Аналитическая геометрия
Contents
\(\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}\) \(\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}\) \(\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}\) \(\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}\) \(\def\ident{\Longleftrightarrow}\) \(\def\thus{\Rightarrow}\) \(\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }\) \(\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }\) \(\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }\) \(\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }\) \(\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}\) \(\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}\) \(\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}\) \(\renewcommand{\geq}{\geqslant}\) \(\renewcommand{\leq}{\leqslant}\) \(\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}\) \(\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}\) \(\def\ex{\exists}\) \(\def\exo{\ex!}\) \(\renewcommand{\fal}{\forall}\) \(\renewcommand{\int}{\intop}\) \(\def\inf{\infty}\) \(\renewcommand{\tg}{\tan}\) \(\renewcommand{\phi}{\varphi}\) \(\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}\) \(\def\alp{\alpha}\) \(\def\lam{\lambda}\) \(\def\gam{\gamma}\) \(\def\eps{\epsilon}\) \(\def\sig{\sigma}\) \(\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}\) \(\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}\) \(\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}\) \(\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}\) \(\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}\) \(\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}\) \(\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}\) \(\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}\) \(\newcommand\E{\mathbbold{e}}\) \(\newcommand\F{\mathbbold{f}}\) \(\newcommand\G{\mathbbold{g}}\) \(\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}\) \(\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}\) \(\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}\) \(\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}\) \(\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}\) \(\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}\) \(\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}\) \(\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}\) \(\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}\) \(\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}\) \(\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}\)
Аналитическая геометрия#
Содержание
Литература#
СЕМ 1#
Числовая матрица \(m \times n\) - совокупность \(m \times n\) чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из \(m\) строк и \(n\) столбцов
\(n = 1:\ A = \mat{a_{11}}\; det A = a_{11}\)
\(n > 1:\ det A = \sum^n_{i=1}(-1)^{1+i} a_{1j}M_{1i} = (-1)^{1+1}a_{11}M_{11} + (-1)^{1+2}a_{12}M_{12} + \dots + (-1)^{1+n}a_{1n}M_{1n}\)
где \(M\) - минор элемента \(a_{ij}\) определителя матрицы \(A\), т.к. определитель матрицы \((m-1)\times(n-1)\) полученной из матрицы \(A\), вычеркиванием i-строки и j-го столбца
\(n=2\)
\(det A = (-1)^{1+1}a_{11}M_{11} + (-1)^{1+2}a_{12}M_{12} = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\)
\(\det{\dots} = det A = det \mat{\dots}\)
\(A = \mat{1&2\\3&4} = -2\) \(\det{1&2\\3&4} = -2\)
\(n=3\)
\(\det{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}} = (-1)^{1+1}a_{11}M_{11} + (-1)^{1+2}a_{12}M_{12} + (-1)^{1+3}a_{13}M_{13} =\)
\(= a_{11} \det{a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}} - a_{12} \det{a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}} + a_{13} \det{a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}} =\)
\(= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{31}a_{23}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22})\)
\(A = \mat{a_{ij}}_{n\times{n}}\)
Если \(det A \neq 0\)
\(X_1 = \frac{\Delta i}{\Delta} i = \overline{1,n}\) \(\Delta = det A,\ \Delta_i = det (a_1, \dots a_{i-1}, b (not\ a_i), a_{i+1}, \dots a_n)\)
\(A = \mat{a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots \\ a_{m1} & & a_{mn}}\)
\(\block{pmatrix}{a_{11} & \dots & a_{1n}} = \overrightarrow{a_1}\)
\(\block{pmatrix}{a_{m1} & \dots & a_{mn}} = \overrightarrow{a_m}\)
\(\block{pmatrix}{a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1}} = \downarrow{a_1}\)
\(\block{pmatrix}{a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn}} = \downarrow{a_n}\)
\(A = \block{pmatrix}{\downarrow{a_1} & \downarrow{a_2} & \dots & \downarrow{a_n}} = \block{pmatrix}{\overrightarrow{a_1} \\ \overrightarrow{a_2} \\ \dots \\ \overrightarrow{a_m}}\)
№ 1204
\(\det{-1 & 4 \\ -5 & 2} = -2 + 20 = 18\)
\(\det{3 & 6 \\ 5 & 10} = 30 - 30 = 0\)
\(\det{a & 1 \\ a^2 & a} = a^2 - a^2 = 0\)
\(\det{a+1 & b - c \\ a^2 + a & ab - ac} = (a+1)(ab - ac) - (b-c)(a^2 + a) =\)
\(= a(a+1)(b-c) - (b-c)a(a+1) = 0\)
\(\block{cases}{ det\block{pmatrix}{\downarrow a_1 & \downarrow a_2 & \dots & \downarrow a_i & \dots & \downarrow a_n} \\ a_i = \alpha \downarrow b + \beta \downarrow c }\)
\(\Longleftrightarrow \alpha\ det\block{pmatrix}{\downarrow a_1 & \downarrow a_2 & \dots & \downarrow b & \dots & \downarrow a_n} + \beta\ det\block{pmatrix}{\downarrow a_1 & \downarrow a_2 & \dots & \downarrow c & \dots & \downarrow a_n}\)
\(\det{2 & x-4 \\ 1 & 4} = 0 \ident 2\times4 - 1(x-4) = 0 \ident x=12\)
\(\det{x & x+1 \\ -4 & x+1} = 0 \ident (x+1)\det{x & 1 \\ -4 & 1} = 0 \ident x(x+1) - (-4)(x+1) = 0 \ident (x+4)(x+1) = 0 \ident \block{cases}{x=-4 \\ x=-1}\)
\(\det{3 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -2} = 3(-2 + 0) + 2(4 - 6) + (0-2) = -6 -4 -2 = -12\)
ЛЕК 1#
Вектор - направленный отрезок
<картинка>
Модуль вектора - его длина \(|\vec{AB}|\) \(|\vec a|\)
Нулевой вектор - вектор, у которого начало совпадает с концом \(\dot{a}\) \(|\vec a| = \vec 0\)
Коллинеарный вектора - вектора, лежаще на одной прямой, либо на параллельных прямых
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину, коллинеарный и однонаправлены
Линейные операции над векторами#
Сложение \(\vec a = \vec b\)#
Свойства сложения:
переместительность закон \(\vec a + \vec b = \vec b + \vec a\)
сочетательный закон \(\vec a + (\vec b + \vec c) = (\vec a + \vec b) + \vec c\)
\(\exists!\) нулевой вектор \(\vec 0\), только что \(\vec a + \vec 0 = \vec a\)
\(\exists!\) для \(\forall \vec a\) противоположенный вектор \(\vec d\), такой что \(\vec a + \vec d = \vec 0\)
Сложение любого конечного числа векторов - нарисовать каждый вектор “начало к концу”
Разность векоров \(\vec a - \vec b\)#
\(\vec a - \vec b\) - это такой вектор \(\vec c\), что будучи сложенным с вычетаемым даёт уменьшаемый
\(\vec b + \vec c = \vec a\)
Умножение вектора на число \(\lambda \vec a\)#
Пусть \(\lambda\) - некое число, \(\vec a\) - некоторый вектор \(\lambda \vec a\)
Определение:
\(|\lambda\vec a| = |\lambda||\vec a|\)
\(\vec a\) и \(\lambda\vec a\) - коллиниарны
\(\vec a\) и \(\lambda\vec a\) - сонаправлены, если \(\lambda > 0\) и противоположны, если \(\lambda < 0\)
Свойства:
\(\lambda (\vec a + \vec b) = \lambda \vec a + \lambda \vec b\)
\((\lambda + \mu)\vec a = \lambda \vec a + \mu \vec a\)
\(\lambda (\mu \vec a) = (\lambda \mu) \vec a\)
Линейная зависимость векторов#
Система векторов - набор векторов
Линейная комбинация векторов - \(\lambda_1 \vec{a}_1 + \lambda_2 \vec{a}_2 + \dots + \lambda_n \vec{a}_n\)
Система веторов называется линейно зависимой, если существует линейная комбинация = 0, такая что хотя бы 1 из коэффициентов не равен нулю (хотя бы одна) линейная комбинация, равная нулю
\(\vec{a}_2, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_n\)
\(\alpha_1\vec{a}_1 + \alpha_2\vec{a}_2 + \dots, \alpha_n\vec{a}_n \neq 0\)
Иначе она называется линейно независимой
Пусть в линейно зависимой системе векторов
\(\alpha_i \neq 0\)
\(\alpha_i\vec{a}_i=-\alpha_1\vec{a}_1 -\alpha_1\vec{a}_1 \dots -\alpha_{i+1}\vec{a}_{i+1} \dots -\alpha_n\vec{a}_n\)
\(\vec a_i = \lambda_1 \vec a_1 + \lambda_2 \vec a_2 + \dots + \lambda_{i-1} \vec a_{i-1} + \lambda_{i+1} \vec a_{i+1} + \dots + \lambda_{n} \vec a_{n}\)
\(\lambda_k = -\frac{d_k}{d_i}\)
2-е определение линейно незавивисой системы
Система \(\vec{a}_2, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_n\) называется линейно независимой, если существует единственная система их линейная комбинация, равная 0, когда все коэффициенты равны 0
Условия линейной зависимости:#
в системе присутствует нулевой вектор, то она линейно зависима
действительно, например, \(\vec{a_i} = 0\), где \(\alpha_i\neq0\), а все остальные = 0, тогда \(\alp_1 \vec a_1 + \dots + \alp_i \vec a_i + \dots + \alp_n \vec a_n = 0\)если часть векторов системы линейно зависима \(\thus\) вся система линейно зависима
Теорема 1: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости из двух веторов является их коллинеарность.
Доказательство:
Дано два линейно зависимых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
Действительно, по определению линейной зависимости, \(\exists\) линейная комбинация \(\alp\vec{a} + \beta\vec{v}=0\), где хотя бы один из векторов \(\neq 0\), например \(\alp \neq 0\)
Теорема 2: Необходимым и достаточному условием линейной зависимости системы из 3-х векторов является компланарность.
Дано три вектора \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) - линейно зависимы
Док-во: Линейно зависимы, значит существует линейная комбинация0 \(\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = 0\)
в которой хотя бы один \(\neq 0\)
Пусть \(\gamma \neq 0\), тогда \(\vec{c} = -\frac{\alpha}{\gamma}\vec{a}-\frac{\beta}{\gamma}\vec{b} \Rightarrow \alpha_1\vec{a} + \alpha_2\vec{b}\)
Действительно, так как \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) в одной плоскости, то совмещая параллельным переносом их начала, тогда получим параллелограмм, в котором \(\vec{c}= \vec{OC} = \vec{OB}\) так как \(\vec{OB} = \alpha\vec{b}\), \(\vec{OA} = \gamma\vec{a}\) \(\alpha\vec{b} + \gamma\vec{a} - \vec{c} = 0\) у которой хотя бы … что и отображает компланарность
Теорема 3: любые 4 вектора линейно зависимы.
Пусть имеем \(\vec a, \vec b, \vec c\ и\ \vec d\) при чём ни одна тройка не компланарная, тогда свожу 4 вектора к одному началу. Из точки D проведём плоскости, параллельные плоскостям из пар \(\vec{a}\vec b, \vec a \vec c, \vec b \vec c\) , из этих плоскостей получаем паралелипипед \(\vec A = \vec {OD} = \vec {OE} + \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \lambda\vec a+\beta\vec b + \gamma\vec c\) а это линейная зависимость.
Следствие любой вектор \(\vec d\) можно разложить по 3-м некомпланарным векторам \(\vec d = \lambda \vec a + \beta \vec b + \gamma \vec c\)
\(\vec a, \vec b, \vec c\)-линейно независимы
Базис#
Базисом в (3-х мерном) пространстве называется такая система линейно независимых векторов, по которым может быть разложена любое вектор-пространство
\(\vec a, \vec b, \vec c\) - образуют базис, если \(\forall \vec a = \lambda \vec a + \beta \vec b + \gamma \vec c\) \(\lambda, \beta, \gamma\) называются …?
В 2-х мерном пространстве любой вектор плоскости может быть разложен по этому базису, то есть \(\forall \vec c = \lambda \vec a + \beta \vec b\)
ОНБ - ортогонально нормированный базис - это базис из единичных векторов \(\hat i, \hat j, \hat k\) - ортогональных дргу другу векторов
\(\forall \vec d = X\hat i + Y \hat j + Z \hat k\) координаты \(X, Y, Z\) совпадают с проекциями вектора \(\vec d\) на себя
проекция \(\vec d = |\vec d|\) на d
\(\vec a^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 = |d|(/экю-это/)\)
ЛЕК 21/09/22#
\([\vec a , \vec b] = \det{\vec i & \vec j & \vec k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2} = \vec i \det{y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2} - \vec j \det{z_1 & z_1 \\ x_2 & z_2} + \vec k \det{x_1 & y_1 \\ x_2 &y_2}\)
\(([\vec a , \vec b], \vec c) = (\vec a, [\vec b, \vec c]) = (\vec a, \vec b\ ,\vec c) = \det{x_1 & y_1 &z_1 \\ x_2 & y_2 &z_2 \\ x_3 & y_3 &z_3}\)
3 вектора компланарны, если попарное векторное произведение равно нулю
Доказать своство векторного проиведения
Докажем одно свойство
\([\vec a + \vec b, \vec c] = [\vec a, \vec c] + [\vec b, \vec c]\)
Если все три вектора лежат в одной плоскости, то вектороное преизведение можно изобразить так: \([\vec a + \vec b, \vec c] = пр._a\vec c \cdot |\vec c| \vec g\)
\(\vec g\) - единичный перп вектор
\([\vec a, \vec c] = пр._b\vec c\cdot|\vec c| \vec g\)
\([\vec b, \vec c] = пр._c\vec c \cdot|\vec c| \vec g\)
\(пр._u(\vec a + \vec b)= пр._u\vec a + пр._u\vec b\)
Доказать
\([\vec a, \vec c] = пр._{\vec b}\vec a |\vec c|\vec g\)
\([\vec a, \vec c] = \proj{\vec c}{\vec a} |\vec c| \vec g\)
\([\vec b, \vec c] = \proj {\vec e}{\vec b} |\vec c|\vec g\)
\([\vec a + \vec b, \vec c] = \proj{\vec e}{\vec a + \vec b}|\vec c|\vec g\)
Уравнение линии на плоскости#
\(Ф(x, y)=Q\)
уравнение линии \(\mathcal{L}\)
Параметрические задание линии:
с поиощью параметра t
\(\forall x \in L: c(k)\)
\(x = \phi(t)\)
\(t = \psi(t)\)
\((\alp \leq t \leq \beta)\)
Если обтарная функция существует: \(t = \phi^{-1}(x)\)
Алгебраическая линия
Если \(Ф(x, y)\) если полиномом по переменным x, y
Алгебр лин называется линия n-ного порядка, если порядок многочлена \(Ф(x, y)\) равен n
Все остальные линии называеются трансцендентрыми
Линейным преобразованием координат (Афинные преобразования)
\(x = a = x'a_{11} + y'a_{12}\)
\(y = b +x'a_{21} +y'a_{22}\)
Порядок линии не меняется при линейном преобразовании координат
Паралельный переноc
\(\cases{x = x' - a \\ y = y' - b}\) - паралельное переос
\(x = x' \cos \phi - y'\sin\phi\)
\(y = y'\cos\phi+y'\sin\phi\)
Параметрическое задание:
Окружность с центром в точке O(a,b) и радиусом R имеет уравнение \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\)
\(R = \sqrt{(x_1-x_O)^2 +(y_1-y_O)^2}\)
Если центр в начале координат, то \(a = 0, b= 0\)
\(x^2 +y ^2 =R^2\)
Возьмём произвольную точку M(x,y)
Опустим перепендикуляр на ось Ox
\(\cases{x = \cos\phi \\ y = \sin\phi} (0 \leq \psi < 2\pi)\)
Если 2 линни \(L_1 ,L_2\) заданы уравнением \(\cases{Ф_1(x,y) = 0\\Ф_2(x,y)=0}\)
точки пересечения - решение системы уравнений
Поверхность и линия в пространстве
Поверхность \(Ф(x,y,z)=0\)
Параметрическое задание \(\cases{x = \phi(t)\\ y=\psi(t)\\ z=\chi(t)} \ \ (\alp \leq t \leq \beta)\)
если \(t=\phi^{-1}(x)\)
\(y = \psi(\phi^{-1}(x))\)
\(z = \chi(\phi^{-1}(x))\)
Пример поверхности
Уравнение сферы
\((x - a)^2 +(y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\)
Линия как пересечение поверхности
Имеем две поверхности
\(\cases{\Phi_1(x,y,z)=0\\\Phi_2(x,y,z)=0}\)
Классы поверхностей:
цилиндрические (все её точки удволетвояют условию: прямая, проходящая через точку - целиком принадлежит поверхности)
конические (любая её точка удволетворяет условию: прямая, проведённая через точку и начало координат принадлежит поверхности)
Линейные геометрические образы#
Прямая на плоскости
Задача: написать уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку \(M_0(x_0,y_0)\) перпендикулярно данному вектору \(\vec N (A, B)\)
(нелбходимое и достаточное условие)Любая точка \(M(x,y)\) лежит на прямой, если \(\vec {MM_0} \perp \vec N \thus \vec {MM_0} \cdot \vec N = 0\)
\((\vec N, \vec{MM_0}) = 0\)
\(A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0\)
\(\vec N\) - нормальный вектор прямой
\(Ax +By - Ax_0 - By_0 = 0\) или же \(Ax +By + C = 0\) - общее уравнение прмой
Неполное уравнение прямой
\(C=0\) \(A\neq 0; B\neq0\) - прямая проходит через начало координат
\(C \neq 0; A=0; By + C =0\) \(y = -\frac C B\) - прямая паралельна оси Ox
аналогично для \(B=0\)
\(A = 0; C=0, y=0\) - ость Ox
Уравнение прямой в отрезке#
\(\frac x a + \frac y b = 1 (const)\)
Как получить из общего уравнения
\(Ax + By = -C\)
\(\frac x {-CA} +\frac x{-CB} = 1\)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
\(Ax + By + C = 0\)
\(By = -Ax - C\)
\(y = \frac {-Ax} B - \frac C B\)
\(\frac {-Ax} B =k; -\frac C B - b\)
k - угловой коэффициент
\(k = th \alp\)
\(\alp\) - угол наклона \(x\)
Угол наклона между прямыми
\(L_1, L_2\)
\(\phi = \phi_2-\phi_1\)
\(\phi\) - угол между
\(\phi_1, \phi_2\) - углы прямых с остью Ox
\(\tg \phi = \tg(\phi_2 - \phi_1) = \frac{\tg\phi_2 - \tg\phi_1}{1+\tg\phi_1\th\phi_2}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\)
чем заметим \(1+k_1k_2=0\), то \(k_2=-\frac 1 {k_1}\) (прямая перпендикулярна)
Нормальное уравнени прямой#
От данной прямой опущу из начала координат перпендикуляр, точку обозначу P, а вектор \(\vec n\)
расстояние \(OP = p\)
условие принадлежности текущей точки \(M(x,y)\) прямой: проекция вектора \(\proj{\vec n}{\vec {OM}} = p = x\cos\phi + y\sin\phi\) - нормальнеое урванение прямой
Получим из общего уравнения:
\(Ax+By+C=0\)
\(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y + \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} = 0\)
\(\rightarrow \cos\phi x \sin\phi y + p = 0\)
Расстояние от точки до прямой#
точка \(M(x*,y*)\), остальное из прошлогй секции
\(\vec d\) - перенесённый \(\vec n\), чтобы он указывал на M
Продливаем \(\vec n\)
\(\proj{\vec n}{OM*} = d+p\)
\(\proj{\vec n}{(x*\cos\phi =y*\sin\phi)} = d+p\)
\(d = \proj{\vec n}{(x*\cos\phi =y*\sin\phi)} - p\)
\(\delta = \pm d\)
\(\delta\) - отклонение точки от прямой
Биссектрисы двух углов между прямыми
геометрическое … точек между прямыми
\(x\cos\phi_1 + y\sin\phi_1 - p_1 = \pm (x\cos\phi_2 + y\sin\phi_2 - p_2)\)
СЕМ 23.09.22#
TODO
ЛЕК 28.09.22#
СЕМ 30.09.22#
ЛЕК 05.10.22#
в декартовой линейной системе координат плоскость описывается
\(Ax+By+Cz+D=0\)
Задача#
Через данную точку в пространстве \(M_0(x_0, y_0, z_0)\) провести плоскость пепендикулярную, данному вектору \(\vec N (A, B, C)\)
\(M_0(x_0, y_0, z_0)\)
Берём произвольную точку \(M(x, y, z)\) соединяем вектором
\(\vec {M_0M}\)
Необходимое и достаточное условие принадлежности точки \(M(x, y, z)\) является скалярное произведение векторов \(\vec V (A, B, C)\) и \(\vec M_0M(x-x_0, y-y_0,z-z_0)\)
\((\vec N, \vec {M_0M}) = 0\)
\(A(x-x_0) +B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0\)
Неполное уравнение плоскости#
\(D = 0; A,B,C \neq 0\) \(Ax + By +Cz = 0\) - плоскость, проходящая через начало координат
\(A = 0; By + Cz + D = 0\) - плоскость, паралельная оси Ox
\(B = 0 \dots\) - паралельая Oy
\(C = 0 \dots\) - паралельно Oz
\(A = 0, B = 0\) \(Cz +D = 0; z = -\frac{D}{C}\) - паралельно плоскости Oxy
Уравнение плоскости в отрезках (на координатных осях)#
\(Ax + By+ Cz +D = 0 (D\neq 0)\)
\(Ax + By +Cz = -D\)
\(\frac x {-D/A} + \frac y {-D/B} +\frac z {-D/c} = 1\)
или
\(\frac x a + \frac y b + \frac z c = 1\)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки#
\(M_1(x_1,y_1,z_1)\)
Нормальный вектор получим, как веркорное произведение векторов, например \(\vec{M_1, M_2}\) и \(\vec {M_!M_3}\)
\(\vec N = \det {\vec i & \vec j & \vec k \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3 - y_1 &z_3-z_1}\)
получим уравнение плоскости
\(A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0\)
\((x-x_1)\det{y_2y_1 & z_2-z_1 \\ y_3-y_1 & z_3-z_1} - (y-y_1)\det{x_2-x_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & z_3-z_1} + (z-z_1)\det{x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1} = 0\)
\(\det{x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ \dots} = 0\)
Угол между двумя плоскостями. Условия паралельности между плоскостями#
Линейный угол друхгранного угла, образованного плоскостяим \(\alp\) и \(\beta\)
Пусть нормальные кетора плоскостей \(\alp\) и \(\beta\) будут соответсвеноо \(\vec N_1(A_1, B_1, C_1)\) и \(\vec N_2(A_2,B_2,C_2)\)
Угол \(\phi\) между нормальными векторами является углом между плоскостями
Угол определяем из скалярного произведения
\((\vec N_1 ,\vec N_2) = |\vec N_1| |\vec N_2| \cos \phi\)
Условие паралельности плоскостей, коллинеарность нормальей:
\(\frac {A_1} {A_2} = \frac {B_1} {B_2} = \frac {C_1} {C_2}\)
Условие перпендикулярности:
\(A_1A_2+B_1B_2+c_1C_2 = 0\)
Нормальное уравнение плоскостей#
\(OP\perp \pi\)
\(\vec n\) -единич вектор вдоль \(\vec {OP}\)
\(\vec n = (\cos \alp,\cos\beta,\cos\gam)\). где \(\alp, \beta, \gam\) - углы вектора \(\vec n\) с соответсвующими осями координат
Условия принадлежности текущей точки \(M(x,y,z)\) искомой плоскости \(\proj {\vec n}{\vec{OM}} = p\) (где p - )
\(\proj {\vec n} {\vec OM} = \frac {(\vec{OM})}{|\vec n|} = x\cos \alp + y\cos \beta + z\cos \gam = p\) корни уравнения
Приведение обшего уравнения плоскости к нормальному виду#
\(Ax +By + Cz +D =0 | \sqrt{A^2+B^2+C^2}\)
\(\frac x {\sqrt{A^2+B^2+C^2}/A} + \frac y {\sqrt{A^2+B^2+C^2} /B} +\frac z{\sqrt{A^2+B^2+C^2}/C}+\frac D{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = 0\)
существует коэффици\нты x, y, z можно … направленные …
Точка и плоскость …#
из точки \(M\star\) опускаем \(\perp\) на плоскость \(\alp\) получаем расстояние \(d\) \(\vec {M\star P}\perp\vec a\)
\(\proj {\vec n} {\vec{OM\star}} = p+d\)
\(\proj {\vec n}{\vec{OM\star}} = \frac{(\vec {OM}, \vec n)}{|\vec n|} = x\star\cos\alp +y\star\cos\beta + z\star\cos\gam - p = d\)
Заметим, если точка \(M\star\) и начало координат O лежат по одну сторону от плоскости, … \(\delta = \pm d\)
если по разные, то \(\delta = d\)
если по одну, то \(\delta = -d\)
Пучок плоскостей#
Это множество всех плоскостей, проходящих через данную прямую
Уравнения прямой \(L\) задаётся двумя пересекающимяся плоскостями
\(\block{cases}{A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2 = 0}\)
Уравнение любой плоскости пучка можно получить из уравнения \(\alp(A_1x+B_1y+C_1z+D_1) + \beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\)
решим на плоскости \(\alp\) (точко \(\alp \neq 0\))
\(A_1x+B_1y+C_1z+d_1 +\gam(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0 (\gam = \frac \beta \alp)\)
Связка плоскостей#
Это совокупности плоскостей, проходящих через одну точку
\(S_0(x_0,y_0,z_0)\)
\(A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) .....\)
Прямая в пространстве#
Это пересечение двух плоскостей и задаётся системой из двух уравнений
\(\block{cases}{A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}\) - общие уравнения прямой
Канонические уравнения прямой#
Задача:
через данную точку \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) провести прямую, паралельную данному вектору \(\vec a = (l,m,n)\) направленный вектор прямой
\(M(x,y,z)\)
Необходимое и достаточное условие принадлежности точки \(M(x,y,z)\) искомой прямой - коллинеарность векторов \(\vec a, \vec M_0, \vec M\)
то есть, пропорциональность их соответсв. координат
\(\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n\) координаты уравнения прямой
Переход от общих уравнений к каноническим#
Для этого надо знать точку пррямой и её направляющий вектор \(\vec a(l,m,n)\) - вектороне произведение нормальных векторов
\(\vec a = [\vec N_1, \vec N_2] = \det{\vec i & \vec j & \vec k \\ A_1 &B_2 & C_1 \\ A_2 & B_2 &C_2}\)
Точка \(M_0\) выбирается так, чтобы ко\ффициэнты при остальных двух переменных удволетворяли условию \(\det{A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2}\) и любой другой
Параметричсекие уравнения прямой#
Берет за параметр \(t\)
\(\block{cases}{x = x_0 +lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt}\)
Уравнения прямой проходящее через две точки#
\(\vec{M_1, M_2}\) - вектор прямой
точка прямой - \(\vec N\)
\(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{}\)
07.10.22#
\(M(x, y)\)
\(\vec N = {A, B} \neq \vec 0\)
\(M_0(x_0, y_0)\)
\(M \in l \ident \vec{M_0M} \perp \vec N \ident (\vec N, \vec {M_0M}) = 0\)
Первый вид: \(A(x-x_0) +B(y-y_0)=0\)
Второй вид: общий \(Ax+By + C=0 (|A|+|B>0)\)
Третий вид: \(A\neq 0, B\neq 0, C\neq0\) \(\frac x a + \frac y b = 1\)
Четрвёртый вид: параметрический
\(\vec m = \set{a, b} \neq \vec 0\)
\(\vec m || l\)
\(M_0 \in l \ident \vec{M_0M}||\vec m \ident \ex t; \vec{M_0M} = t\vec m \ident \cases{x-x_0=at\\y-y_0=bt} (-\inf < t < \inf)\)
Пятый вид: \(\vec{M_0M} || \vec m \ident \frac{x-x_0}a = \frac{y-y_0}b\)
Шестой вид: \(y - kx +b, k=\tg(\alp), b\neq 0\)
Седьмой вид: нормированный \(Ax+By+C=0 | \pm \frac 1 {\sqrt{A^2+B^2}} = \pm \frac 1 {|\vec N|}\)
\(\vec n = \pm \frac {\vec N}{|\vec N|}\)
\(\vec n = 1 \thus \vec n = \set{\cos \alp, \cos \beta} = \set{\cos \alp, \sin \alp}\)
\(|p|=dist(\phi, l)\)
отклонение точки от прямой - \(\delta(x,y) = x\cos\alp +y\sin\alp +p = 0\)
\(\delta(x,y) = \delta(M^\star)\)
\(|\delta(M^\star)| = dist(M^\star, l)\)
№214
\(3x-4y-29=0\)
\(2x-5y+19=0\)
\(\vec N_1 = \set{3, -4}, \vec N_2 = \set{2, 5}\)
\(\vec N_2 \not{||} \vec N_2 \thus l_1 \not{||} l_2 \thus \exo M_0 = l_1 \cup l_2\)
\(M_0\in l_1, M_0\in l_2\)
\(M_0(x_0,y_0)\)
решаем систему координат подставляя \(x_0, y_0\)
\(\cases{x=3\\y=-5}\)
\(M_0(3, -5)\)
№223
\(2x+3y+4=0 (l)\)
\(M_0 \in l_1\)
\(l_1 || l \thus \vec N_1 = \vec N = \set{2, 3}\) \((\vec N_1, \vec{M_0M}) = 0\) \(2(x-2) + 3(y-1) = 0\) \(2x+3y-7=0\)
\(l_1 \perp l \thus \vec N = \set{2, 3} \perp \vec N_1 = \set{-3, 2}\) \(-3(x-2) + 2(y-1) = 0\) \(-3x+2y+4=0\)
№ 227
\(p(-5, 13)\)
\(l: 2x-3y-3=0\)
найдём \(l_1 : l_1 \perp l, p\in l_2\)
\(R = l_1\cup l\)
\(\vec{OQ}=\vec{OP}+\vec{PQ} = \vec{OP} + 2\vec{PR} =\)
\(3(x+5)+2(y-13)=0\)
решаем две системы
ЛЕК 12.10.22#
Задачка#
Найти условие пересечения трёх плоскостей в одной и только в одной плоскости
Три плоскости
\(\cases{A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \\ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0}\)
Решение существует, когда \(det \neq 0\)
\(\det{A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3}\)
Задачка#
Уравнение биссекторной плоскости плоскости двухгранного угла
плоскости \(\pi_1, \pi_2\)
Приведём уравнение данных плоскостий к нормальному виду
\(A_{1,2}x+B_{1,2}y +C_{1,2}z +D_{1,2} = 0 | :\sqrt{A_{1,2}^2+B_{1,2}^2+C_{1,2}^2}\)
\(\cos\alp_{1,2} + \cos\beta_{1,2} + \cos\gam_{1,2} - p_{1,2} = 0\)
приравниваем с плюсом и с минусом
биссекторные плоскоски:
\(x\cos\alp_1 +y\cos\beta_1 +z\cos\gam_1-p_1 = \pm(x\cos\alp_2 +y\cos\beta_2 +z\cos\gam_2-p_2)\)
Задачка#
Условие пересечения данной плоскостью отрезка MN
\(Ax+By+Cz+D=0\)
Как следует из определения отклонения точки от прямой, отклонение точки M \(\delta_M\) от отлконения точки N \(\delta_N\) должны иметь разные знаки
Задачка#
Условие расположения двух данных точек относительно двух данных пересекающихся плоскостей
Плоскости \(\pi_1,\pi_2\)
Точки \(A, B\)
Выяснить, лежат ли обе точки:
в одном углу между плоскостями
в смежных углах
в вертикальных углах
отклонения точек A, B от этих плоскостей \(\delta_{A1}, \delta_{B1}\) (плоскость \(\pi_1\)), а также \(\delta_{A2}, \delta_{B2}\) (плоскость \(\pi_2\)) должны быть одного знака
отклонение \(\delta_{A1}, \delta_{B1}\) - одного знака, а \(\delta_{A2}, \delta_{B2}\) - разных знаков
отклонения \(\delta_{A1}, \delta_{B1}\) - разных знаков, а также \(\delta_{A2}, \delta_{B2}\) - разных знаков
Задачка#
Опустить перпендикуляр из данной точки на данную плоскость
это значит написать уравнение этого перпендикуляра
рассматриваем реометрическую корректность задачи
данная плоскость \(\pi\) и данная точка \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)
мы знаем, что перендикуляр на плоскость опускать можно, задача корректна
Для нахождения уравнения этого перпендикуляра требуется знать координаты точки, на этом перпендикуляре и направляющий вектор этого перпендикуляра
Точка известна \(M_0\)
Найдем направляющий вектор \(\vec a = (l,m,n)\)
За направляющий вектор прямой можно взять нормаль плоскости
\(\vec N = (A, B, C)\)
тогда сразу можно записать уравнение искомой прямой в каноническом виде
уравнение прямой \(Ax+By+Cz+D=0\)
\(\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}\)
Задачка#
Через данную точку провести плоскость, паралельную данной плоскости
Данная плоскость
\(Ax+By+Cz+D=0\)
Данная точка
\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)
Задача поставлена корректно, с геометрической точки зрения
Решаем её аналитически
Для уравнения всякой плоскости нужно знать координаты какой-либо точки этой плоскости и её нормальный вектор
Точка дана \(M_0\), нормаль совпадает с нормалью данной плоскости
\(\vec N = (A, B, C)\)
Уравнение искомой плоскости:
\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
Задачка#
Через данную точку провести плоскость перпендикулярную данной прямой
Дана прямая \(L: \frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n}\)
Дана точка \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)
Надо провести плоскость:
требуется точка и нормаль
Точка дана \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)
Нормаль - идёт вдоль прямой - есть направляющий вектор \(\vec a = (l,m,n)\)
Искомое решение
\(l(x-x_0)+m(y-y_0)+n(z-z_0)=0\)
Задачка#
Через данную прямую и не пренадлежащую ей точку провести плоскость
Дана прямая \(L: \frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n}\)
Дана точка \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)
Надо провести плоскость:
требуется точка и нормаль
Точка дана \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)
Нормалью будет векторное произведение направляющего вектора прямой \(\vec a = (l,m,n)\) и вектора, соединяющего точки \(M_1, M_0\)
\(M_1\) - точка на прямой
Уравнение искомой плоскости
\(A(x-x_0) +B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
Где \(A, B, C\) - координаты вектора \([\vec a, \vec{M_0M_1}] = \vec N(A,B,C)\)
\([\vec a, \vec{M_0M_1}] = \det{\hat i &\hat j & \hat k \\ l & m & n \\ x_1-x_0 & y_1-y_0 & z_1-z_0}\)
Задачка#
Даны 2 скрещивающиеся прямые
Найти уравнение плоскости, проходящей через одну из этих прямых, паралельно другой
Дана плоскость \(\pi\)
Даны прямые
\(L_1: \frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}\)
\(L_2: \frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2}\)
Для написания уравнения плоскости нужны точка и нормаль:
В качестве точки берём \(M_1(x_1,y_1,z_1)\), принадлежащей прямой \(L_1\)
А в каестве нормали берём направляющие вектора прямых \(\vec N = [\vec a_1, \vec a_2]\)
\(\vec N = \det{\hat i &\hat j & \hat k \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2} \thus\) искомое уравнение \(A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0\)
Задачка#
Из данной точки опустить перпендикуляр на данную прямую
Дана прямая \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)
Дана прямая \(L: \frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n}\)
Для написания уравнения искомой прямой надо знать точку на это прямой и её направляющий вектор
Точка известна \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)
Направляющий вектор \(\vec a\) получим с помощью плоскости
(смотри пред задач)
Через точку M0 проведём плоскость, проходящую через прямую L
Из этой плоскости берям её нормаль \(\vec N = (A, B, C)\) и направляющий вектор искомой прямой \(\vec a = [\vec N, \vec a_1]\)
Задачка#
Через данную прямую и данную плоскость, провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости
Дана прямая \(L: \frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n}\)
Дана плоскость \(Ax+By+Cz+D=0\)
Для написания уравнения искомой плоскости нужно знать её точку и нормальный вектор
В качестве точки берём точку \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) из прямой \(L\)
В качестве нормали искомой плоскости берём \(\vec N_1 = [\vec a, \vec N] = \det{\hat i &\hat j & \hat k \\ l & m & n \\ A & B & C}\)
Задачка#
Найти расстояние между двумя паралельными прямыми
Даны прямые
\(L_1: \frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}\)
\(L_2: \frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2}\)
Т.к. они паралельные, их направляющие векторы равны \(\vec a = (l,m,n)\)
Берём точки \(M_1(x_1,y_1,z_1) \in L_1\) и \(M_1(x_2,y_2,z_2) \in L_2\)
Рассмотрим паралелограмм между направляющими веторами, исходящих из точек \(M_1, M_2\)
\(d\) - искомое расстояние - пермендикуляр между прямыми
Площадь паралелограмма \(S=d|\vec a| = d\sqrt{l^2 + m^2+n^2} = {|[\vec{M_2M_1}, \vec a]|}\)
\(\thus d = \frac{|[\vec{M_2M_1}, \vec a]|}{|\vec a|}\)
Задачка#
Написать уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых
Общий перпендикуляр имеет направляющий векотор \(\vec a = [\vec a_1, \vec a_2]\)
Точку найдём из одной из предыдущих задач (провести через \(L_1 || L_2\))
Из этой плоскости берём любую ея точку
СЕМ 14.10.22#
№233#
Составить уравнение прямой
\(l; l \perp \vec{OP}, p \in l\)
\(2(x-2) +3(y-3)=0\)
\(2x+3y-13=0\)
№239#
\(M_1(-1, 2)\)
\(M_2(2,3)\)
\(\vec{M_1M_2} = \set{3,1}\)
\(l; \vec{M_1M_2}||L, m_1\in l\)
\(\thus \frac{x+1}3 = \frac{y-2}1 \thus \frac x 3 - \frac y 1 = -\frac 1 3 - 2 = -\frac 7 3\)
\(\frac x {3(-\frac 7 3)} - \frac y {(-\frac 7 3)} = 1\)
\(\frac x a + \frac y b = 1\)
№245#
\(A(1,-2)\)
\(B(5,4)\)
\(C(-2, 0)\)
\(|\phi_2 - \phi| = |\phi-\phi_1|\)
\(\tg |\phi_2-\phi| = \tg |\phi-\phi_1|\)
\(|\tg (\phi_2-\phi)| = |\tg (\phi-\phi_1)|\)
\(|\frac{\tg(\phi_2)-\tg(\phi)}{1+\tg(\phi_2)\tg(\phi)}| = |\frac{\tg(\phi)-\tg(\phi_1)}{1+\tg(\phi)\tg(\phi_1)}|\)
\((\vec N_1, \vec{M_0M}) = 0\)
\((\vec N_2, \vec{M_1M}) = 0\)
\((\vec N_1 \pm \vec N_2, \vec{M_0M})=0\)
\(\vec{AB} = \set{4,6}\)
\(l_1=(A,B); A\in l_1, \vec{AB} || l_1 \thus \vec N_1 = \set{-3, 2}\)
\(-3(x-1)+2(y+2)=0\)
\(-3x+2y+7=0\)
\(l_2=(A,B); A\in l_2, \vec{AB} || l_2 \thus \vec N_2 = \set{-2, -3}\)
\(-2(x-1) -3(y+2)=0\)
\(\frac{-3x+2y+7}{\sqrt{13}} \pm \frac{-2x-3y-4}{\sqrt{13}}=0\)
\(-5x-y+3=0\) - бессектриса внутреннего угла
\(-x+5y+11=0\) - бессектриса внешнего угла
№249#
\(M(1,2)\)
\(N(3,4)\)
\(P\)
\(N_1(3,-4)\)
\(\vec{MN_1} = \set{2, -6}\)
\(\frac{x-1}1 = \frac{y-2}{-3}\)
\(x = 1+4/3 = 5/3\)
№ 250#
\(x-2y+5=0\ l_1\)
\(3x-2y+7=0\ l_2\)
№ 267#
\(N(5,2)\)
\(M_1(-10, 2)\)
\(M_2(6,4)\)
\(M_3\) - ?
\(h: h\perp \vec{M_1M_2}, N\in h\)
\(\vec{M_1M_2} = \set{16,2} = \set{8,1}\)
\(8(x-5) + 1(y-2)=0\)
\(8x+y-42=0\)
\(l_1=(M_2,M_3)\)\(l_1: l_1\perp\vec{M_1N}, N \in l_1\)
\(\vec{M_1N} = \set{15, 0}\)
\(15(x-6)+0(y-4)=0\)
\(x=6\)\(M_3 = l_1\cup h\)
\(\cases{8x+y-42=0\\x=6}\)
СЕМ 21.10.22#
Прямая \(Ax + By + C =0\)
N - номальный вектор
\(M_0\) - начало нормального вектора
\(f(M) = (\vec N, \vec{M_0M})=0\)
Для произвольной точки M значение этой точки будет \(\cases {> 0, M\in l^+ \\ =0, M\in l \\ <0, M\in l^-}\)
\(|\frac{f(M)}{|\vec N|}| = dist(M, l)\)
Чтобы узнать, пересекаются ли прямая и отрезок, можно посмотреть на знаки этой функции на концах отрезка, если они разные, то прямая пересекает отрезок (2д)
Пусть есть прямые, они пересекаются под остарым углом
\(0 < \hat{l_1,l_2} < \frac \pi 2\)
Проводим нормальни к этим прямым
Угол между прямыми совспадает с углом между норамлями
\(l_1: f_1(M)=0\)
\(l_2 : f_2(M)= 0\)
если угол между нормалями тупой, то при разности знаков функци \(f_1,f_2\) точка находится в тупом углу
№313
\(M(1,-3)\)
\(O(0,0)\)
\(2x-y+5=0 (l)\)
\(f(M)=10>0\)
\(f(O)=5<0\)
Точки лежат в одной полуплоскости
\(x-3y-5=0\)
\(f(M)=5>0\)
\(f(O)=-5<0\)
Точки лежат в разных полуплоскостях
№317
\(2x-3y+6=0\)
не пересекает \(M_1(-2,-3), M_2(1,-2)\)
\(f(M_1)=11>0\)
\(f(M_2)=14>0\)
Не пресекается
№341
\(M(1,-2), O(0,0)\) лежат ли в смежных или вертикальных углах
\(2x-y-5=0\) \(3x+y+10=0\)
\(f_1(M)=-1<0\) \(f_1(O)=-5<0\)
\(f_2(M)=11>0\) \(f_2(O)=10>0\)
M и O в одном углу
\(\hat{N_1,N_2}<\frac \pi 2\)
\(4x+3y-10=0\) \(12x-5y-5=0\)
\(f_1(M)=-12<0\) \(f_1(O)=-10<0\)
\(f_2(M) = 17 > 0\) \(f_2(O)=-5<0\)
Лежат в смежных углах
\(x-2y-1=0\) \(3x-y-2=0\)
\(f_1(M)=4\) \(f_1(O)=-1\)
\(f_2(M)=3\) \(f_2(O)=-2\)
Вертикальные
Тупые углы
№345
\(3x-2y+5=0 (l_1)\)
\(2x+y-3=0 (l_2)\)
\(O(0,0)\)
\(f_1(O)=5\)
\(f_2(O)-3\)
\((\vec N_1, \vec N_2) = 4 > 0 \thus \hat{\vec N_1, \vec N_2}<\frac \pi 2\)
В остром углу
№349
\(x+2y-11=0 | \cdot \frac 1 {\sqrt{5}}\)
\(3x-6y-5=0 | \cdot \frac{1}{3\sqrt 5}\)
\(M(1,-3)\)
\(l_1 \pm l_2 = 0\)
\(6x-38=0\) \(3x-19=0\)
\(12y-28=0\) \(3y-7=0\)
Строим любое уравнение бисстикрисы угла, и берём любую точку, если повезёт, то окажется в одном угле, если в вертикальных, то берям отрицательную точку, если в вмежных, берём перпендикулярную и повторяем предыдущий шаг
\(M_0(0, \frac {7}{3})\)
\(f_1(M_0) = \frac 14 3 - 11 < 0\) \(f_1(M_0)=-16<0\)
\(f_2(M)=-14-5<0\) \(f_2(M) = 3+18-5 > 0\)
в смежных углах \(\thus\) …
№351
\(3x+4y-5=0\)
\(5x-12y+3=0\)
\((\vec N_1, \vec N_2) < 0 \thus \hat{\vec N_1, \vec N_2} > \frac \pi 2\)
\((3x+4y-5)13 - (5x-12y+3)5 = 0\)
\(14x + 112y -80=0\)
\(7x+56-40=0\)
№315
\(3x-2y-5=0\)
\(2x+3y+7=0\)
\(A(-2,1)\)
\(f_1(A)=-13<0\)
\(f_2(A)=6>0\)
\(d_1=|\frac{f_1(A)}{\vec N_1}| = \sqrt{13}\)
\(d_2=|\frac{f_2(A)}{\vec N_2}| = \frac 6 {\sqrt 13}\)
\(S = d_1d_2=6\)
№325
\(10x+15y-3=0\)
\(2x+3y+5=0\)
\(2x+3y-9=0\)
\(M_2(-1, -1)\)
\(M_3(0,3)\)
\(f_1(M_2)=-28<0\)
\(f_1(M_3)=42>0\)
\(\thus l_1\) между \(l_2\) и \(l_3\)
\(\frac {d_2}{d_3} = \frac{|\frac {f_1(M_2)}{|\vec N_1|}|}{|\frac{f_1(M_3)}{|\vec N_1|}|} = \frac {28}{42} = \frac 2 3\)
№331
\(3x-4y-10=0\)
\(d=3\)
\(l_1||l\thus l_1: 3x-4y+C=0\)
\(M_0(2,-1)\in l\)
\(d=dist(l_1,l)=dist(l-1, M_0)=|\frac{f_1(M_0)}{|\vec N_1|}| = |\frac{3*2 - 4(-1) +C}{5}|\)
\(|\frac{10+C}{5}|=3\)
\(\frac{10+C}{5}=\pm 3\)
\(10+C = \pm 15\)
\(C=5\)
\(C = -25\)
\(3x-4y+5=0\)
\(3x-4y-25=0\)
СЕМ 28.10.22#
\(M\) - система координат : \(\vec{OM}=\set{x,y,z}; M(x,y,z)\)
плоскость \(\pi\) онозначно определяется точкой \(M_0\) и \(\vec N\)
\(\vec{M_0M} = \set{x-x_0, y-y_0,z-z_0}\)
\(M \in \pi\) если \(\vec {M_0M} \perp \vec{N} \ident (\vec N, \vec{M_0M}) =0 \ident A(x-x_0) + B(y-y_0) +C(z-z_0) = 0\) (1)
\(Ax + By + Cz + D = 0\) (2)
\(A\neq0, B\neq0,C\neq0, D\neq \thus \frac x a + \frac y b + \frac z c = 1\) (3)
\(Ax + By + Cz +D = 0 | \pm \frac{1}{|\vec{N}|}\)
\(x\cos\alp + y\cos\beta + z\cos\gamma +p = 0\) (4)
\(|p|=dist(O, \pi)\)
\(|\delta(M)| = dist(M, \pi)\)
\(\delta(M) = \frac{f(M)}{\pm|\vec N|}\)
№ 915
\(P(2, -1, -1)\)
\(\pi\)
\(P\in\pi\)
\(\vec{OP} \perp \pi\)
\((\vec{OP}, \vec{PM}) = 0\)
\(2(x-2) - 1(y+1) - 1(z+1) = 0\)
\(2x-y-z-6=0\)
№ 919
\(M_1(2,-1,3), M_2(3,1,2)\)
\(\vec a = \set{3, -1, 4} \parallel \pi\)
\(M\in\pi \ident \vec{M_1M}, \vec{M_1M_2}\) компланарны
\(\ident <\vec{M_1M}, \vec{M_1M_2}, \vec a> 0\)
\(\det{x_2&y+1&z-3\\1&2&-1\\3&-1&4} = 0\)
\(x-y-z=0\)
№ 925 (1,3)
\(3x-y-2z-5=0\)
\(x+9y-3z+2=0\)
\(\vec N_1 = \set{3, -1, -2}\)
\(\vec N_2 = \set{1, 9, -3}\)
\((\vec N_1, \vec N_2) = 0 \thus \vec N_1 \perp \vec N_2 \thus \pi_1 \perp \pi_2\)
\(2x - 5y + z = 0\)
\(x + 2z - 3 = 0\)
№ 930
\(M_1(3, -2, -7)\)
\(2x-3z+5=0\)
\(\pi_1\)
\(\pi_1||\pi \thus \vec N_1 = \vec N = \set{2, 0, -3}\)
\(M_1\in\pi_1\)
\(2(x-3)+0(y+2)-3(z+7)=0\)
\(2x-3z-27=0\)
№ 937
\(7x+4y+7z+1=0\)
\(2x-y-z+2=0\)
\(x+2y+3z-1=0\)
\(\cases{7x+4y+1=0\\2x-y+2=0}\)
\(M_1(-\frac 3 5, \frac 4 5, 0)\)
\(\cases{7x+4y+8=0\\2x-y+1=0}\)
\(M_1(-\frac 4 5, -\frac 3 5, 1)\)
подставляем \(M_1, M_2\) в третью плоскость, получаем 0
№ 956
\(\frac 1 3 x - \frac 2 3 y - \frac 2 3 z - 5 = 0\)
\(|\vec N| = \sqrt{\frac 1 9 + \frac 4 9 + \frac 4 9}\)
…
№ 959 (1)
\(2x-y+2z+3=0\)
\(M_1(-2,-4,3)\)
\(\frac 2 3x - \frac 1 3 y + \frac 2 3 z + 1 = 0\)
ЛЕК 09.11.22#
СЕМ 11.11.22#
№995
второе решение
\(\pi:2x+y-z+1 + \alp(x+y+2z+1) = 0\)
\(\pi\parallel \vec a = \set{1,-7,5} \ident \vec N_\pi \perp \vec a \ident (\vec N_\pi, \vec a) = 0\)
\(\vec N_\pi = \set{2\alp, 1+\alp, -1+2\alp}\)
\((2+\alp) \cdot 1 + (1+\alp)(-7) + (-1+2\alp)5 = 0\)
\(4\alp -10 = 0 \thus \alp = \frac 5 2\)
\(2(2x+y-z+1) + 5(x+y+4z+1)=0\)
\(9x + 7y +8z + 7 = 0\)
№1011
\(M-1(-6,6,-5), M_2(12,-6,1)\)
\(L=(M_1,M-2)\)
\(L: L> M_1, L || \upline M_1M_2 = \set{18, -12, 6} = 6\set{3,-2,1}\)
\(x = 3t -6\)
\(y = -2t + 6\)
\(z = 1t - 5\)
\(P_1 = L\cap XOY\)
\(XOY: z = 0 \thus t - 5 = 0 \thus t_1 = 5 \thus P_1(9,-4,0)\)\(P_2 = L \cap XOZ\)
\(XOZ: y = 0 \thus -2+6=0 \thus t_2 = 3 \thus P_2(3,0,-2)\)\(P_3 = L \cap YOZ\)
\(YOZ : x = 0 \thus t_3 = 2 \thus P_3(0,2,-3)\)
СЕМ 2.12.22#
Уравнение второго порядка
\(Ax^2 +By^2 + CZ^2 + Dxy+Exz + F yz +Gx +Hy +Kz + L = 0\)
\(|A| +|B| +|C| + |D| + |E| + |F| > 0\)
общий вид прямых второго порядка
Поворячиваем плоскость, чтобы уравнение приняло вид
\(Ax^2 +By^2 + CZ^2 + Gx +Hy +Kz + L = 0\)
I) \(A\neq 0, B \neq 0, C\neq 0\)
\(\sum \rightarrow \sum': A(x')^2 B(y')^2 + C(z')^2 + L'=0\)
пусть \(A, B, C\) - одного знака
\(\frac{(x')^2}{a'} +\frac{(y')^2}{b^2} + \frac{(z')^2}{c^2} = \cases{1 - эллипсоид\\0 - вырожденный эллипсоид\\-1 - истинный эллипсоид}\)пусть \(A, B, -C\) - одного знака
\(\frac{(x')^2}{a'} +\frac{(y')^2}{b^2} - \frac{(z')^2}{c^2} = \cases{1 - однополосный гиперболоид\\0 - конус\\-1 - двуполостный гиперболоид}\)
II) \(A\neq 0, B\neq0, C=0\)\(A, B\) - одного знака
\(\frac{(x')^2}{a'} +\frac{(y')^2}{b^2} = z'\) - эллептический парабалоид\(A, -B\) - одного знака
\(\frac{(x')^2}{a'} -\frac{(y')^2}{b^2} = z'\) - гиперболический парабалоид
III) \(A\neq 0, B=C=0\)
\(A(x')^2 + Hy +Kz + L' = 0\)
\(A(x')^2 + Hy' +Kz' = 0\)
\(\sqrt{H^2 +K^2}(\frac H \dots y' + \frac K \dots z')\)
\(\sqrt{H^2 +K^2}y''z''\)
\(\frac{(x')^2}{a'} +\frac{(y')^2}{b^2} = \cases{1 - эллипс - эллиптический цилиндр \\ 0 - вырожденный эллисп - вырож элл цил \\ -1 - мнимый эллипс/элл цил}\)
\(\frac{(x')^2}{a'} -\frac{(y')^2}{b^2} = \cases{1 - гиперб циллиндр \\ 0 - пара пересек плоскостей}\)
\((y')^2 = \cases{2px' - параболический цилиндр\\ a^2 - пара паралельныйх плоскостей \\ 0 - пара слившихся плоскотей\\ -a^2 - пара слившихся паралельных плоскостей}\)
\(\frac{(x')^2}{a^2(1 - \frac{H^2}{C^2})} + \frac{(y')^2}{b^2(1 - \frac{H^2}{C^2})} = 1\)
Эллипсоид#
Гипербалоид#
Двуплоскостный гиперболоид#
Конус#
Однополусный и двуполусный гиперболоид#
снаружи ожнополостный
внутри двуполостный
Элиптический параболоид#
одна парабола скользит по дргуой - начало одной следует пути другой
Гиперболический параболоид#
параболе ветвями вниз движется по параболе ветвями вверх
\(F(x_0, y_0) = 0\)
\(M(x_0,y_0,z)\ \ \fal z\)
Эллиптический циллиндр#
Гиперболический циллиндр#
Пара пересекающийхся плоскостей#
аналогично Пара паралельных плоскостей и Параболичсекий цилиндр
\(4x^2 -y^2 +9z^2 - 16 x + 6y + 8 = 0\)
\(4(x^2 - 4x) - (y^2 - 6y) +9z^2 + 8 = 0\)
\(4(x^2 - 4x + 4) - (y^2 - 6y + 9) +9z^2 + 8 - 16 + 9 = 0\)
\(4(x-2)^2 - (y-3)^2 + 9z^2 + 1 = 0\)
\(\sum \rightarrow \sum' : \cases{x' = x-2 \\ y' = y-3 \\ z' = z}\)
\(\sum' :4(x')^2 -(y')^2 +9(z')^2 + 1 = 0\)
делаем повторот
\(\sum' \rightarrow \sum'' : \cases{x' = x''\\y'=-z''\\z' = y''}\)
\((x'')^2 - (z'')^2 +9(y'') + 1 =0\)
\(\frac{(x'')^2}{(\frac 1 2)^2} +\frac{(y'')^2}{(\frac 1 3)^2} - \frac{(x'')^2}{1^2} = -1\)
\(y - 2xz = 0\)
\(\sum \rightarrow \sum' \cases{x = \frac{x' - y'}{\sqrt{2}} \\ z = x^2 \frac{x' + z'}{\sqrt{2}} \\ y = y'}\)
\(y' - 2\frac{x' - z'}{\sqrt{2}}\frac{x' - z'}{\sqrt{2}} = 0\)
\(y' - (x')^2 + (z')^2 = 0\)
\(\sum ' \rightarrow \sum'' \cases{x' = x'' \\ y'=-z'' \\ z' = y''}\)
\(\sum'' : z'' - (x'')^2 + (y'')^2 = 0\)
\(z'' = -(x'')^2 + (y'')^2\)
\(\sum''' \rightarrow \sum''' \cases{x'' = -x'''\\y'' = y''' \\ z'' = -z'''} -z''' = -(x''')^2 + (y''')^2\)
\(z''' = (x''')^2 - (y''')^2\)
9.12.22#
\((\alp_1 \alp_2 \dots \alp_n) \in T_n (n!)\)
\(\alp_i \in \set{1,2,\dots,n}, i=\upline{1,n}\)
\(\alp_i \neq \alp_j : i\neq j\)
\(\alp=(\dots \alp_i \dots \alp_j \dots)\)
\(i < j\)
\(\alp_i > \alp_j\)
\(I(\alp)\) - чисто инверсий
Проскуряков И В Сборник задач по ЛА
№ 123
\((2, 3, 5, 4, 1) = \alp\)
\(I(\alp) = 1 + 1 + 2 + 1 = 5\)
\(A = \pmat{a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}}\)
\(a_{i_1j_1} \cdot a_{i_2j_2} \cdot \dots \cdot a_{i_nj_n}\)
\((i_1,i_2,\dots,i_n)\in T_n \thus\) компонента
№ 189
\((-1)^{8} a_{61}a_{23}a_{45}a_{36}a_{12}a_{54}\)
\(\emat{&1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\\i=(&6&1&2&5&4&3&)\in T_6}\)
\(I(i) = 5 + 2 + 1+ 0+0=8\)
Свойства
\(det(a_1a_2\dots\alp b + \beta c \dots a_n) = \alp\ det(a_1 a_2 \dots b \dots \alp_n) + \beta\ det (a_1 a_2 \dots c \dots a_n)\)
\(det A = \cum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}\)
\(det A = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}\)
\(\det{1&1&1&\dots&1\\1&1-x&1&\dots&1\\1&1&2-x&\dots&1\\\dots\\1&1&1&\dots&n-x} = 0\)
\(f(x) = P_n(x)\)
\(x = 0, x= 1,\dots,x=n-1\)
Лек#
Утверждение
Необх и дост условием равенства определителя нулю является линейна зависимость его строк или столбцов