f^{-1}(f(x)) = x_0\)
\(\lim x x_0 f^{-1}(x) = f^{-1}(x_0)\)

Теорема 4

О непрерывности \(x^n\)
\(x^n\) - непрерывна на \(\RR\), при \(n \geq 0\)
непр на \(\RR \setminus \set{0}\), при \(n < 0\)
\(n \in \ZZ\)
\(x^n \in C^0(R), n \geq 0\)
\(x^n \in C^0(\RR \setminus \set{0}), n < 0\)

Доказательство

1. \(n \geq 0 \thus D_f = R\)
   \(x^n = x x x \dots x\) n раз - непрерыв по вереме 1

2. \(n <0 \thus D_f=R \setminus \set{0}\)

3. $\frac 1 2 rac 1 2

Следситвие любоц многочлен непрерывен в

\(P(x) \in C^0(\RR)\)
\(R(x) = \frac {P(x)} {Q(x)} \in C^0(\upline{\RR} \setminus \Z_0)\)

Терема 5

Непрерывность \(e^k\)

1. Непрерывность в 0

2. Непрерывность в \(x_0\)

следствие \(ln x, a^x, x^\alp\) - непрерывны в своих с

Теорема 6

О непрерывности \(\sin\), \(\cos\)
\(\sin x \in C^0(\RR), \cos x \in C^0(\RR)\)
Доказательство
\(\sin x, x=0\)
\(|\sin x| < |x|\)
\(\eps, \delta = \eps\)
\(|x| < \delta \thus |\sin x| < \eps \thus \lim x 0 \sin x = 0\)

\(\lim x 0 \cos x = \lim x 0 \sqrt{1 - \sin^2 x} = \cos(0)\)

\(\sin x\) в \(x_0\)
\(\lim x x_0 \sin x = \lim t 0 sinx(x_0 + t)\)
\(=\sin x_0 \lim t 0 \cos t + \cos x_0 \lim t 0 \sin t = \sin x_0\)

аналогично \(\cos x\) в \(x_0\)

Теорема 7

Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения

5.7 непрерывность функции на множестве

Теорема вейрштрасса

непрерывная компактная функция ограничена и принимает максимальное и минимальное значение
Доказательство
\(m = inf E_f, M = sup E_f\)

1. Докажем, что \(M \in E_f\)
   \(\set{a_n} : a_n < M, \lim n \inf a-n = M\)
   \(M = sup E_f \thus \forall y_n > a-n, y_n < M, y_n = f(x_n), y-n \in E_f\)
   \(\set{y_n}, \set{x_n} \subseteq D_f\)

\(D_f\) - огр \(\thus \ex \set{x_{n_k}} : \lim k \inf x_{n_k} = x_0\)
\(D_f = [D_f] \thus x_0 \in D_f\)
\(Z_k = f(x_{n_k})\)
Так как функция непрерывна
\(f(x)\) - нерп \(\thus \lim k \inf Z_k = f(x_0)\)
\(\lim n \inf y_n = M \thus \lim k \in Z_k = M\)
…

ЛЕК 12.12.22

Формула тейлора

Опр 1

\(f(x)\ x_0\)

Многочлен тейлора нного порядка для \(f(x)\) окрестности точки \(x_0\) называется многочленом нной степени: его значений в точне \(x_0\) и значение ысег его производных вплоть до к-й в это де точне совпалает с

Говорят что многочлен тейлора имеет с f(x) в точке x0

Многочлен тейлора бесконечноог порядка называется рядом тейлора

Многочлен тейлора нного порядка называется также разложением функции \(f(x)\) в ряд тейлора до нного порядка включительно

В приведённом определении предпологается, что все упомянутые функции \(f(x)\) существуют

Многочлен тейлора имеет следующий вид
\(P(x) = f(x_0) + \sum^n_{k=1}\frac{d^k(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)

Доказательство

Лек 08.02.23

7. Интегралы

7.1 Определение интеграла

\def Опр 1
\(F(x) -\) функция
\(S \subseteq D_f\) - промежуток

\(F(x)\) называется первообразной функции \(f(x) : \fal x \in S : F'(x) = f(x)\)

\lem Лемма 1 Если \(F(x)\) первообра для \(f(x) \thus F\) дифференцируемая на \(S \thus F\) непрерывна на \(S\)

Док-во очевидно

\lem 2
Пусть \(F_1(x)\) первообр для \(f(x)\) на \(S\)

Чтобы \(F_2(x)\) была первообразной \(f(x)\) на промежутке \(S\) \(\leftrightarrow\) \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\) отличались на константу
\(F_1(x) = F_2(x) + C, C = const\)

Док-во
Достаточность \(\leftarrow\) \(C' = 0\)
Необходимость \(\leftarrow\) Следствие 2 из Теоремы о Лагранжа

\def 2
Множество всех первообразных - неопределённый интеграл
\(f(x), \set{F(x) | F(x) = F_0(x) + C}\)

\(F(x) = \int f(x) dx\)

\def 3
\([x_0, x]\) некторый отрезок числовой оси

Разбиение - множество:
\(\tilda \tau = \set{t_k}, x_0 = t_0 < t_1 < t_2 < \dots < t_{n-1} < t_n = x\)

\(t_k\) - узел разбиения
\([t_{k-1}, t_k]\) - сегремнт разбиения
\(\Delta t_k = t_k-t_{k-1}\) - шаг разбиения
\(n\) - порядок разбиения

\def 4
Система множеств \(\tau = \set{\set{t_k}, \set{s_k}}, [x_0, x]\) - разбиение с отмеченными точками, если:

• \(\set{t_k}\) - разбиение отрезка \([x_0, x]\)

• \(\set{s_k}\) - множество отмеченых точек \(\fal k : t_{k-1} \leq s_k \leq t_k\)

\(\tilda \tau = \tilda\tau(x_0, x, n, \set{t_k})\)
\(\tau = \tau(x_0, x, n, \set{t_k}, \set{s_k})\)

\def 5
\(\tilda \tau = \tilda\tau(x_0, x, n, \set{t_k})\) - разбиение
\(\set{\Delta t_k}\) - множество шагов разбиения

\(|\tau| = \max_k \Delta t_k\) - характеристика разбиения

Мелкость разбиения = диаметр = характеристика разбиения

\def 6

\(\tilda \tau_n = \tilda\tau_n(x_0, x, n, \set{t_k})\) - разбиение порядка n отрезка \([x_0, x]\)

\(\tilda\tau_{n_1} = \tilda\tau_n(x_0, x, n_1, \set{t_s}), n_1 > n\)
Это будет размельчением \(\tilda \tau_n\), если \(\set{t_k} \subset \set{t_s} :\)
\(: \fal k \ex s: ((t_k \in \tilda \tau_n) \thus (t_k = t_s \in \tilda\tau_{n_1}))\)

Если \(n_1 = n+1\), то \(\tilda \tau_{n_1}\) - непоср измельчение \(\tilda\tau_n\)
Напр добавить один узел

\def 7
\(\tau_n, \tau_n \rightarrow \tau_{n+1}\)
рассмотрим переход с свойствами

1. \(\tau_{n+1}\) - непоср измельчение \(\tau_n\)

2. \(\tau_{n+1}, \set{s_k}\) - новый набор, не зависит от набора отмеченных точек \(\tau_n\)

Бесконечно продолжая этот процесс получим разбиения \(\set{\tau_n}\)

Последовательность разбиений - не числовая последовательность

\def 8
\(\set{\tau_n}\) - послед разбиений
\(\set{\tau_n} \rightarrow \set{|\tau_n|}\) - последовательность характеристик - харастеристическая последовательность (числовая последовательность)

\def 9
Последовательность разбиений, у которой характеристическая последовательность является б.м. - стягивающаяся последовательность разбиений
\(\set{\tau_n} : |\tau_n| \rightarrow 0\)

\def 10
\(f(t)\), определена и ограничена на отрезке \([x_0, x] \subseteq D_f\)
\(\tau = \tau(x_0, x, n, \set{t_k}, \set{s_k})\)
\(\sigma_n(f) = \sum_{k=1}^{n} f(s_k) \Delta t_k\) - интегральная сумма или сумма римана

\(\set{\tau_n}, [x_0, x]\) - последовательность разбиений, соответствующая последовательность интегральных сумм является числовой последовательностью

\def 11
(первое определение интеграла римана)
Пусть \(f(t), [x_0, x]\subseteq D_f, |f(t)| < M\)

Если для любой стагивающейся последовательности разбиений
\(\fal \set{\tau_n}, |\tau_n| \rightarrow 0, \ex I: I=\lim n \inf \sigma_n(f)\) Последовательность суммы римана стремится к одному и тому же значения, то такой придел - интеграл римана
\(\thus I = \int_{x_0}^x f(t) dt = \lim n \inf \sum_{k=1}^n f(s_k) \Delta t_k\), если этот предел существует, называется интегралом лейбница
\([x_0, x]\) - пределы интегрирования
\(t\) - переменная интегрирования
\(f\) - подинтегрированная функция
\(dt\) - дифференциал интегрирования

\def 12
(второе определение интеграла римана)

\(f(t), [x_0, x] \subseteq D_f, |f(t)| < M\)

Если \(\ex I : \fal \eps > 0 \ex \delta > 0 : (\fal \tau_n, |\tau_n| < \delta) \thus (|\sigma(F) - I| < \eps)\)
\(\thus I = \int_{x_0}^x f(t) dt\)

Определения 11 и 12 эквтиваленты

\def 13

Если \(x_0 = a, x = b\) - фиксированные числа, то \(\int_{a}^b f(t) dt = const\) - определённый интеграл

7.2 Основные свойства интеграла Римана

\(\int_a^a f(t) dt =^\text{det} 0\)

\(\int_a^b f(t) dt =^\text{det} -\int_b^a f(t) dt\)