\(\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}\) \(\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}\) \(\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}\) \(\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}\) \(\def\ident{\Longleftrightarrow}\) \(\def\thus{\Rightarrow}\) \(\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }\) \(\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }\) \(\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }\) \(\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }\) \(\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}\) \(\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}\) \(\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}\) \(\renewcommand{\geq}{\geqslant}\) \(\renewcommand{\leq}{\leqslant}\) \(\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}\) \(\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}\) \(\def\ex{\exists}\) \(\def\exo{\ex!}\) \(\renewcommand{\fal}{\forall}\) \(\renewcommand{\int}{\intop}\) \(\def\inf{\infty}\) \(\renewcommand{\tg}{\tan}\) \(\renewcommand{\phi}{\varphi}\) \(\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}\) \(\def\alp{\alpha}\) \(\def\lam{\lambda}\) \(\def\gam{\gamma}\) \(\def\eps{\epsilon}\) \(\def\sig{\sigma}\) \(\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}\) \(\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}\) \(\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}\) \(\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}\) \(\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}\) \(\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}\) \(\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}\) \(\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}\) \(\newcommand\E{\mathbbold{e}}\) \(\newcommand\F{\mathbbold{f}}\) \(\newcommand\G{\mathbbold{g}}\) \(\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}\) \(\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}\) \(\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}\) \(\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}\) \(\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}\) \(\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}\) \(\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}\) \(\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}\) \(\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}\) \(\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}\) \(\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}\)

Математический анализ

Математический анализ#

Преподаватель: Михайлов Владислав Дмитриевич

Конспект : Руденький Н. В.

Группа: Б\(22\)-В\(71\).

Литература#

Лекция 07.09.2022#

Обозначения числовых множеств#

  • \(\NN\) - Множество натуральных чисел

  • \(\ZZ\) - Множество целых чисел

  • \(\QQ\) - Множество рациональных чисел

  • \(\RR\) - Множество вещественных чисел

  • \(\CC\) - Множество комплексных чисел

Определение ограниченности множества чисел#

  • Рассмотрим произвольное числовое множество \(A\), состоящее из чисел \(x \in A\).

    • Множество \(A\) называется ограниченным сверху, если \(\exists M : \forall x \in A \implies x \leq M\)

    • Множество \(A\) называется ограниченным снизу, если \(\exists m : \forall x \in A \implies x \geq m\)

    • Множество \(A\) называется ограниченным снизу и сверху, если \(\exists M, m \ \forall x \in A \implies m \leq x \leq M\)

Определение точной верхней и нижней граней числового множества#

  • Наименьшая граница из всех верхних граней называется точной верхней гранью \((\sup{A})\)

  • Наибольшая граница из всех нижних граней называется точной нижней гранью \((inf{A})\)

  • Всякое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу имеет точную нижнюю грань.

Определение точной верхней грани

  • \((\forall x \in X : x \leq M) \wedge (\forall x < M, \exists x' \in X : x' > x) \implies M = \sup{X} \)

  • \((\forall x \in X : x \leq M) \wedge (\forall \epsilon > 0, \exists x' \in X: x' > M - \epsilon) \implies M = \sup{X}\)

Определение точной нижней грани

  • \((\forall x \in X: x \geq m) \wedge (\forall x > m, \exists x' \in X: x' < x) \implies m =inf{X}\)

  • \((\forall x \in X: x \geq m ) \wedge (\forall \epsilon > 0, \exists x' \in X : x' < m + \epsilon) \implies m = inf{X}\)

Теорема о наличии супремума (инфимума) в ограниченном сверху (снизу) множестве#

  • Рассмотрим два случая:

    • Рассматриваемое множество не лишено неотрицательных чисел

    • Рассматриваемое множество содержит только отрицательные числа

      • Пусть \((1)\), тогда \(\sup{} \geq 0\). \(X\) ограничено сверху \(\implies x \in X : [x] \leq \sup\). Отберем из множества те числа, у которых наибольшая целая часть \(\overline{x_{0}}\). Среди оставшихся отберем те, у которых наибольший следующий разряд, т.е. \(\overline{x_{0}},\overline{x_{1}}\). И т.д. до бесконечности. Получаем бесконечную, непериодическую десятичную дробь. \(\overline{x_{0}}\overline{x_{1}}\overline{x_{2}} ... \overline{x_{n}} ... = \overline{x} \ (\sup)\)

      • Докажем, что таким образом получим точную верхнюю грань данного множества. Действительно по первой части определения \(\sup\) : \(\forall x \in A \implies x \leq \overline{x}\). Но это и есть \(\sup\) по характеру построения числа \(\overline{x}\), так как на каждой позиции для построения \(\overline{x}\) бралось наибольшее число. Теперь докажем вторую часть определения \(\sup : \forall x < \overline{x}, \exists x' \in A: x' > x\). Действительно, берем произвольное число (не обязательно из множества \(A\)) , \(x < \overline{x}\), т.к. \(x < \overline{x}\) на каком - то знаке из \(\{\overline{x_{0}},\overline{x_{1}}, ... ,\overline{x_{n}}, ... \}\). Докажем, что \(\exists x' \in A: x' > x\). \(x' \in A \implies x_{0}' \leq \overline{x_{0}}\), \(x_{0}' = \overline{x_{0}} \implies\) \(x_{1}' < \overline{x_{1}}\) и т.д. до позиции с номером \(n\). Получим, что в элементах нашего множества есть число, у которого на \(n\) - ом месте стоит \(\overline{x_{n}} \implies \overline{x_{n}} > x_{n}' > x_{n}\)

      • Докажем для пункта \((2)\). Если все числа множества \(A\) - отрицательные, то \(\forall x \in A: x = -|x|\), тогда таким же алгоритмом получаем бесконечную непериодическую десятичную дробь с наименьшими по модулю разрядами. Поставим перед числом знак \((-)\), получим \(\sup\).

Пример ограниченного множества#

  • \(A = \{1, \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}, ... \dfrac{1}{n}, ...\} \implies\) \(\sup{A} = 1, inf{A} = 0\)

Определение числовой последовательности.#

  • Рассмотрим упорядоченный набор натуральных чисел \(\{1, 2, 3, ..., n, ...\}\) и каждому из этих натуральных чисел поставим в соответствие числа: \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ... , x_{n}, ...\). Это и есть числовая последовательность.

Обозначение числовой последовательности.#

  • \(\{x_{n}\}\)

Определение ограниченной последовательности#

  • \(\forall n: x_{n} \leq M\) - Ограничена сверху

  • \(\forall n: x_{n} \geq m\) - Ограничена снизу

  • \(\forall n: m \leq x_{n} \leq M \ \wedge \ \)\(\exists k \ \forall n : |x_{n}| \leq k\) - Ограничена снизу и сверху

  • \(\forall k \ \exists n : |x_{n}| > k\) - Не ограничена

Примеры ограниченной и неограниченной последовательностей#

  • \(\{1, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{9}, ... ,\dfrac{1}{n^2}, ... \}\) - Ограничена

  • \(\{1,-1, \dfrac{1}{4},-2, \dfrac{1}{9},-3, ... ,-n, \dfrac{1}{n^2}, ... \}\) - Не ограничена

Определение возрастающей и убывающей последовательностей#

  • Если для любой пары соседних членов последовательности выполняется \(x_{k + 1} \geq x_{k}\), то последовательность неубывающая, если \(x_{k + 1} > x_{k}\), то строго возрастающая. Аналогично для невозрастающей и строго убывающей.

Лекция 14.09.2022#

Способы задания числовых последовательностей#

  • Перечислением

  • Графически

  • Рекуррентно

Различные примеры числовых последовательностей#

  • \(\{1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dots, \dfrac{1}{n}, \dots\}\)

  • \(\{-1, 1, -1, \dots, (-1)^n, \dots \}\)

  • \(x_{n} = \dfrac{1 + (-1)^n}{2}\)

  • \(\{1, 2, 3, 4, \dots\}\)

  • \(x_{n} = 1^{\left(-1\right)^{n}}\)

  • \(x_{n} = - n^2\)

Определение бесконечно большой и малой последовательностей#

  • \(\{x_{n}\}\) - бесконечно большая \(\Longleftrightarrow \left(\forall A \ \exists N \in \NN: \forall n > N\right) \implies |x_{n}| > A\).

  • \(\{x_{n}\}\) - бесконечно малая \(\Longleftrightarrow \left(\forall A \ \exists N: \forall n > N \right) \implies |x_{n}| < A\).

Теорема о существовании бесконечно малой и большой последовательностей#

  • Если \(\{x_{n}\}\) - бесконечно большая , то для нее определена бесконечно малая последовательность \(\{ \dfrac{1}{x_{n}} \}\) и наоборот.

    • \(\{x_{n}\}\) - бесконечно большая \(\implies \left(\forall A \ \exists N \in \NN : \forall n > N : |x_{n}| > A\right)\) Тогда для этих номеров: \(\dfrac{1}{x_{n}} < \dfrac{1}{A}\). Если взять произвольное \(\epsilon > 0\) и \(A = \dfrac{1}{\epsilon}\), то \(\bigg|\dfrac{1}{x_{n}}\bigg| < \epsilon\), а это и есть определение бесконечно малой последовательности.

Определение монотонной последовательности#

  • Последовательность \(\{x_{n}\}\) монотонно возрастает, если: \(\left(\forall n \in \NN : x_{n + 1} \geq x_{n}\right)\) и строго монотонно возрастает, если \(x_{n + 1} > x_{n}\).

  • Последовательность \(\{x_{n}\}\) монотонно убывает, если : \(\left(\forall n \in \NN : x_{n + 1} \leq x_{n}\right)\) и строго монотонно убывает, если \(x_{n + 1} < x_{n}\).

Определение предела числовой последовательности#

\(A \ = \ \lim{n}{\infty} {x_{n}} \Longleftrightarrow (\forall \epsilon > 0 \ \exists N(\eps) \in \NN \ \forall n > N(\eps) : |x_{n} - A| < \epsilon)\)

Примеры пределов#

  • \(x_{n} = \dfrac{1}{n} \implies \lim{n}{\infty} \dfrac{1}{n} = 0 \implies \forall \epsilon > 0 \ \exists N(\epsilon) \in \NN \ \forall n > N(\epsilon) : \bigg|x_{n} - 0\bigg| = \bigg|\dfrac{1}{n}\bigg| = \dfrac{1}{n} < \epsilon \implies n > \dfrac{1}{\epsilon}\)

  • \(x_{n} = \dfrac{n - 1}{n} \implies \lim{n}{\infty} \dfrac{n - 1}{n} = 1 \implies (\forall \epsilon > 0 \ \exists N(\epsilon) \in \NN \ \forall n > N(\epsilon) \implies \big|x_{n} - 1\big| = \bigg|\dfrac{n - 1}{n} - 1\bigg| = \left|\dfrac{1}{n}\right| < \epsilon \implies n > \dfrac{1}{\epsilon}\)

Теорема о единственности предела сходящейся последовательности#

  • Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

    • \(\lim{n}{\infty} x_{n} = A\). Допустим: \(\exists \lim{n}{\infty} x_{n} = B,\) \(A > B\).

    • \( \lim{n}{\infty} x_{n} = A \implies \forall \epsilon_{1} > 0 \ \exists N(\epsilon_{1}) \in \NN \ \forall n > N(\epsilon_{1} ) : |x_{n} - A| < \epsilon_{1};\) \(\epsilon_{1} =\) \(\dfrac{A - B}{2} \implies \dfrac{A + B}{2} < x_{n} < \dfrac{3A - B}{2} \).

    • \(\lim{n}{\infty} x_{n} = B \implies \forall \epsilon_{2} > 0 \ \exists N(\epsilon_{2}) \in \NN \ \forall n > N(\epsilon_{2}) : |x_{n} - B| < \epsilon_{2}; \ \epsilon_{2} = \dfrac{A - B}{2} \implies \dfrac{3B - A}{2} < x_{n} < \dfrac{A + B}{2} \).

    • \(\forall n > \max(N(\epsilon_{1}), N(\epsilon_{2})) : \) \(\dfrac{A + B}{2} > x_{n} > \dfrac{A + B}{2}\).

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности#

  • Сходящаяся последовательность ограничена

    • \(\lim{n}{\infty}\{x_{n}\} = A;\) \(K = \max(|x_{1}|, |x_{2}|, |x_{3}|, \dots, |x_{N(\epsilon)}|, |A - \epsilon|,| A + \epsilon |) \implies\) \(\forall n > N(\eps): |x_{n}| \leq K\)

Свойства пределов, выражаемые неравенствами#

  • \(\left(\forall n > N(\eps): x_{n} \geq y_{n}\right) \wedge \left( \lim{n}{\infty} x_{n} = A, \lim{n}{\infty} y_{n} = B\right) \implies A \geq B\)

    • \(\epsilon_{1} = \dfrac{A - B}{2} \implies \forall n > N(\epsilon_{1}) : |x_{n} - A| < \dfrac{A - B}{2} \implies \dfrac{3A - B}{2} < x_{n} < \dfrac{A + B}{2} \)

    • \(\epsilon_{2} = \dfrac{A - B}{2} \implies \forall n > N(\epsilon_{2}) : |y_{n} - B| < \dfrac{A - B}{2} \implies \dfrac{A - B}{2} < y_{n} < \dfrac{3B - A}{2}\)

    • \(\forall n > \max(N(\eps_{1}), N(\eps_2)) : x_{n} < \dfrac{A + B}{2} < y_{n}\).

  • \((\forall n > N(\eps):x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n}) \wedge (\lim{n}{\infty}\{x_{n}\} \ = \ \lim{n}{\infty}\{z_{n}\} = A) \implies \lim{n}{\infty}\{y_{n}\} = A \)

    • \(\forall \eps_{1} > 0 \ \exists N(\eps_{1}) \ \forall n > N(\eps_{1}) : |x_{n} - A| < \eps_{1}\)

    • \(\forall \eps_{2} > 0 \ \exists N(\eps_{2}) \ \forall n > N(\eps_{2}) : |x_{n} - A| < \eps_{2}\)

    • \(\forall n > N = \max(N(\eps_{1}), N(\eps_{2})) : |x_{n} - A| < |y_{n} - A| < |z_{n} - A| \implies |y_{n} - A| < \epsilon \implies \lim{n}{\infty}{y_{n}} = A\)

Арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей#

  • \(\lim{n}{\infty} \{x_{n}\} = A; \lim{n}{\infty} \{y_{n}\} = B \)

    • \(\lim{n}{\infty} \left(\{x_{n}\} + \{y_{n}\}\right) = A + B\)

    • \( \lim{n}{\infty} \{\{x_{n}\}\{y_{n}\}\} = AB\)

    • \( \lim{n}{\infty} \{\dfrac{x_{n}}{y_{n}}\} = \dfrac{A}{B}\)

  • Докажем \((1)\)

    • \(\lim{n}{\infty}{x_{n}} = A \Longleftrightarrow\) \((\forall \epsilon > 0 \ \exists N_{1}(\eps) \in \NN \ \forall n > N_{1}(\eps) : |x_{n} - A| < \dfrac{\epsilon}{2})\)

    • \(\lim{n}{\infty}{x_{n}} = B \Longleftrightarrow\) \((\forall \epsilon > 0 \ \exists N_{2}(\eps) \in \NN \ \forall n > N_{2}(\eps) : |x_{n} - B| < \dfrac{\epsilon}{2})\)

    • \(N = \max(N_{1}(\eps), N_{2}(\eps)) \implies \forall n > N : |x_{n} + y_{n} - A - B| \leq |x_{n} - A| + |y_{n} - B| < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon\)

  • Докажем \((2)\)

    • \( \lim{n}{\infty} x_{n} = A \Longleftrightarrow \) \((\forall \epsilon_{1} > 0 \ \exists N(\eps_{1}) \in \NN \ \forall n > N(\eps_{1}) : |x_{n} - A| < \epsilon_{1})\)

    • \( \lim{n}{\infty} y_{n} = B \Longleftrightarrow\) \((\forall \epsilon_{2} > 0 \ \exists N(\eps_{2}) \in \NN \ \forall n > N(\eps_{2}) : |x_{n} - A| < \epsilon_{2})\)

    • \(N = \max(N(\eps_{1}), N(\eps_{2})) \implies \forall n > N :\bigg|x_{n}y_{n} - AB\bigg| = \\ \bigg|x_{n}y_{n} -Ay_{n} + Ay_{n} - A B\bigg| = \\ \bigg|(x_{n} - A)y_{n} + A(y_{n} - B)\bigg| \leq \bigg|x_{n} - A\bigg|\bigg|y_{n}\bigg| + \bigg|A\bigg|\bigg|y_{n} - B\bigg| < \eps_{1} M_{y} + \bigg|A\bigg|\eps_{2} \implies \eps_{1} = \dfrac{\eps}{2\bigg|M_{y}\bigg|} , \eps{2} = \dfrac{\eps}{2\bigg|A\bigg|} \implies \\ \bigg|x_{n}y_{n} - AB\bigg| < \eps\)

Лекция 21.09.2022#

Определение подпоследовательности#

  • Пусть задана \(\{x_{n}\}\). Удалим из нее все члены кроме \(x_{k}\) без изменения порядка. Получим подпоследовательность \(\{x_{n_{k}}\}\).

Утверждение о сходимости подпоследовательности#

\(\lim{n}{\infty} \{x_{n}\} = A \implies \lim{n}{\infty} \{x_{n_{k}}\} = A \)

  • \(\lim{n}{\infty} \{x_{n}\} = A\). При \(N_{k} > N_{\epsilon}\) члены подпоследовательности входят в число членов \(\{x_{n}\} \implies |x_{n_{k}} - A| < \epsilon \)

Примеры подпоследовательностей#

  1. \(x_{n} = \dfrac{1 + (-1)^{n}}{2}\)

    • \(\{x_{n_{2k}}\} \rightarrow 1\)

    • \(\{ x_{n_{2k + 1} } \} \rightarrow 0\)

  2. \(\{x_{n}\} = 1 + \sin{\dfrac{\pi n}{2}}\)

    • \(\{x_{n_{2k} }\} = (1 + \sin{\pi k}) \rightarrow 1\)

    • \(\{x_{n_{4k + 1} }\} = (1 + \sin{\dfrac{\pi}{2}}) \rightarrow 2\)

    • \(\{x_{n_{4k + 3}}\} = (1 + \sin{\dfrac{3 \pi}{2}}) \rightarrow 0\)

  3. \(x_{n} = n^{(-1)^{n}}\)

    • \(\{x_{n_{2k}}\} \rightarrow \infty\)

    • \(\{x_{n_{2k + 1}}\} \rightarrow 0\)

Определение предельной точки последовательности#

  • \(X\) называется предельной точкой \(\{x_{n}\}\), если в любой сколь угодно малой окрестности точки содержится бесконечное число членов \(\{x_{n}\}\).

Теорема о сходящейся подпоследовательности#

  • \(\{x_{n}\}\) имеет предельную точку \(X \implies \exists \{x_{n_{k}}\} : \lim{n}{\inf} \{x_{n_{k}}\} = X\)

    • Так как в \(\{x_{n}\}\) имеется предельная точка \(X\), то \(\forall \epsilon > 0\) в \(\epsilon\) - окрестности точки \(X\) содержится бесконечное число членов \(\{x_{n}\}\). Возьмем \(\overline{X_{1}}\) из \(\epsilon_{1}\) окрестности точки \(X\). Далее возьмем \(\epsilon_{2} < \eps_{1}\) и точку \(\overline{X_{2}}\) из \(\epsilon_{2}\) - окрестности и т. д. для \(\epsilon_{n} < \eps_{n - 1}\) возьмем \(\overline{X_{n}}\) из \(\epsilon_{n}\) - окрестности. Получим \(\{\overline{X_{n}}\}\).

    • Докажем, что \( \lim{n}{\infty} \{\overline{X_{n}}\} = X\). Рассмотрим все точки, которые вошли в \(\eps_{n}\) окрестность точки \(X\). В нее вошла точка \(\overline{X_{n}}\),следовательно, в нее войдут и все дальнейшие точки с большими номерами.

Теорема Больцано - Вейерштрасса#

  • Во всякой ограниченной последовательности содержится сходящаяся подпоследовательность.

    • Докажем, что у ограниченной последовательности \(\{x_{n}\}\) существует предельная точка

      • Рассмотрим множество \(X\) такое, что \(\forall x \in X \ \forall x' \in\{x_{n}\} : x > x' \)

      • \(\forall x \in X: x > x' \geq m \implies \exists \overline{x} = inf{X} \implies \overline{x}\) - предельная точка.

Определение фундаментальной последовательности#

  • \(\forall \epsilon > 0 \ \exists N_{\epsilon} \ \forall n > N_{\epsilon} \ \forall p \in \NN : |x_{n + p} - x_{n}| < \epsilon \implies \) \(\{x_{n}\} \) - фундаментальная

Критерий Коши сходимости последовательности#

  • \(\lim{n}{\inf}\) \(\{x_{n}\} = A\) тогда и только тогда, когда она фундаментальная.

    • Необходимость: \(\bigg|x_{n + p} - x_{n}\bigg| = \bigg|x_{n + p} - x_{n} - A + A\bigg| = \bigg|x_{n + p} - A - \left(x_{n} - A\right)\bigg| \leq \underbrace{\bigg|x_{n + p} - A\bigg|}_{\leq \dfrac{\epsilon}{2}} + \underbrace{\bigg|x_{n} - a\bigg|}_{\leq \dfrac{\epsilon}{2}} < \eps\)

    • Достаточность:

      • \(\forall \epsilon > 0 \ \exists N_{\epsilon} \in \NN \ \forall n > N_{\epsilon} \ \forall p \in \NN : \bigg|x_{n + p} - x_{n}\bigg| < \epsilon \implies\) \(-\eps + x_{n + p} < x_{n} < \eps + x_{n + p} \implies\) \(\{x_{n}\}\) - ограничена\(\implies \exists \ \{x_{n_{k}}\}\). \(\lim{n}{\infty}\{x_{n_{k}}\} = A\)

      • \(\bigg|x_{n_{k}} - A\bigg| = \bigg|x_{n_k} - x_{n} + x_{n} - A\bigg| \leq \underbrace{\bigg|x_{n_{k}} - x_{n}\bigg|}_{< \dfrac{\eps}{2}} + \underbrace{\bigg|x_{n} - A\bigg|}_{< \dfrac{\eps}{2}} < \eps\)

Применение Критерия Коши сходимости последовательности#

  • \(\{x_{n}\} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n}\).

    • \(|x_{n + p} - x_{n}| = \bigg|1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n + 1} \dots \dfrac{1}{n + p} - \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n}\right)\bigg| = \bigg|\dfrac{1}{n + 1} + \dfrac{1}{n + 2} + \dots + \dfrac{1}{n + p}\bigg| \geq \dfrac{p}{n + p}\) \(p=n \implies \dfrac{p}{n + p} = \dfrac{n}{2n} = \dfrac{1}{2} = \epsilon \implies \lim{n}{\inf}\{x_{n}\} = \inf\)

  • \(\{x_{n}\} = \dfrac{\cos{x}}{1^{2}} + \dfrac{\cos{2x}}{2^{2}} + \dots + \dfrac{\cos{nx}}{n^{2}}\).

    • \(|x_{n + p} - x_{n}| = \bigg|\dfrac{\cos(n + 1)x}{(n + 1)^{2}} + \dfrac{\cos(n + 2)x}{(n + 2)^{2}} + \dots + \dfrac{\cos(n + p)x}{(n + p)^{2}}\bigg| < \dfrac{p}{(n + 1)^2} < \epsilon\)

Лекция 28.09.2022#

Понятие функции на числовом множесте#

  • Пусть на числовом множестве \(X\) каждому числу \(x \in X\) по какому - либо закону поставлено в соответствие число \(y \in Y\). Тогда на \(X\) задана функция \(y = f(x)\).

    • \(f\) - характеристика функции

    • \(x\) - аргумент функции \(f\)

    • \(y\) - значение функции \(f\)

    • \(X\) - область определения функции \(f\)

    • \(Y\) - область значений функции \(f\)

Примеры функций на числовом множестве#

  • \(f(x) = \begin{equation*} \begin{cases} 0, x \in \RR \backslash \QQ \\ 1, x \in \QQ \end{cases} \end{equation*}\)

  • \(y = x^{2}\)

  • \(y = sgn(x) = \begin{equation*} \begin{cases} 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ -1, x < 0 \end{cases} \end{equation*}\)

  • \(f(x) = [x]\) (целая часть, не превосходящая x)

Определение ограниченной и неограниченной функций#

  • Функция называется ограниченной на \([a;b]\), если :\( (\forall x \in [a;b] \ \exists m, M : m \leq f(x) \leq M)\).

  • Функция называется неограниченной на \(\left[a;b\right]\), если :\( (\forall x \in [a;b] \ \exists K: \ |f(x)| > K)\).

Монотонные функции#

  • Функция называется неубывающей на \([a;b] \), если: \( (\forall x_{1}, x_{2} \in [a;b] : x_{2} > x_{1} \implies f(x_{2}) \geq f(x_{1}))\).

  • Функция называется невозрастающей на \([a;b] \), если: \( (\forall x_{1}, x_{2} \in [a;b] : x_{2} > x_{1} \implies f(x_{2}) \leq f(x_{1}))\).

Предел функции в точке по Коши#

  • \(A \ = \ \lim{x}{x_{0}} f(x) \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta(\eps) > 0 \ \forall x \in X: |x - x_{0}| < \delta \implies |f(x) - A| < \epsilon\).

Предел функции в точке по Гейне#

  • \(A = \lim{x}{x_{0}} f(x) \Longleftrightarrow (\forall \{x_{n} \in X: x_{n} \neq x_{0}\} : \lim{n}{\infty} \{x_{n}\} = x_{0} \implies \lim{n}{\infty} f(x_{n}) = A)\).

Доказательство эквивалентности определения предела по Коши и Гейне#

  • \((К \implies Г)\)

    • Рассмотрим произвольную \(\{x_{n} \in X: x_{n} \neq x_{0}\}, \lim{n}{\infty} \{x_{n}\} = x_{0} \implies \) \(\forall \delta > 0 \ \exists N(\delta) \in \NN \ \forall n > N_{\delta} : |x_{n} - x_{0}| < \delta \implies |f(x_{n}) - A| < \epsilon\).

  • \((Г \implies К)\)

    • Пусть \(Г \;\not\!\!\!\implies К\). Тогда \(\exists \epsilon > 0 \ \forall \delta(\eps) > 0 \ \exists x \in X: |x - x_{0}| < \delta \implies |f(x) - A| \geq \epsilon\). Рассмотрим \(x_{1}\) из \(\delta_{1}\) - окрестности точки \(x_{0}\), что \(|f(x_{1}) - A| \geq \eps\).Рассмотрим \(x_{2}\) из \(\delta_{2} < \delta_{1}\) - окрестности точки \(x_{0}\), что \(|f(x_{2}) - A| \geq \eps\). И так далее возьмем \(x_{n}\) из \(\delta_{n} < \delta_{n - 1}\) - окрестности точки \(x_{0}\), такое, что \(|f(x_{n}) - A| \geq \eps\). Получим: \(\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots\} \rightarrow x_{0}, \{f(x_{1}),f(x_{2}), \dots, f(x_{n}), \dots\} \;\not\longrightarrow A\)

Примеры доказательств, используя \(\eps - \delta\)#

  • \(f(x) = x^{3}\)

    • \(\lim{x}{0} f(x) = 0\)

    • \(\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta(\eps) > 0: |x - 0| < \delta \implies |f(x) - 0| < \epsilon\)

    • \(|x| < \delta \ ; |f(x)| < \epsilon\)

    • \(|x^{3}| < \epsilon \implies |x| < \sqrt[\uproot{3}3]{\epsilon} \implies \delta = \sqrt[\uproot{3}p]{\epsilon} \)

Определение непрерывной функции#

  • \(f\) непрерывна в \(x_{0} \in \left[a;b\right] \Longleftrightarrow f(x_{0})\ = \ \lim{x}{x_{0}} f(x)\)

Лекция 06.10.2022#

Определение сложной функции (композиции)#

  • \(y = f(x), x = \phi(t)\)

    • \(f(\phi(t)) = F(t)\)

Теорема о непрерывности сложной функции#

  • \(f\) определена и непрерывна в окрестности \(x_{0}\), \(x = \phi(t)\), \(\phi\) определена и непрерывна в окрестности \(t_{0}\) \(\implies f(\phi(t)) = F(t)\) - непрерывна в окрестности \(t_{0}\)

    • \(F(t)\) - непрерывна в окрестности \(t_{0} \implies \lim{t}{t_{0}} F(t) = F(t_{0})\). Так как \(x = \phi(t)\) - непрерывна по условию теоремы \(\implies \forall \{t_{n}, t_{n} \neq t_{0}\} : \lim{n}{\infty} \{t_{n}\} = t_{0}, \{\phi(t_{n})\} \xrightarrow[n \to \infty]{} \phi(t_{0}) = x_{0}\). \(\lim{n}{\infty} f(x_{n}) = f(x_{0}) \implies F(t) = f(\phi(t))) ; \{F(t_{n})\} = \{f(\phi(t_{n}))\} \xrightarrow[n \to \infty]{} f(\phi(t_{0})) = f(x_{0}) = F(t_{0})\)

Определение односторонних пределов#

  • \(\lim{x}{a + 0} f(x) = b \Longleftrightarrow \forall \eps > 0 \ \exists \delta(\eps) > 0 \ \forall x \in X: a < x < a + \delta \implies |f(x) - b| < \eps\)

  • \(\lim{x}{a - 0} f(x) = b \Longleftrightarrow \forall \eps > 0 \ \exists \delta(\eps) > 0 \ \forall x \in X: a - \delta< x < a \implies |f(x) - b| < \eps\)

Классификация точек разрыва#

  • Устранимая точка разрыва

    • Существуют конечные пределы этой функции слева и справа, они равны

  • Точка разрыва 1 - ого рода

    • Существуют конечные пределы слева и справа в точке, но они не равны друг другу

  • Точка разрыва 2 - ого рода

    • Все остальные точки

Замечательные пределы#

  • \(\lim{x}{0} \dfrac{\sin{(x)}}{x} = 1\)

  • \(\lim{n}{\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = e\)

  • \(\lim{x}{\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x} = e\)

  • \(\lim{x}{0} \left(1 + x\right)^{\dfrac{1}{x}} = e\)

  • \(\lim{x}{0} \ln{\left(1 + x \right)}^{\dfrac{1}{x}} = \ln{(e)} = 1 \implies \lim{x}{0} \dfrac{\ln{(1 + x)}}{x} = 1\)

  • \(\lim{x}{0} \dfrac{1 - \cos{x} }{x^{2}} = \ \lim{x}{0}\ \dfrac{2\sin^{2}{(\dfrac{x}{2})}}{x^{2} } = \ \lim{x}{0}\ \dfrac{1}{2} \underbrace{\dfrac{\sin{(\dfrac{x}{2}) \sin{(\dfrac{x}{2}) } }}{\dfrac{x}{2} \dfrac{x}{2}}}_{1} = \dfrac{1}{2}\)

  • \(\lim{x}{0} \dfrac{\sqrt[n]{1 \ + \ x} \ - \ 1}{x} = \ \lim{x}{0} \dfrac{\left(\sqrt[n]{1 \ + \ x} \ -\ 1\right)\left(\left(\sqrt[n]{1 \ + \ x}\right)^{(n - 1)} + \left(\sqrt[ n]{1 \ + \ x}\right)^{(n - 2)} + \ \dots \ + \ \left(\sqrt[n]{1 \ + \ x}\right)+ 1\right)}{x \left(\left(\sqrt[n]{1 \ + \ x}\right)^{(n - 1)} + \left(\sqrt[ n]{1 \ + \ x}\right)^{(n - 2)} + \ \dots \ + \ \left(\sqrt[n]{1 \ + \ x}\right)+ 1\right)} = \\ \ \lim{x}{0} \dfrac{x}{x \left(\left(\sqrt[n]{1 \ + \ x}\right)^{(n - 1)} + \left(\sqrt[ n]{1 \ + \ x}\right)^{(n - 2)} + \ \dots \ + \ \left(\sqrt[n]{1 \ + \ x}\right)+ 1\right)} = \ \dfrac{1}{n}\)

  • Докажем \((1)\)

    • Рассмотрим \(\dfrac{\sin{(x)}}{x} \)

    • \(\sin{(\alpha)} = y(A)\)

    • \(\cos{(\alpha)} = x(A)\)

    • \(S_{OAA'} < S_{OAB'} < S_{OBB'}\)

    • \(\dfrac{1}{2}\cos{(x)}\sin{(x)} < \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot x < \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan{(x)}\)

    • \(\cos{(x)}\sin{(x)} < x < \tan{(x)}\)

    • \(\cos{(x)} < \dfrac{x}{\sin{(x)}} < \dfrac{1}{\cos{(x)}}\)

    • \(\cos{(0)} \xrightarrow[x \to 0+0]{} 1 \implies \lim{x}{0 + 0} \dfrac{\sin{x}}{x} = 1\)

  • Рассмотрим \(\lim{x}{ 0 - 0} \dfrac{\sin{(x)}}{x}\)

    • \(\sin(-x) = -\sin(x) \implies \lim{x}{0 + 0} \dfrac{\sin{(x)}}{x} = \lim{x}{0 - 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = \lim{x}{0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1\)

  • Докажем \((2)\)

    • Воспользуемся Теоремой о возрастающей и ограниченной сверху последовательности:

    • Ограниченность : \(2 < (1 + \dfrac{1}{n})^{n} = 1 + n \cdot \dfrac{1}{n} + \dfrac{n(n- 1)}{2!} \cdot \dfrac{1}{n^{2}} + \dots = 2 + \dfrac{1}{2!}(1 - \dfrac{1}{n}) + \dfrac{1}{3!}(1 - \dfrac{1}{n})(1 - \dfrac{2}{n}) \dots \leq 2 + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dots < 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^{2}} + \dots < 2 + \dfrac{0.5}{1 - 0.5} = 3\)

    • Возрастание: \(x_{n + 1} = (1 + \dfrac{1}{n + 1})^{n + 1} = 1 + (n + 1) \cdot \dfrac{1}{n + 1} + \dfrac{n(n + 1)}{2!} \cdot \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} + \dots \implies x_{n + 1} > x_{n}\), так как каждое слагаемое уменьшается и число слагаемых \(n + 1\)

Определение эквивалентности функций в точке#

  • \(\lim{x}{x_{0}} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1 \implies f(x) \sim g(x)\)

Эквивалентные бесконечно малые величины#

  1. \(\lim{x}{0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1 \implies \sin{(x)} \sim x\)

  2. \(\lim{x}{0} \dfrac{\ln{(1 + x)}}{x} = 1 \implies \ln{(1 + x)} \sim x\)

  3. \(\lim{x}{0} \dfrac{e^{x} - 1}{x} = 1 \implies e^{x} - 1 \sim x\)

  4. \(\lim{x}{0} \dfrac{\sqrt[n]{(1 + x)} - 1}{x} = \dfrac{1}{n} \implies \sqrt[n]{(1 + x)} - 1 \sim \dfrac{x}{n}\)

Лекция 12.10.2022#

Теорема о существовании и единственности общей точки системы стягивающихся отрезков#

  • Пусть имеем бесконечный набор точек \(\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dot\}\) и концов \(\{b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}, \dots\}\) системы вложенных друг в друга отрезков. \(a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n} < \dots < b_{n} < b_{n - 1} < \dots < b_{1}\). Причем \(\lim{n}{\infty} \{b_{n} - a_{n}\} = 0\).

  • Система стягивающихся отрезков имеет общую точку и притом только одну.

    • Существование:

      • Множество левых концов ограничено сверху \(b_{n}\) и монотонно возрастает \(\implies \exists \ \sup{\{a_{n}\}}\). Аналогично \(\exists \ inf\{b_{n}\} \implies \lim{n}{\infty} a_{n} = \lim{n}{\infty} b_{n} = C\)

    • Единственность:

      • Вытекает из единственности пределов.

Определение верхнего и нижнего пределов последовательности#

  • \(\overline{\lim{n}{\infty}} a_{n} = \max{\left(\lim{n}{\infty} \{a_{n_{k}}\}\right)}\)

  • \(\underline{\lim{n}{\infty}} a_{n} = \min{\left(\lim{n}{\infty} \{a_{n_{k}}\}\right)}\)

Раскрытие неопределенности вида \(1^{\inf}\)#

  • \(\lim{x}{x_{0}} (u(x)^{v(x)}); \lim{x}{x_{0}} u(x) = 1; \lim{x}{x_{0}} v(x) = \infty \implies \lim{x}{x_{0}} (u(x)^{v(x)}) = \\ \lim{x}{x_{0}} ((u(x) - 1 + 1)^{v(x)}) = \lim{x}{x_{0}} [\underbrace{(1 + \underbrace{(u - 1)}_{0})^{\dfrac{1}{u - 1}}))}_{e}]^{(u - 1)v} = e^{(u - 1)v}\)

Определение четности и нечетности функции#

  • \(f\) определена на симметричном относительно начала координат промежутке \(x \in X\)

  • \(f\) четная, если: \(\forall x \in X : f(-x) = f(x)\)

  • \(f\) четная, если: \(\forall x \in X: f(-x) = - f(x)\)

Понятие обратной функции#

  • Пусть \( \exists f(x): \ y \in [c; d] \ , x \in [a;b]\). Тогда \(\exists f^{-1}(y)\).

Свойства обратной функции#

  • \(f(f^{-1}(y)) = y\)

  • \(f^{-1}(f(x)) = x\)

  • График обратной функции симметричен к исходной относительно биссектрисы первой и третьей четверти координатных плоскостей

  • \(y = a^{x}\), \(x = \log_{a}(y)\) (логарифмическая функция)

  • \(y = x^{n}\), \(x = \sqrt[n]{y}\) (корень \(n\) - ой степени)

  • Обратная функция существует только на промежутке монотонности

Лекция 19.10.2022#

Сравнение бесконечно малых функций#

  • Пусть две функции \(\alpha(x), \beta(x)\) определены на одном и том же множестве и являются бесконечно малыми в окрестности \(x_{0}\).

    • Тогда \(\lim{x}{x_{0}} \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0 \implies \alpha(x)\) - бесконечно малая более высокого порядка малости, по сравнению с \(\beta(x)\) в окрестности \(x_{0}\), \(\alpha(x) = o(\beta(x))\).

    • Если в качестве функции сравнения \(\beta(x)\) берется \((x - x_{0})^{m}\) и \(\lim{x}{x_{0}} \dfrac{\alpha(x)}{ (x - x_{0})^{m} } = C \neq 0 \implies \alpha(x)\) имеет в точке \(x_{0}\) порядок малости \(m\).

    • \(\lim{x}{x_{0}} \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0 \implies \alpha(x) = o(\beta(x))\)

    • \(\lim{x}{x_{0}} \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C \neq 0 \implies \alpha(x), \beta(x)\) - б. м. одного порядка малости

    • \(\lim{x}{x_{0}} \dfrac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 \implies \alpha(x) \sim \beta(x), x \implies x_{0}\)

Свойства бесконечно малых функций#

  • \(\alpha = o(\beta), \ \gamma = o(\beta)\), тогда :

    • \(o(\gamma) + o(\beta) = o(\beta)\)

    • \(\alpha \cdot \gamma = o(\beta^{2})\)

    • \( f \sim C \cdot (x - x_{0})^{m}, x \rightarrow x_{0} \implies (x - x_{0})^{m}\) - главный член \(f\), \(m\) - порядок малости.

Производная и дифференциал#

Определение

  • Возьмем \(x \in X, \ y = f(x)\). Дадим числу \(x\) приращение \(\Delta x\). Пусть в \(x\) \(f\) имеет значение \(f(x)\), тогда в \(x + \Delta x\) она будет иметь значение \(f(x + \Delta x)\). \(\Delta y = \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)\) - приращение \(f\), вызванное приращением \(\Delta x\). Составим отношение \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Получим: \(\lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = y'(x)\).

Пример

  • \(y = f(x) = x^{n}\)

    • \(\Delta y = \Delta f = (x + \Delta x)^{n} - x^{n}\)

    • \(\lim{\Delta x}{0} \left[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{(x + \Delta x)^{n} - x^{n}}{\Delta x} = \dfrac{x^{n} + nx^{n - 1}\Delta x + \dfrac{n(n - 1)}{2}x^{n - 2}\Delta x^{2} + \dots + \Delta x^{n} - x^{n}}{\Delta x} = \dfrac{nx^{n - 1}\Delta x + \dfrac{n(n - 1)}{2}x^{n - 2}\Delta x^{2} + \dots + \Delta x^{n}}{\Delta x}\right] = nx^{n - 1}\)

Арифметические свойства производной#

  • Пусть \(\exists f'(x), g'(x)\) в \(x_{0}\). :

    • \((f \pm g)' = f' \pm g'\)

    • \((Cf)' = Cf'\)

    • \((f \cdot g)' = f'g + fg'\)

    • \(\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{gf' - g'f}{g^{2}}, \ \) \(g(x) \neq 0\)

  • Докажем \((3)\):

    • \(\Delta u = u(x + \Delta x) - u(x)\)

    • \(\Delta v = v(x + \Delta x) - v(x)\)

    • \((uv)' = \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta (uv)}{\Delta x} = \dfrac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} = \dfrac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} = \\ = \dfrac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}v(x + \Delta x) + \dfrac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}u(x) = u'v + uv'\)

  • Докажем \((5)\):

    • Докажем : \(\left( \dfrac{1}{v} \right)' = - \dfrac{v'}{v^{2}}\)

    • \(\Delta \left( \dfrac{1}{v} \right) = \dfrac{1}{v(x + \Delta x)} - \dfrac{1}{v} = \dfrac{v(x) - v(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)v(x)} = - \dfrac{\Delta v}{v(x + \Delta x) v(x)}\)

    • \(\left(\dfrac{1}{v}\right)' = - \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta v}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x) v(x)} = - \dfrac{v'}{v^{2}}\)

    • \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \left(u \cdot \dfrac{1}{v}\right)' = u' \cdot \dfrac{1}{v} + u \cdot \left( \dfrac{1}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v} + u\left( - \dfrac{v'}{v^{2}}\right) = \dfrac{vu' - v'u}{v^{2}}\)

Производная сложной функции#

  • \(y = f(x), x = \phi(t)\)

  • \(\lim{\Delta t}{0} \left[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \right] = f'(x) \cdot \phi'(t) = f'(\phi(t)) = f'(\phi(t)) \cdot \phi'(t)\)

Производная обратной функции#

  • \(y = f(x)\)

    • \(\lim{\Delta y}{0} \left[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1}{\dfrac{\Delta x}{\Delta y}}\right] = \dfrac{1}{(f^{-1}(y))'} = \dfrac{1}{x'(y)}\)

Лекция 26.10.2022#

Таблица производных#

№

f

f’

Степенная и показательная функция

1

\(x^{n}\)

\(nx^{n - 1}\)

2

\(a^{x}\)

\(a^{x}\ln{a}\)

3

\(e^{x}\)

\(e^{x}\)

4

\(x^{\alpha}, \ \alpha \in \RR\)

\(\alpha x^{\alpha - 1}\)

5

\(\ln{x}\)

\(\dfrac{1}{x}\)

6

\(\log_{a}{x}\)

\(\dfrac{1}{x\ln{a}}\)

Тригонометрические функции

7

\(\sin{x}\)

\(\cos{x}\)

8

\(\cos{x}\)

\(- \sin{x}\)

9

\(\tan{x}\)

\( \dfrac{1}{\cos^{2}{x}}\)

10

\(\cot{x}\)

\(- \dfrac{1}{\sin^{2}{x}}\)

11

\(\arcsin{x}\)

\( \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)

12

\(\arccos{x}\)

\(- \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)

13

\(\arctan{x}\)

\(\dfrac{1}{1 + x^{2}}\)

14

\(arccot{(x)}\)

\(- \dfrac{1}{1 + x^{2}}\)

Гиперболические функции

15

\(sh{(x)}\)

\(ch{(x)}\)

16

\(ch(x)\)

\(sh(x)\)

17

\(\tanh{x}\)

\(\dfrac{1}{ch^{2}(x)}\)

18

\(\coth{x}\)

\( - \dfrac{1}{sh^{2}(x)}\)

Основное тригонометрическое тождество гиперболической геометрии

  • \(ch^{2}(x) - sh^{2}(x) =\left ( \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2} \right )^{2} - \left ( \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2} \right )^{2} = \dfrac{1}{4} \left(4e^{x}e^{-x} \right) = 1\)

Некоторые доказательства из таблицы производных

  • Докажем \((5)\)

    • \(\Delta y= y(x + \Delta x) - y(x) = \ln{(x + \Delta x)} - \ln{x} = \ln{\dfrac{x + \Delta x}{x}} = \ln{(1 + \dfrac{\Delta x}{x})} \sim \dfrac{\Delta x}{x}\)

    • \(y' = \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\dfrac{\Delta y}{\Delta x}} {\Delta x} = \dfrac{1}{x}\)

  • Докажем \((6)\)

    • \(\log_{a}{x} = \dfrac{\ln{x}}{\ln{a}}\)

    • \(\left (\dfrac{\ln{x}}{\ln{a}} \right)' = \dfrac{1}{x\ln{a}}\)

  • Докажем \((2)\)

    • \(y = a^{x}, \ x = \log_{a}{y}\)

    • \((a^{x})' = \dfrac{1}{(\log_{a}{y})'} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{y\ln{a}}} = y\ln{a} = a^{x}\ln{a}\)

  • Докажем \((4)\)

    • \(x^{\alpha} = \left (e^{\ln{x}} \right )^{\alpha}\)

    • \(\left ( \left (e^{\ln{x}} \right )^{\alpha} \right ) ' = e^{\alpha\ln{x}} \left (x\ln{x} \right)' = e^{\alpha\ln{x}} \cdot \alpha \cdot \dfrac{1}{x} = \alpha x^{\alpha - 1}\)

  • Докажем \((9)\)

    • \(\tan{x} = \left (\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \right )' = \dfrac{\cos{x}(\sin{x})' - \sin{x}(\cos{x})'}{\cos^{2}{x}} = \dfrac{1}{\cos^{2}{x}}\)

  • Докажем \((13)\)

    • \(y = \arctan{x}, \ x = \tan{y}\)

    • \(\arctan{x} = \dfrac{1}{(\tan{y})'} = \cos^{2}{y} = \dfrac{1}{1 + \tan^{2}{y}} = \dfrac{1}{1 + x^{2}}\)

  • Докажем \((15)\)

    • \(ch(x) = \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}\)

    • \(sh(x) = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}\)

    • \(\left (sh(x) \right )' = \left ( \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2} \right)' = \dfrac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}(-x)' \right) = \dfrac{1}{2}\left(e^{x} + e^{-x}\right) = ch(x)\)

  • Докажем \((16)\)

    • \(\left (ch(x) \right )' = \dfrac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}\right) = sh(x)\)

  • Докажем \((17)\)

    • \(\left (\tanh{x} \right )' = \left (\dfrac{sh(x)}{ch(x)} \right )' = \dfrac{ch(x)(sh(x))' - sh(x)(ch(x))'}{ch^{2}(x)} = \dfrac{1}{ch^{2}(x)}\)

  • Докажем \((18)\)

    • \(\left (\coth{x} \right )' = \left (\dfrac{ch(x)}{sh(x)} \right )' = - \dfrac{ch^{2}(x) - sh^{2}(x)}{sh^{2}(x)} = - \dfrac{1}{sh^{2}(x)}\)

Производная параметрически заданной функции#

  • \(\begin{equation*} \begin{cases} x = \phi{(t)} \\ y = \psi{(t)} \end{cases} \end{equation*}\)

  • Рассмотрим уравнение окружности : \(x^{2} + y^{2} = R^{2}\)

    • \(\begin{equation*} \begin{cases} x = R\cos{(t)}, \ t \in [0; 2\pi] \\ y = R\sin{(t)}, \ t \in [0; 2\pi] \end{cases} \end{equation*}\)

  • Пусть \(x = \phi{(t)}, \ y = \psi{(t)}, \ \exists \lim{\Delta t}{0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \phi', \ \exists \lim{\Delta t}{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta t} = \psi'\)

  • Рассмотрим : \(\lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim{\Delta x, \ \Delta t}{0, \ 0} \dfrac{\Delta y \cdot \Delta t}{\Delta x \cdot \Delta t} = \lim{\Delta t}{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta t} \cdot \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta t}{\Delta x} = \dfrac{\lim{\Delta t }{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta t}}{\lim{\Delta t }{0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t}} = \dfrac{y'(t)}{x'(t)}\)

Производная неявно заданной функции#

  • \(x^{2} + y^{2} = R^{2}\)

  • \(2x + 2y \cdot y' = 0 \implies y'(x) = - \dfrac{x}{y}\)

Определение непрерывности в терминах приращений#

  • \(f\) непрерывна в \(x_{0}\) , если \(\Delta x \rightarrow 0 \implies \ \Delta y \rightarrow 0\).

    • \(\forall \eps > 0 \ \exists \delta(\eps) > 0 \ \forall x \in X : |x - x_{0}| = |\Delta x| < \delta \implies |f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})| = |\Delta y| < \eps \).

Необходимое условие существования производной#

  • \(\exist f'(x_{0}) \implies\) \(f\) непрерывна в \(x_{0}\).

    • \(f'(x) = \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \implies \Delta x \rightarrow 0 \implies \Delta y = 0\)

Определение дифференциала функции#

  • \(dy= \Delta y = C\Delta x + o(\Delta x)\)

Алгебраические свойства дифференциала функции#

  1. \(d(u + v) = du + dv\)

  2. \(d(uv) = udv + vdu\)

  3. \(d\left (\dfrac{u}{v} \right) = \dfrac{vdu - udv}{v^{2}}\)

Лекция 02.11.2022#

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке#

  • \(f\) дифференцируема в \(x_{0}\) тогда и только тогда, когда \( \ \exists f'(x_{0})\) .

    • Необходимость:

      • \(\Delta y = C\Delta x + o\left(\Delta x\right) \implies \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim{\Delta x}{0} \left(C + \dfrac{o\left(\Delta x\right)}{\Delta x}\right) = f'(x_{0}) = C\).

    • Достаточность:

      • \(f'(x_{0}) = \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = C \implies \Delta y = C\Delta X + o(\Delta x) = f'(x_{0})\Delta x + o(\Delta x) \implies \Delta y = \underbrace{f'(x_{0})\Delta x}_{dy} + o(\Delta x) \implies dy = f'(x)dx\)

Инвариантность формы дифференциала первого порядка#

  • \(dy = f'(x)dx\) имеет такую форму записи как в случае независимой переменной \(x\), так и в случае зависимой.

    • Пусть \(\phi(t)\) дифференцируема в окрестности \(t_{0}\), \(f(x)\) дифференцируема в окрестности \(x_{0} = \phi(t_{0})\).Тогда рассмотрим в окрестности \(t_{0} :F(t) = f(\phi(t))\). \(F'(t) = f'(\phi(t)) \cdot \phi'(t)\) \( \implies F'(t)dt = f'(\phi(t)) \underbrace{\phi'(t)dt}_{dx} \implies d F = f'(\phi(t))dx\).

Производная и дифференциалы высших порядков#

  • Производная \(n\) - ого порядка в \(x_{0}\) \(f\) называется производная от производной порядка \(n - 1\) (если она существует в \(x_{0}\)).

  • \(\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} = f^{(n)}(x) = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d^{n - 1}y}{dx^{n - 1}}\right)\)

Формула Лейбница для \(n\) - ой производной произведения функций#

  • \(\left(uv\right)^{(n)} = \displaystyle\sum_\limits{k = 0}^{n} \binom{n}{k}u^{(n - k)}v^{(k)}\)

Дифференциал второго порядка и выше#

  • Дифференциал второго порядка и выше обладает свойством инвариантности в зависимости от того, является ли \(x\) независимой переменной \(x = \phi(t)\) или не является.

  • Вычислим второй дифференциал для зависимой переменной: \(d^{2}y = d(dy) = d(f'(x)dx) = d(f'(x))dx + f'(x)d(dx) = f''(x)dx^{2} + f'd^{2}x\) Для независимой переменной: \(d^{(2)}y = d(dy) = d(f'(x)dx) = f''(x)dx^{2}\)

Теорема об ограниченности функции в некоторой окрестности точки#

  • Функция, имеющая конечный предел в некоторой точке \(x_{0}\) ограничена в некоторой окрестности \(x_{0}\).

    • \(|x - x_{0}| < \delta \implies x_{0} - \delta < x < x_{0} + \delta\)

    • \(|f(x) - A| < \eps \implies A - \eps < f(x) < A + \eps\).

Теорема о сохранении знака функции в точке.#

  • Пусть \(\exists \lim{x}{x_{0}} f(x) = A \neq 0\).

    • \(x_{0} - \delta < x < x_{0} + \delta \implies A - \eps < f(x) < A + \eps\). \(\eps : \eps < \big|A\big| \implies f(x)\) сохраняет знак в \(x_{0}\)

Теорема о равенстве нулю функции в окрестности точки.#

  • Пусть \(f\) непрерывна в \(x_{0}\) и имеет разные знаки в левой и правой полуокрестностях \(x_{0}\). Тогда в \(f(x_{0}) = 0\).

    • \(\forall \eps > 0 \ \exists \delta(\eps) > 0 \ \forall x \in X:|x - x_{0}| < \delta \implies |f(x) - f(x_{0})| < \eps ; f(x_{0} + \delta) > 0 \and f(x_{0} - \delta) < 0\). Т. к. \( 0 > f(x_{0} - \delta) \leq f(x) \leq f(x_{0} + \delta) > 0 \implies f(x_{0}) = 0\).

Лекция 09.11.2022#

Обобщение теоремы о равенстве нулю функции в окрестности точки#

  • Непрерывная на отрезке \(x \in \left[a; b\right]\) функция, принимающая на нем значения в промежутке \(y \in \left[A;B\right], \ y(a) = A, \ y(b) = B\) примет в некоторой точке этого отрезка любое промежуточное значение \(C:\) \(A < C < B\)

    • Введем вспомогательную функцию \(\phi(x) = f(x) - C\), тогда \(\phi(x)\) примет на концах значения: \(\phi(a) = f(a) - C = A - C < 0, \ \phi(b) = f(b) - C = B - C > 0\). По предыдущей теореме \(\phi(x)\) непрерывна на \(\left[a;b\right]\) и принимает на его концах значения разных знаков, значит найдется такая точка \(c \in \left[a;b\right]\) в которой \(\phi(c) = 0\). \(\phi(c) - C = 0 \implies f(c) = C\)

Первая теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях#

  • Функция, непрерывная на отрезке ограничена на нем.

    • Допустим \(f(x)\) не ограничена. Рассмотрим число \(x_{n_{1}}:\) \(f(x_{n_{1}}) > n_{1}\), \(f(x_{n_{2}}) > n_{2} > n_{1}\), \(f(x_{n_{k}}) > n_{k} > n_{k - 1}\) \( \dots\)Элементы последовательности \(\{x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n_{k}}, \dots\}\) принадлежат отрезку \(\left[a;b\right]\) , \(\{x_{n_{k}}\}\) ограничена и по теореме Больцано - Вейерштрасса: \(\lim{n_{k}}{\infty} x_{n_{k}} = c \in \left[a;b\right]\), но \(\nexists \lim{x}{x_{n_{k}}}f(x_{n_{k}})\) по построению. Однако, \(\lim{x}{x_{n_{k}}} f(x_{n_{k}}) = f(c)\) по определению непрерывной функции.

Вторая теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях#

  • Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем супремум и инфимум.

    • Пусть во всех точках отрезка \(\left[a; b\right]\) выполняется \( f(x) \neq M = \sup{f}\). Рассмотрим вспомогательную функцию \(\phi(x) = \dfrac{1}{M - f(x)}\) \(;f(x)\) непрерывна \(\implies\) \(\phi(x)\) непрерывна на отрезке \(\implies \phi(x)\) ограничена на нем. \(\implies \exists M' : \phi(x) < M'\) \(;\dfrac{1}{M - f(x)} < M'; \ M - f(x) > \dfrac{1}{M'}; \ f(x) < M - \dfrac{1}{M'} \implies M \neq \sup{f(x)}\)

Понятие локального максимума и минимума функции (локального экстремума)#

  • \(f(x)\) имеет в точке \(x_{0}\) максимум, если в некоторой окрестности этой точки выполняется \(f(x) \leq f(x_{0})\) и имеет строгий максимум, если в точках окрестности \(\left(x \neq x_{0} \right)\) выполняется\(\ f(x) < f(x_{0})\). Аналогично для локального минимума и строгого минимума.

Теорема Ферма#

  • \(f(x)\), дифференцируемая в окрестности точки \(x_{0}\) и \(f'(x_{0}) = 0\), если \(x_{0}\) - точка экстремума этой функции.

    • Путь \(x_{0}\) - точка максимума. \(f'(x_{0}) = \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Положим \(\Delta x > 0 \implies \Delta y < 0\implies \lim{\Delta x}{0 + 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \leq 0\), положим \(\Delta x < 0 \implies \Delta y < 0 \implies \dfrac{\Delta y}{\Delta x} > 0 \implies \lim{\Delta x}{0 - 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \geq 0 \implies \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = 0\)

Теорема Ролля#

  • \(f\) дифференцируема на \(\left(a ; b\right)\) и непрерывна на \(\left[a;b\right]\) , \(f(a) = f(b) \implies\) \(\exists \xi \in [a; b]: f'(\xi) = 0\).

    • \(f\) достигает на \([a; b]\) \(\max{f} = M\) и \(\min{f} = m\).

    • \(M = m \implies f'(\xi) = const\)

    • \(M \neq m \implies\) \(f'(\xi) = 0\)

Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)#

  • \(f\) дифференцируема на \(\left(a; b\right)\) и непрерывна на \(\left[a;b\right];f(a) \neq f(b) \implies \exists \xi \in [a; b] :f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}, \ f(b) > f(a)\).

    • Рассмотрим: \(F(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a)\)

    • \(F(a) = f(a) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(a - a) = F(b) = f(b) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(b - a) = 0 \implies \exists \ \xi: F'(\xi) = 0 \implies \\ \implies F'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \implies f'(\xi) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0 \implies f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\).

Теорема Коши (о конечных приращениях)#

  • \(f\) и \(g\) дифференцируемы на \(\left(a;b\right)\) и непрерывны на \(\left[a;b\right]\), \(g'(x) \neq 0 \implies \exists \xi \in [a;b]: \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\)

  • Рассмотрим \(F(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} (g(x) - g(a))\).

  • \(F(a) = F(b) = 0 \implies \exists \xi: \ F(\xi) = 0, \ F'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot g'(x)\)

  • \(f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot g(\xi) \implies \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\)

Лекция 16.11.2022#

Правило Лопиталя#

  • Пусть \(f\) и \(g\) непрерывны и дифференцируемы в проколотой окрестности точки \(x_{0},\)\(g' \neq 0 \implies \exists \lim{x}{x_{0}} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \ \lim{x}{a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)

    • Доопределим их пределом, равным нулю. Тогда они станут непрерывными на всей окрестности точки \(x_{0}\). Рассмотрим последовательность \(\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots\}\) таких, что \(\lim{n}{\infty}{x_{n}} = x_{0}\) начиная с некоторого номера все члены последовательности будут принадлежать рассмотренной окрестности. Возьмем из них точку \(x_{k}\) и рассмотрим отрезок \(\left[a, x_{k}\right] \ (x_{k} > a)\). Тогда на этом отрезке \(f, \ g\) непрерывны и дифференцируемы на интервале \((a , x_{k})\). На этом промежутке выполнено условие теоремы Коши о конечных приращениях, то есть \(\exists \xi_{k} \in (a, x_{k})\), в которой \(\dfrac{f(x_{k}) - f(a)}{g(x_{k}) - g(a)} = \dfrac{f'(\xi_{k})}{g'(\xi_{k})}\). \(f(a) = g(a) = 0 \implies \dfrac{f(x_{k})}{g(x_{k})} = \dfrac{f'(\xi_{k})}{g'(\xi_{k})}\). \(k \to \infty, \ x_{k} \to a \implies \xi_{k} \to a\). \(\exists \lim{k}{\infty} \dfrac{f'(\xi_{k})}{g'(\xi_{k})} \implies \exists \lim{x}{a} \dfrac{f(x_{k})}{g(x_{k})} = \ \lim{x}{a} \dfrac{f'(x_{k})}{g'(x_{k})} \implies \lim{x}{a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \ \lim{x}{a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\).

Пример

  • Найти: \(\lim{x}{0} \dfrac{1 - \cos{x}}{x^{2}}\)

    • \(\lim{x}{0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = \ \lim{x}{0} \dfrac{\sin{x}}{2x} = \dfrac{1}{2}\)

  • Найти: \(\lim{x}{0} \dfrac{x - \sin{x}}{x^{3}}\).

    • \(\lim{x}{0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = \ \lim{x}{0} \dfrac{1 - \cos{x}}{3x^{2}} = \ \lim{x}{0} \dfrac{\sin{x}}{6x} = \dfrac{1}{6}\)

Замечание

  • Правило Лопиталя применимо и на полубесконечном промежутке \(x \in \left[1; + \infty \right)\), \(x \to + \infty, \ f(x) \to 0, \ g(x) \to 0\). А также, для раскрытия неопределенности вида \(\dfrac{\infty}{\infty}\) .

Пример

  • \(\exists \lim{x}{a} \dfrac{f(x)}{g(x)}\), но правило Лопитая не выполнено, так как \(\nexists \ \lim{x}{a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\).

    • \(\lim{x}{0} \dfrac{x^{2} \sin{\dfrac{1}{x}}}{\sin{x}} = \ \lim{x}{0} \dfrac{x \cdot x \cdot \sin{\dfrac{1}{x}}}{\sin{x}} = 0\)

  • Найдем предел отношения производных

    • \(\lim{x}{0} \dfrac{2x\sin{\dfrac{1}{x}} + x^{2} \cos{\dfrac{1}{x}} \left(- \dfrac{1}{x^{2}}\right)}{\cos{x}}\) - не существует, \(\nexists \lim{x}{0} \cos{\dfrac{1}{x}}\)

    • \(\lim{x}{0} \dfrac{e^{-x^{2}} - \cos{x}}{\ln{(1 + 3x^{2}})} = \ \lim{x}{0} \dfrac{e^{-x}(-2x) + \sin{x}}{\dfrac{1}{3}x^{2} \cdot 6x} = \\ \ \lim{x}{0} \dfrac{(-2xe^{x^{2}} + \sin{x})(1 + 3x^{2})}{6x} = \ \lim{x}{0} \dfrac{\left[-2e^{-x^{2}} - 2xe^{-x^{2}} (-2x) + \cos{x}\right] \cdot (1 + 3x^{2}) + \left[-2xe^{-x^{2}} + \sin{x}\right]6x}{6} = - \dfrac{1}{6}\)

Формула Тейлора#

Теорема

  • Пусть \(f\) имеет в окрестности точки \(a\) производные порядков до \(n + 1\) включительно. Тогда в любой точке \(x\) этой окрестности \(f\) представима в виде :

  • \(f(x) = f(a) + \dfrac{f'(a)}{1!}(x - a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x - a)^{2} + \dots + \dfrac{f^{n}(a)}{n!}(x - a)^{n} + R_{n + 1}\) - Многочлен Тейлора \(\Phi(x, a)\) с центром в точке \(a\) и остаточным членом \(R_{n + 1} = \left(\dfrac{x - a}{x - \xi}\right)^{p} \cdot \dfrac{\left(x - \xi\right)^{n + 1}}{n! \cdot p} \cdot f^{(n + 1)}(\xi)\), где \(\xi\) - некоторая точка в окрестности точки \(a\).

Доказательство

  • Введем вспомогательную функцию \(\psi(t) = f(x) - \Phi(x, t) - R_{n + 1}, t \in \left[a ;x \right]\). Запишем \(R_{n + 1} = (x - t)^{p} \cdot Q(x)\). Проверим значение \(\psi(t)\) на концах промежутка \(t \in \left[a; x\right]\).

  • \(\psi(a) = f(x) - \Phi(a, a) - R_{n + 1}= 0\)

  • \(\psi(x) = f(x) - \Phi(x, x) - R_{n + 1} = 0\).

  • Условия теоремы Ролля выполнены \(\implies\) \(\exists \xi \in \left[a; x\right]\) , \(\psi'(\xi) = 0\)

  • \(\psi(t) = f(x) - f(t) - \dfrac{f'(t)}{1!}(x - С) - \dfrac{f''(t)}{2!}(x - С)^{2} - \dots - \dfrac{f^{(n)}(t)}{n!}(x - С)^{n} - (x - С)^{P} \cdot Q(x)\)

  • \(\psi'(\xi) = - f'(\xi) - \dfrac{f''(\xi)}{1!}(x - \xi) + \dfrac{f'(\xi)}{1!} - \dfrac{f'''(\xi)}{2!}(x - \xi)^{2} + \dfrac{f''(\xi)}{1!}(x - \xi) + \dfrac{f^{(4)}(\xi)}{3!}(x - \xi)^{3} \\ \dots - \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{n!}(x - \xi)^{n} + \dfrac{f^{(n)}(\xi)}{(n - 1)!}(x - \xi)^{n - 1} + p(x - \xi)^{p - 1} \cdot Q(x)\)

  • \(\psi'(\xi) = -\dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{n!}(x - \xi)^{n} + p(x - \xi)^{p - 1} \cdot Q(x) = 0\)

  • \(Q(x) = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{n!} \cdot \dfrac{(x - \xi)^{n}}{p(x - \xi)^{p - 1}} = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{n!p}(x - \xi)^{n - p + 1}\)

  • \(R_{n + 1} = \dfrac{(x - a)^{p} \cdot f^{(n + 1)}(\xi)(x - \xi)^{n - p + 1}}{n!p} = \left(\dfrac{x - a}{x - \xi}\right)^{p} \cdot \dfrac{(x - \xi)^{n + 1}}{n!p} \cdot f^{(n + 1)}(\xi)\)

Пример

  • Разложить в точке \(a\) произвольный многочлен степени \(n\)

  • \(P_{n}(x) = C_{n}x^{n} + C_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + C_{1}x + C_{0} = \underbrace{P(a) + \dfrac{P_{n}'(a)}{1!}(x - a) + \dfrac{P_{n}''(a)}{2!}(x - a)^{2} + \dots + \dfrac{P_{n}^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n}}_{\Phi(x, a)} \implies R_{n + 1} = 0\)

  • \(\Phi(a, a) = f(a)\)

  • \(\Phi'(a, a) = f'(a)\)

  • \(\Phi''(a, a) = f''(a)\)

  • \(\Phi^{(n)}(a, a) = f^{(n)}(a)\)

Лекция 23.11.2022#

Остаточный член в трех видах#

  • Запишем остаточный член \(R_{n + 1}\) в трех видах:

    • В форме Лагранжа при \(p = n + 1\), то есть \(R_{n + 1} = \dfrac{(x - a)^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot f^{(n + 1)}(\xi)\)

    • В форме Коши. Введем вместо \(\xi \in \left[a, x\right]\) промежуточную \(\theta \in \left[0, 1\right] , p = 1\)

      • \( \xi = a + \theta(x - a)\)

      • \( R_{n + 1} = \dfrac{\left(x - a\right)}{n!} \cdot f^{(n + 1)}(\xi)(x - \xi)^{n}\)

      • \(x - \xi = x - a - \theta(x - a) = (x - a)(1 - \theta)\)

      • \(R_{n + 1} = \dfrac{(x - a)(x - a)^{n}(1 - \theta)^{n}}{n!} \cdot f^{(n + 1)}(a + \theta(x - a))\)

      • \(R_{n + 1} = \dfrac{(x - a)^{n + 1}(1 - \theta)^{n}}{n!} \cdot f^{(n + 1)}(a + \theta(x - a))\)

    • В форме Пеано. \(R_{n + 1} = o((x - a)^{n})\)

Доказательство формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано#

Доказательство

  • Докажем \(\lim{x}{a} \dfrac{R_{n + 1}}{(x - a)^{n}} = 0\)

  • \( \lim{x}{a} R_{n + 1} = 0\)

  • Еще одно преимущество в форме Пеано - если формула Тейлора требует существования всех производных \(f(x)\) до \(n + 1\) порядка включительно в окрестности точки \(a\), то в форме Пеано верна, при наличии \(n\) - ого порядка производных в точке \(a\) и \(n - 1\) в окрестности \(a\) .

  • \(\lim{x}{a} \dfrac{R_{n + 1}(x)}{(x - a)^{n}} = \dfrac{0}{0}\) - Используем правило Лопиталя.

  • \(\lim{x}{a} \dfrac{(R_{n + 1}(x))'}{n(x - a)^{n - 1}} = \dfrac{0}{0}\) - Повторим \(n - 1\) раз.

  • \(\lim{x}{a} \dfrac{R^{(n - 1)}_{n + 1}(x) - R_{n + 1}^{(n - 1)}(a)}{n!(x - a)} = \dfrac{R^{(n)}_{n + 1}}{n!}= 0\)

Оценка остаточного члена в формуле Тейлора#

  • Рассмотрим класс функций, для которых все производные любого порядка ограничены одной и той же константой \(M\) в окретности точки \(a\)

  • Используем форму Лагранжа и точку разложения возьмем \(a = 0\) (Тогда формула Тейлора называется формулой Маклорена)

  • \(f(x) = f(0) + \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2} + \dots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} + R_{n + 1}\)

  • \(R_{n + 1} = \dfrac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot f^{(n + 1)}(\theta x)\)

  • \(\left|R_{n + 1} \right| \leq \dfrac{\left|x\right|^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot M\)

Пример

  • \(f(x) = e^{x}\). В окрестности точки \(0\) все производные \(e^{x}\) на отрезке \(x \in \left[-r; r\right], \ M = e^{r}\)

    • \(\left|R_{n + 1}\right| \leq \dfrac{e^{r}\left|x\right|^{n + 1}}{(n + 1)!}\)

  • \(f(x) = \sin{x}; \ f(x) = \cos{x}; \ M = 1\)

    • \(\left|R_{n + 1}\right| \leq \dfrac{|x|^{n + 1}}{(n + 1)!}\)

Формула Маклорена для некоторых элементраных функций#

  • \(e^{x} = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2!} + \dfrac{x^{3}}{3!} + \dots + \dfrac{x^{n}}{n!} + R_{n + 1}\)

    • \(R_{n + 1} = \dfrac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} e^{\theta x}, \ (0 \leq \theta \leq 1), \ x \in \left[-r; r\right]\)

    • \(\left|R_{n + 1}\right| \leq \dfrac{r^{n + 1}}{(n + 1)!}\)

  • \(\sin{x}\)

    • \(f^{(n)}(x) = \sin{\left(x + n \cdot \dfrac{\pi}{2}\right)}\)

    • \(f^{(n)}(x) = 0\) - Для четных \(n\)

    • \(n = 2k + 1\)

    • \(\sin{x} = x - \dfrac{x^{3}}{3!} + \dfrac{x^{5}}{5!} - \dots + (-1)^{k} \dfrac{x^{2k + 1}}{(2k + 1)!} + R_{n + 2}\)

  • \(\cos{x}\)

    • \(\left(\cos{x}\right)^{(n)} = \cos{\left(x + n \cdot \dfrac{\pi}{2} \right)}\)

    • \(\cos{x} = 1 - \dfrac{x^{2}}{2!} + \dfrac{x^{4}}{4!} - \dfrac{x^{6}}{6!} \dots + \dfrac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!} + R_{n + 2}\)

  • \(\ln{\left(1 + x\right)}\)

    • \(\ln{\left(1 + x\right)} = x - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{4}}{4} + \dots + (-1)^{(n - 1)} \dfrac{x^{n}}{n} + R_{n + 1}\)

    • \(\ln'{\left(1 + x\right)} = \dfrac{1}{1 + x} \bigg|_{x = 0} = 1\)

    • \(\ln''{\left(1 + x\right)} = - \dfrac{1}{(1 + x)^{2}} \bigg|_{x = 0} = -1\)

    • \(\ln'''{\left(1 + x\right)} = \dfrac{2}{(1 + x)^{3}} \bigg|_{x = 0} = 2\)

  • Биноминальное разложение

    • \(\left(1 + x\right)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2} + \dfrac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^{3} + \dots + \dfrac{\alpha(\alpha - 1) \dots (\alpha - n + 1)}{n!}x^{n} + R_{n + 1}\)

Лекция 30.11.2022#

Нахождение пределов используя формулу Маклорена#

  • \(\lim{x}{0} \dfrac{\sin{x} - x}{x^{3}} = \ \lim{x}{0} \dfrac{x - \dfrac{x^{3}}{3!} + o(x^{4}) - x}{x^{3}} = - \dfrac{1}{6}\)

  • \(\lim{x}{0} \dfrac{e^{- \dfrac{x^{2}}{2}} - \cos{x}}{x^{4}} = \ \lim{x}{0} \dfrac{1 - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{4}}{2!\cdot 4} + o(x^{4}) - 1 - \dfrac{x^{2}}{2!} - \dfrac{x^{4}}{4!} + o(x^{4})}{x^{4}} = \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{24} = \dfrac{1}{12}\)

  • \(y = \left(\cos{x} + \dfrac{x^{2}}{2}\right)^{\dfrac{1}{x(\sin{x} - 1)}}\)

    • \(\lim{x}{0} \ln{y} = \dfrac{\ln{\left(\cos{x} + \dfrac{x^{2}}{2}\right)}}{x(\sin{x} - x)} = \ \lim{x}{0} \dfrac{\left(1 - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{4}}{4!} + o(x^{4}) + \dfrac{x^{2}}{2}\right)}{x\left(x - \dfrac{x^{3}}{3!} + o(x^{4}) - x\right)} = \ \lim{x}{0} \dfrac{\ln{\left(1 + \dfrac{x^{4}}{4!} + o(x^{4})\right)}}{-\dfrac{x^{4}}{6} + o(x^{4})} = \ \lim{x}{0} \dfrac{\dfrac{x^{4}}{4!} + o(x^{4})}{- \dfrac{x^{6}}{6} + o(x^{4})} = - \dfrac{6}{24} = - \dfrac{1}{4}\)

Убывающие и возрастающие функции#

  • \(f(x) \uparrow \ x \in\) \(\left[a; b\right]\)\( \ \Longleftrightarrow\) \(\forall x_{2} > x_{1} \in \left[a; b\right] \implies f(x_{2}) > f(x_{1})\)

  • \(f(x) \downarrow \ x \in\) \(\left[a; b\right]\)\( \ \Longleftrightarrow\) \(\forall x_{2} > x_{1} \in \left[a; b\right] \implies f(x_{2}) < f(x_{1})\)

  • Аналогично для неубывающей и невозрастающей.

Монотонные функции#

  • Возрастающие и убывающие функции называются монотонными

Теорема о связи знака производной с возрастанием и убыванием функци#

Теорема

  • Если у дифференцируемой на промежутке \(f\) в каждой точке производная положительна, то \(f \uparrow\) на этом промежутке. Если отрицательна, то \(f \downarrow\).

Доказательство

  • Действительно, пусть \(f'(x) > 0, \ x \in \left[a; b\right] \implies f\) сохраняет знак в некоторой окрестности \(x\). \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x} > 0 : \Delta x > 0 \implies \Delta f > 0; \ \Delta x < 0 \implies \Delta f < 0\). Аналогично для \(f'(x) < 0\).

Возрастание (убывание) в точке#

  • \(x_{0}\) называется точкой возрастания, если в левой (как угодно малой) окрестности \(x_{0}: f(x) < f(x_{0})\), а в правой \(f(x) > f(x_{0})\). Аналогично для точки убывания.

Утверждение о неотрицательной производной#

  • Если \(f\) дифференцируема в окрестности \(x_{0}\) и \(x_{0}\) - точка возрастания \(\implies f'(x_{0}) \geq 0\).

  • Если \(f\) дифференцируема в окрестности \(x_{0}\) и \(f'(x_{0}) > 0 \implies \ x_{0}\) - точка возрастания.

Пример

  • \(f(x) = x^{3}, \ x_{0} = 0\)

  • \(f'(x_{0}) = 0 \implies \) \(x_{0}\) - точка возрастания.

Экстремум функции#

  • \(x_{0} \) - \(\max\) функции \(f \Longleftrightarrow\) в окрестности \(x_{0}: f(x) \leq f(x_{0})\)

  • \(x_{0}\) - строгий \( \max\) функции \(f \Longleftrightarrow\) в окрестности \(x_{0}: f(x) < f(x_{0})\)

  • Аналогично для \(\min\).

Теорема Ферма#

  • \(f\) дифференцируема в окрестности точки возможного экстремума \(\implies f\) имеет экстремум, если \(f'\) меняет знак при переходе через эту точку.

Первое достаточное условие экстремума#

  • \(f\) - дифференцируема в окрестности точки возможного экстремума. \(f'\) меняет знак с плюса на минус \(x_{0}\). Тогда\( \dfrac{\Delta f}{\Delta x} < 0, \ \Delta x > 0 \implies \Delta f > 0; \ \dfrac{\Delta f}{\Delta x} > 0, \ \Delta x < 0 \implies \Delta f < 0\). А это и значит \(\max\). Аналогично для \(\min\).

Второе достаточное условие экстремума#

  • Если \(x_{0}\) - точка возможного экстремума, \(f'(x) = 0\), то \(f''(x_{0}) < 0 \implies x_{0} = \max; f''(x_{0}) > 0 \implies x_{0} = \min\)

Доказательство

  • Пусть \(x_{0}\) - точка возможного экстремума, \(\exists f'\) в некоторой окрестности \(x_{0}\). \(f''(x_{0}) = \ \lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta f'}{\Delta x}\). Пусть далее \(f''(x_{0}) < 0\). Значит, в окрестности \(x_{0}\): \(\dfrac{\Delta f'}{\Delta x} < 0\). \(\Delta x > 0 \implies \Delta f' < 0, \ f'(x_{0}) = 0\), то есть производная изменила знак на отрицательный, аналогично, \(\Delta x < 0, \ \dfrac{\Delta f'}{\Delta x} < 0 \implies \Delta f' > 0, \ f'(x_{0}) = 0\). То есть левее \(x_{0}\) производная больше нуля \(\implies x_{0}\) - точка \(\max\). Аналогично для \(\min\).

Пример

  • Найти \(\min{f}, \ \max{f}\), \(f \uparrow, f \downarrow\).

  • \(f(x) = 3x^{3} - x^{2} - 2x + 5\)

    • \(f'(x) = 9x^{2} - 2x - 2 = 0\)

    • \(D = 76 \implies x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{76}}{18} = \dfrac{1 \pm \sqrt{19}}{9}\)

    • \(9x^{2} - 2x - 2 = 9(x - \dfrac{1 + \sqrt{19}}{9})(x - \dfrac{1 - \sqrt{19}}{9})\)

    • \(f''(x) = 18x - 2 = 2(9x - 1) \implies \dfrac{1 - \sqrt{19}}{9} = \max, \dfrac{1 + \sqrt{19}}{9} = \min\)

Лекция 06.12.2022#

Выпуклость и вогнутость графика функции#

  • Пусть дифференцируема на некотором интервале \((a;b)\) \(f\) всюду на этом интервале имеет график, расположенный ниже касательной в соответствующей точке, то в этой точке график имеет выпуклость вверх, если выше, то выпуклость вниз (вогнутость).

Утверждение

  • Если в окрестности некоторой точки \(C\) вторая производная (если существует) не меняет знака и отрицательна, то в окрестности этой точки график функции направлен выпуклостью вверх, если положительна, то вниз. Пусть в окрестности \(C\) \(f''(x)\) отрицательна. Напишем уравнение касательной, проведенной в этой точке. Пусть \(Y\) - ордината к касательной, а \(y\) - ордината графика функции. \(Y = f(С) + f'(С)(x - С)\)

  • Разложим функцию \(y = f(x)\) в точке \(C\) по формуле Тейлора:

    • \(f(x) = f(С) + f'(С)(x - С) + \dfrac{f''(\xi)}{2!}(x - С)^{2}\)

    • \(y - Y = \dfrac{f''(\xi)}{2!}(x - С)^{2}\)

  • \(f''(\xi) < 0 \implies y - Y < 0, \ y < Y\), а это и есть определение выпуклости вверх

Точка перегиба графика#

  • Если дифференцируемая в окрестности \(C\) и \(f''\) меняет при переходе через эту точку направление выпуклости, то точка \(C\) называется точкой перегиба

Третье достаточное условие экстремума и точки перегиба#

  • Пусть \(f\) дифференцируема в окрестности \(C\) \(n\) раз, а в \(C\) - \((n + 1)\) раз. Если в точке \(C\) производные до \(n\) -ого порядка включительно равны нулю, \(f^{(n + 1)}(C) \neq 0 \implies\) при \(n\) - нечетном точка \(C\) является точкой экстремума, а именно если \(f^{(n + 1)}(C) < 0\), то \(\max\), если \(f^{(n + 1)}(C) > 0\), то \(\min\). Если \(n\) - четное, то \(C\) - точка перегиба.

Доказательство

  • Действительно, пусть \(n\) - нечетное, тогда при \(f^{(n + 1)}(C) \neq 0\) для \(f^{(n)}(x)\) как функции, для которой \(f^{(n + 1)}\) - ее первая производная, \(C\) - точка возрастания (убывания) для \(f^{(n)}(x)\). Рассмотрим разложение по формуле Тейлора в точке \(C\) второй производной:

    • \(f''(x) = f''(C) + \dfrac{f'''(C)}{1!}(x - C) + \dots + \dfrac{f^{(n)}(C)}{n!}(x - C)^{n} + \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - C)^{n + 1}\)

    • Так как по условию все производные до \(n\) включительно равны нулю в точке \(C \implies f''(x) =\dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - C)^{n + 1}\)

    • \(f^{(n + 1)}(\xi) < 0 \implies f''(x) < 0 \implies \max\)

    • \(f^{(n + 1)}(\xi) > 0 \implies f''(x) > 0 \implies \min\)

  • Пусть \(n\) - четное, \(f^{(n + 1)}(\xi) \neq 0\). Разложим по формуле Тейлора \(f''(x)\).

    • \(f''(x) = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - C)^{(n + 1)}\).

    • \(f''(x) = \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - C)^{(n + 1)}\). \((x - C)\) меняет знак при переходе, значит \(f''(x)\) меняет знак при переходе через \(C\).

План исследования и построения графика функции#

  • Найти область определения функции

  • Выяснить симметрию функции (четность, периодичность)

  • Исследовать поведение функции вблизи границ ее области определения

  • Найти точки пересечения графика с осями координат

  • Найти асимптоты графика

  • Вычислить производную и по ней найти промежутки возрастания (убывания), экстремум

  • Найти промежутки выпуклости (вогнутости) графика и точки перегиба

  • Построить график

Определение асимптоты#

  • Прямая \(x = a\) называется вертикальной асимптотой графика \(f\) в точке \(a\), если какой - либо из односторонних пределов функции в этой точке равен \(\pm \infty\).

  • Прямая \(y = kx + b\) называется наклонной асимптотой графика функции при \(x \implies \pm \infty\), если при этом расстояние между графиком функции и асимптоты стремится к нулю.

Необходимое и достаточное условие наклонной асимптоты#

  • \(\lim{x}{\pm \infty} \dfrac{f(x)}{x} = k, \ \lim{x}{\pm \infty} \left(f(x) - kx\right) = b\).

Доказательство

  • Действительно: \(\lim{x}{\pm \infty} \dfrac{y_{f}}{y_{a}} = 1\)

    • \(\lim{x}{\pm \infty} \dfrac{f(x)}{kx + b} = 1 \Longleftrightarrow \lim{x}{\pm \infty} \dfrac{f(x)}{x} = k\)

    • Стремление расстояния к нулю также означает: \((y_{f} - y_{a}) \implies 0 \implies \lim{x}{\pm \infty}\left[f(x) - (kx + b)\right] = 0 \Longleftrightarrow \lim{x}{\pm \infty}(f(x) - kx) = b\)

Пример исследования функции#

  • Исследовать \(y = \dfrac{2x^{3} - 5x^{2} + 14x - 6}{4x^{2}}\)

    • Область определения: \(\left(-\infty; 0\right) \ \cup (0; +\infty)\)

    • Симметрия: Отсутствует (функция общего вида)

    • Поведение вблизи границ:

      • \(\lim{x}{-\infty} \dfrac{2x^{3} -5x^{2} + 14 - 6}{4x^{2}} = -\infty\)

      • \(\lim{x}{+\infty} \dfrac{2x^{3} -5x^{2} + 14 - 6}{4x^{2}} = +\infty\)

      • \(\lim{x}{0} \dfrac{2x^{3} -5x^{2} + 14 - 6}{4x^{2}} = -\infty\)

    • Точки пересечения с осями координат :

      • Решить \(2x^{3} -5x^{2} + 14 - 6 = 0\)

    • Асимптоты:

      • Вертикальные: \(x = 0\)

      • Наклонные:

      • \(k = \lim{x}{\pm \infty} \dfrac{2x^{3} - 5x^{2} + 14x - 6}{4x^{3}} = \dfrac{1}{2}\)

      • \(b = \lim{x}{\pm \infty} \dfrac{2x^{3} - 5x^{2} + 14x - 6}{4x^{2}} - \dfrac{x}{2} = - \dfrac{5}{4}\)

      • \(y = \dfrac{x}{2} - \dfrac{5}{4}\)

    • Производные:

      • \(f(x) = \dfrac{1}{4}\left(2x - 5 + \dfrac{14}{x} - \dfrac{6}{x^{2}}\right)\)

      • \(f'(x) = \dfrac{1}{4}\left(2 - \dfrac{14}{x^{2}} + \dfrac{12}{x^{3}}\right) = \dfrac{x^{3} - 7x + 6}{2x^{3}}\)

    • Промежутки \(\uparrow, \ \downarrow\) , экстремум:

      • \(x^{3} - 7x + 6 = 0 \implies x(x^{2} - 1) - 6(x - 1) = 0 \implies\) Корни: -3, 2.

    • Точки перегиба:

      • \(f''(x) = \dfrac{1}{2} \dfrac{7(3x^{2} - 7) - (x^{3} - 7 + 6 )3x}{x^{6}} = 0\)

      • \(x = - \dfrac{9}{7}\)

Лекция 13.12.2022#

Первообразная и неопределенный интеграл#

  • Пусть на некотором промежутке задана \(f(x)\). Первообразная для этой функции на этом промежутке называется функция дифференцирования на этом промежутке \(F(x)\), такая что \(F'(x) = f(x)\).

  • Первообразная определена неоднозначно, т.к. если \(F(x)\) - первообразная, то \(F(x) + C\) - тоже первообразная.

Теорема об отличии первообразных на постоянные на промежутке#

Теорема

  • Любые две первообразные функции \(f(x)\) на данном промежутке могут отличаться только на постоянные слагаемые

Доказательство

  • Пусть на \(\left(a;b\right)\) \(f(x)\) имеет первообразные \(F_{1}(x)\) и \(F_{2}(x)\). Докажем, что отличаются на \(C\). Введем функцию \(\Phi(x) = F_{1}(x) + F_{2}(x)\) в любой точке \(x\). \(\Phi'(x) = F_{1}'(x) + F_{2}'(x) = f(x) - f(x) = 0\). Если \(x\) - любая точка просматриваемого промежутка, то по теореме Лагранжа о конечных приращениях существует внутри промежутка точка \(\xi\), что \(\Phi(b) - \Phi(a) = \Phi'(\xi)(b - a)\). \(\Phi(x + \Delta x) - \Phi(x) = \Phi'(\xi) \Delta x\), \(\Phi'(\xi) = 0 \implies \Phi(x + \Delta x) = \Phi(x) \implies \Phi(x) = const \implies F_{1}(x) - F_{2}(x) = C \implies F_{1}(x) = F_{2}(x) + C\).

Определение

  • Если известна какая - то первообразная, то совокупность всех первообразных имеет вид \(F(x) + C\) и называется неопределенным интегралом

Обозначение

  • \(F(x) + C = \displaystyle\int f(x) dx \)

Алгебраические свойства неопределенного интеграла#

  • \(d\left(\displaystyle\int f(x) dx \right) = \left( F(x) + C \right) ' dx = F'(x) dx = dF(x)\)

  • \(\displaystyle\int dF = \displaystyle\int F'(x) dx = \displaystyle\int f(x) dx + C\)

  • \(\displaystyle\int \left(\alpha f(x) + \beta g(x) \right) dx = \alpha \displaystyle\int f(x) dx + \beta \displaystyle\int g(x) dx\)

Таблица неопределенных интегралов#

№

f(x)

F(x)

1

\(C\)

\(Cx + C_{1}\)

2

\(x^{n}\)

\(\dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\)

3

\(\dfrac{1}{x}\)

\(\ln{x} + C\)

4

\(a^{x}\)

\(\dfrac{a^{x}}{\ln{a}} + C\)

5

\(e^{x}\)

\(e^{x} + C\)

6

\(\sin{x}\)

\(- \cos{x} + C\)

7

\(\cos{x}\)

\(\sin{x} + C\)

8

\(\dfrac{1}{\cos^{2}{x}}\)

\( \tan{x} + C\)

9

\(- \dfrac{1}{\sin^{2}{x}}\)

\(\cot{x} + C\)

10

\(\dfrac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}\)

\( \arcsin{x} + C\)

11

\(- \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}\)

\(\arccos{x} + C\)

12

\(\dfrac{1}{1 + x^{2}}\)

\(\arctan{x} + C\)

13

\(- \dfrac{1}{1 + x^{2}}\)

\(arccot{(x)} + C\)

14

\(sh{(x)}\)

\(ch{(x)} + C\)

15

\(ch(x)\)

\(sh(x) + C\)

16

\(\dfrac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\)

\(\arcsin{\dfrac{x}{a}} + C\)

17

\(\dfrac{1}{a^{2} +x^{2}}\)

\(\dfrac{1}{a} \arctan{\dfrac{x}{a}} + C\)

18

\(\dfrac{1}{a^{2} - x^{2}}\)

\(\dfrac{1}{2a} \ln{\dfrac{a + x}{a - x}} + C\)

19

\(\dfrac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}\)

\(\ln{(x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}})}+ C\)

Методы интегрирования#

  • Метод замены переменной

    • Пусть имеем \(\displaystyle\int f(x) dx\), если \(x = \phi(t)\), так что \(dx = \phi'(t) dt\), то обозначив первообразную функции \(f(\phi(t))\) через \(G(t)\) получим \(\displaystyle\int f(\phi(t)) dt = G(t) + C \implies G'(t) = f(\phi(t)) \cdot \phi(t) \implies G(t) = \displaystyle\int f(\phi(t))\phi'(t) dt = \displaystyle\int f(x) dx\)

  • Метод интегрирования по частям

    • \(d(u(x) v(x)) = udv + vdu\)

    • \(\displaystyle\int d(uv) dx = \displaystyle\int u dv + \displaystyle\int v du\)

    • \(\displaystyle\int u dv = uv - \displaystyle\int v du\)

Лекция 20.12.2022#

Интегрирование рациональных функций#

  • Пусть имеем правильную несократимую дробь \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\). Пусть далее многочлен \(Q(x)\) имеет корень \(x = a\) кратности \(\alpha\), т. е. \(Q(x) = (x - a)^{\alpha}\phi(x)\), причем \(\phi(a) \neq 0\).

Теорема о разложении дроби на простейшие#

  • \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{A}{(x - a)^{\alpha}\phi(x)} + \dfrac{\psi(x)}{(x - a)^{\alpha - k}\phi(x)}, \ k \geq 1\)

Доказательство

  • \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{A}{(x - a)^{\alpha}\phi(x)} + \dfrac{P(x) - A\phi{(x)}}{Q(x)}\bigg|_{A = \dfrac{P(a)}{\phi(a)}} = \dfrac{\Phi(x)}{Q(x)} = \dfrac{A}{(x - a)^{\alpha}} + \dfrac{(x - a)^{k}\psi(x)}{Q(x)} = \dfrac{A}{(x - a)^{\alpha}} + \dfrac{\psi(x)}{(x - a)^{\alpha - k}\phi(x)}\)

Замечание

  • Если \(Q(x)\) имеет комплексный корень \(x = u + iv\), тогда он имеет комплексно - сопряженный корень \(\upline{x} = u - iv\), т. е. \(Q(x) = \left(u + iv\right)\left(u - iv \right) = u^{2} + v^{2}\). Обычно этот множитель встречается в виде \(Q(x) = \left(x^{2} + px + q\right)^{\alpha} \cdot \phi(x) \implies \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{Mx + N}{(x^{2} + px + q)^{\alpha}} + \dfrac{\psi(x)}{(x^{2} + px + q)^{\alpha - k}\phi(x)}\)

Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие

  • \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{A_{1}}{(x - a)^{\alpha}} + \dfrac{A_{2}}{(x - a)^{\alpha - 1}} + \dots + \dfrac{A_{\alpha}}{x - a} + \dfrac{B_{1}}{(x - b)^{\beta}} + \dfrac{B_{2}}{(x - b)^{\beta - 1}} + \dots + \dfrac{B_{\beta}}{x - b} + \dots + \dfrac{C_{1}}{(x - c)^{\gamma}} + \dfrac{C_{2}}{(x - c)^{\gamma - 1}} + \dfrac{C_{\gamma}}{x - c} \\ + \dfrac{M_{1}x + N_{1}}{(x^{2} + p_{1}x - q_{1})^{\delta}} + \dfrac{M_{2}x + N_{2}}{(x^{2} + p_{1}x - q_{1})^{\delta - 1}} + \dots + \dfrac{M_{\delta}x + N_{\delta}}{x^{2} + p_{1}x - q_{1}} + \dfrac{K_{1}x + L_{1}}{(x^{2} + p_{2}x + q_{2})^{\eps}} + \dfrac{K_{2}x + L_{2}}{(x^{2} + p_{2}x + q_{2})^{\eps - 1}} + \dots + \dfrac{K_{\eps}x + L_{\eps}}{x^{2} + p_{2}x + q_{2}}\)

Основные интегралы рациональных дробей#

  1. \(\displaystyle\int \dfrac{A}{x - a} dx = A\ln{|x - a|} + C\)

  2. \(\displaystyle\int \dfrac{A}{(x - a)^{\alpha}} dx = \dfrac{A(x - a)^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} + C\)

  3. \(\displaystyle\int \dfrac{Mx + N}{x^{2} + px + q} dx = \dfrac{M}{2} \displaystyle\int \dfrac{\dfrac{Mx + N}{M} \cdot 2}{x^{2} + px + q} dx = \dfrac{M}{2} \displaystyle\int \dfrac{2x + \dfrac{2N}{M}}{x^{2} + px + q}dx = \\ \dfrac{M}{2} \displaystyle\int \dfrac{2x + p - p + \dfrac{2N}{M}}{x^{2} + px + q} dx = \dfrac{M}{2} \displaystyle\int \dfrac{2x + p}{x^{2} + px + q} dx + \dfrac{M}{2} \displaystyle\int \dfrac{\dfrac{2N}{M} - p}{x^{2} + px + q} dx = \\ \dfrac{M}{2} \displaystyle\int \dfrac{d(x^{2} + px)}{x^{2} + px + q} + \dfrac{M}{2} \displaystyle\int \dfrac{B}{x^{2} + px + q} dx = \\ \dfrac{M}{2} \ln{|x^{2} + px + q|} + \dfrac{MB}{2} \displaystyle\int \dfrac{dx}{x^{2} + px + q} = \dfrac{M}{2} \ln{|x^{2} + px + q|} + \dfrac{MB}{2} \displaystyle\int \dfrac{dx}{x^{2} + \dfrac{2px}{2} + q + \dfrac{p^{2}}{4} - \dfrac{p^{2}}{4}} = \\ \dfrac{M}{2} \ln{|x^{2} + px + q|} + \dfrac{MB}{2} \displaystyle\int \dfrac{dt}{t^{2} + \left(q - \dfrac{p^{2}}{4}\right)}\bigg|_{t = x + \dfrac{p}{2}} = \\ \dfrac{M}{2} \ln{|x^{2} + px + q|} + \dfrac{MB}{2} \displaystyle\int \dfrac{dt}{t^{2} - A}\bigg|_{t = x + \dfrac{p}{2}}^{A = - q + \dfrac{p^{2}}{4}} = \dfrac{M}{2} \ln{|x^{2} + px + q|} + \dfrac{MB}{4\sqrt{A}} \ln{\bigg|\dfrac{\sqrt{A} - x}{\sqrt{A} + x}}\bigg| + C\)

  4. \(\displaystyle\int \dfrac{Mx + N}{(x^{2} + px + q)^{\alpha}} dx \) Решается понижением порядка с помощью рекуррентной формулы.

    • \(I_{\alpha} = \displaystyle\int \dfrac{dt}{(t^{2} + A)^{\alpha}} = \displaystyle\int \dfrac{A - t^{2} + t^{2}}{(t^{2} + A)^{\alpha}} dt = \displaystyle\int \dfrac{dt}{(t^{2} + A)^{\alpha - 1}} - \displaystyle\int \dfrac{t^{2}dt}{(t^{2} + A)^{\alpha}} = \\ I_{\alpha - 1} - \displaystyle\int u dv \bigg|_{A = -C} = I_{\alpha - 1} - \dfrac{t}{2(C - \alpha)(t^{2} + C)^{\alpha - 1}} + \displaystyle\int \dfrac{dt}{2(C - \alpha)(t^{2} + C)^{\alpha - 1}} = \\ I_{\alpha - 1} - \dfrac{t}{2(C - \alpha)(t^{2} + C)^{\alpha - 1}} + \dfrac{I_{\alpha - 1}}{2(C - \alpha)} = - \dfrac{t}{2(\alpha - C)(t^{2} + C)^{\alpha - 1}} + I_{\alpha - 1} \left(\dfrac{2(C - \alpha) + 1}{2(C - \alpha)}\right)\)

Комплексные числа#

  • Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел \((a; b)\).

Обозначение

  • \(z = (a ; b)\)

  • \(a = \Re(z)\) - действительная часть

  • \(b = \Im(z)\) - мнимая часть

  • \(i = (0, 1)\)

Алгебраические свойства комплексных чисел#

  • \(a_{1} = a_{2} , b_{1} = b_{2} \implies z_{1} = z_{2}\)

  • \(z_{1} + z_{2} = \left(a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2}\right)\)

  • \(z_{1}z_{2} = \left(a_{1}a_{2} - b_{1}b_{2}, a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1}\right)\)

  • \(z_{1} = z_{2}z \implies \dfrac{z_{1}}{z_{2}} = z\)

  • \(z = (a, b) = (a, 0) + b(0 , 1) = a + ib\) - алгебраическая форма записи комплексного числа

Модуль комплексного числа#

  • \(|z| = |x + iy| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \rho\)

Аргумент комплексного числа#

Обозначение

  • \(0 \leq \phi \leq 2\pi \implies \phi = \arg{z} \implies \arg{Z} = \arg{z} + 2\pi k\)

Тригонометрическая форма записи комплексного числа#

  • \(z = x + iy = \rho\cos{\phi} + \rho i\sin{\phi} = \rho \left(\cos{\phi} + i\sin{\phi} \right)\)

  • \(e^{i\phi} = \cos{\phi} + i\sin{\phi} \implies z = \rho e^{i \phi}\)

  • \(z_{1}z_{2} = \rho_{1}\rho_{2}\left(\cos{\phi_{1}} + i \sin{\phi_{1}}\right)\left(\cos{\phi_{2}} + i \sin{\phi_{2}}\right) = \rho_{1}\rho_{2}\left(\cos{(\phi_{1} + \phi_{2}}) + i\sin{(\phi_{1} + \phi_{2})} \right)\)

Формула Муавра#

  • \(z^{n} = \rho^{n}\left(\cos{(n\phi)} + i\sin{(n\phi)}\right)\)

Извлечение корня из комплексного числа#

  • \(\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho}\left(\cos{\dfrac{\phi}{n}} + i\sin{\dfrac{\phi}{n}}\right)\)

  • Число корней: \(n\)

Лекция 08.02.2023#

Определенный интеграл#

  • На отрезке \(\left[a;b\right]\) задана \(f\), \(a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n-1} < x_{n} = b\)

  • \(\left[x_{i -1};x_{i}\right]\) - \(i\) - отрезок разбиения

  • Внутри каждого отрезка разбиения возьмем произвольную точку \(\xi_{i}\)

  • \(\sigma = f(\xi_{1})\Delta x_{1} + f(\xi_{2})\Delta x_{2} + \dots +f(\xi_{n})\Delta x_{n}= \sum\limits_{i = 1}^{n} f(\xi_{i})\Delta x_{i}\)

  • \(T\) - разбиение, \(t\) - выбранный отрезок и точка \(\xi\)

  • \(\Delta = \max{\left|\Delta x_{i}\right|}\) - характеристика \(T\)

  • Определенным интегралом называется \(\lim{\Delta}{0}\sigma = I = \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\)

  • \(f\) имеет интеграл на \(\left[a;b\right] \implies\) она интегрируема

Ограниченность интегрируемой функции на отрезке#

  • \(f\) интегрируема на \(\left[a;b\right] \implies\) она ограничена на нем

Доказательство

  • Предположим противное, т.е. \(f\) интегрируема, но не ограничена \(\implies\) в интегральной сумме \(f\) обращается в \(\inf\) на некотором \(\Delta x \implies \lim{\Delta}{0}\sigma = \inf\)

Верхняя и нижняя интегральная суммы#

  • \(S = M_{1}\Delta x_{1} + M_{2}\Delta x_{2} + \dots +M_{n}\Delta x_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{n} M_{i}\Delta x_{i} \ , M_{i} = \sup_{\left[x_{i - 1}, x_{i}\right]}{f(x)}\) - Верхняя интегральная сумма

  • \(s = m_{1}\Delta x_{1} + m_{2}\Delta x_{2} + \dots +m_{n}\Delta x_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{n} m_{i}\Delta x_{i} \ , m_{i} = inf_{\left[x_{i - 1}, x_{i}\right]}{f(x)}\) - Нижняя интегральная сумма

  • \(s \leq f(\xi_{i})\Delta x_{i} \leq S \implies s \leq \sigma \leq S\)

Свойства интегральных сумм#

  • Если к данному \(T\) добавить \(t\), то у получившегося разбиения \(T'\): \(S' \leq S\), \(s \leq s'\)

    • \(T: S = M_{i}\Delta x_{i}\)

    • \(T': S' = M'\Delta x' + M_{i}\Delta x_{i}\)

    • Отсюда следует, что это утверждение верно при добавлении \(p\) точек

  • Для двух произвольных разбиений \(T'\) и \(T''\) выполняется: \(s' \leq S''\), \(s'' \leq S'\)

    • Возьмем \(T\), состоящее из точек разбиения \(T'\) и \(T''\). Его можно рассматривать как разбиение, полученное из \(T'\) добавлением \(T''\), при этом \(s' \leq s\) и \(S \leq S'\). Аналогично, его можно рассматривать как получившееся из \(T''\) добавлением \(T'\), при этом \(s'' \leq s\) и \(S \leq S''\).

    • \(s' \leq s \leq S \leq S''\)

    • Это свойство показывает, что все нижние интегральные суммы \(s\) ограничены сверху множеством верхних интегральных сумм, значит имеет точную верхнюю грань \(\underline{I} = \sup{s}\) - нижний интеграл Дарбу, \(\upline{I} = inf{S}\)

  • \(\underline{I} \leq \upline{I}\)

    • Действительно, предположим противное \(\upline{I} \leq \underline{I} \implies \upline{I} - \underline{I} > 0\). Возьмем \(\eps = \upline{I} - \underline{I}\). По определению точных граней: \(\exists S: S < \upline{I} + \eps\) и \(\exists s: s > \underline{I} - \eps\). Положим \(\eps = \dfrac{\eps}{2}\)

    • \(S - s < \upline{I} - \underline{I} + \eps\)

    • \(S - s < -\eps + \eps = 0\)

    • \(S < s\) Получим противоречие.

  • Пусть разбиение \(T'\) получено из \(T\) добавлением некоторого произвольного \(p\) точек разбиения. Пусть далее \(M = \sup_{\left[a;b\right]}{f(x)}, \ m = inf_{\left[a;b\right]}{f(x)} \implies S - S' \leq \left(M - m \right) p \Delta\)

    • Докажем для \(p = 1\).

    • \(S - S'' \leq \left(M - m\right) \Delta\). Так как добавление одной точки произведено на некотором частичном отрезке \(\left[x_{i-1}, x_{i}\right]\), то рассмотрим изменение интегральных сумм на этом фрагменте.

    • \(\Delta x' + \Delta x'' = \Delta x\)

    • \(S - S' = M_{i}\Delta x_{i} - M'_{i}\Delta x' - M''_{i}\Delta x'' = \\ M_{i}\left(\Delta x' + \Delta x'' \right) - M'_{i}\Delta x' - M''_{i}\Delta x'' \leq M\left(\Delta x' + \Delta x''\right) - m\left(\Delta x' + \Delta x''\right) = \left(M - m\right)\Delta x' + \left(M - m \right)\Delta x'' = \\ \left(M - m\right)\Delta x\)

Лемма Дарбу#

  • \(\lim{\Delta}{0} S = \upline{I}\), \(\lim{\Delta}{0} s = \underline{I}\)

  • Докажем \(\lim{\Delta}{0} S = \upline{I}\)

    • \(\upline{I} = inf(S) \implies \forall \eps \ \exists T^{\star}: S^{\star} - \upline{I} < \dfrac{\eps}{2}\)

    • Рассмотрим все разбиение, \(\Delta < \delta: T, \ \delta = \dfrac{\eps}{2\left(M - m\right)p}\) ; \(M\) = \(\max_{\left[a; b\right]}{f}\); \(m\) = \(\min_{\left[a; b\right]}{f}\); \(p\) - число точек в \(T^{\star}\)

    • Добавим к \(T\) точки \(T^{\star}\), получим \(T', S' \implies S - S' \leq \left(M - m\right)p\Delta \leq \left(M - m\right)p\dfrac{\eps}{2(M - m)p} = \dfrac{\eps}{2}\)

    • Добавим к \(T^{\star}\) точки \(T\), получим \(T'\), \(S' \implies S - S^{\star} \leq \dfrac{\eps}{2}\)

    • \(\upline{I} \leq S' \leq S^{\star}\)

    • \( S' - \upline{I} \leq S^{\star} - \upline{I} < \dfrac{\eps}{2}\)

    • \(S - S' + S' - \upline{I} \leq \dfrac{\eps}{2} + \dfrac{\eps}{2}\)

    • \(S - \upline{I} < \eps \implies \lim{\Delta}{0} = \upline{I}\)

Лекция 15.02.2023#

Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке#

  • Необходимость

  • Дано : \(\exists I = \displaystyle\int_\limits{a}^{b} f(x)dx = \lim{\Delta}{0} \sigma\) \(, \forall \eps > 0 \ \exists \delta > 0 : \Delta < \delta \rightarrow \left|I - \sigma\right| < \eps\)

  • Доказать: \(\forall \eps > 0 \ \exists T: S - s < \eps\)

    • \(S - s = S - \sigma_{i} + \sigma_{i} - I + I - \sigma_{k} + \sigma_{k} - S \leq \left|S - \sigma_{i}\right| + \left|\sigma_{i} - I\right| + \left|I - \sigma_{k}\right| + \left|\sigma_{k} - S\right| \leq \dfrac{\eps}{4} + \dfrac{\eps}{4} + \dfrac{\eps}{4} + \dfrac{\eps}{4} = \eps\)

  • Достаточность

  • Дано: \(\forall \eps > 0 \ \exists T: S - s < \eps\)

  • Доказать: \(\exists I = \displaystyle\int_\limits{a}^{b} f(x)dx = \lim{\Delta}{0} \sigma\) \(, \forall \eps > 0 \ \exists \delta > 0 : \Delta < \delta \rightarrow \left|I - \sigma\right| < \eps\)

    • \(\upline{I} = \lim{\Delta}{0}S \implies S - \upline{I} < \dfrac{\eps}{2}\)

    • \(\underline{I} = \lim{\Delta}{0}s \implies S - \underline{I} < \dfrac{\eps}{2}\)

    • \(S - \upline{I} + \underline{I} - s < \eps \implies \upline{I} - \underline{I} < \eps\)

    • \(\lim{\Delta}{0} \upline{I} = \underline{I} = I\)

    • \(s < \sigma < S \implies \lim{\Delta}{0} \sigma = I\)

Некоторые классы интегрируемых функций#

  • Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем

    • Доказательство: \(f(x)\) непрерывна на \(\left[a; b\right] \implies\) она равномерно непрерывна на \(\left[a; b\right]\) по Теореме Кантора.

    • \(S - s = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(M_{i} - m_{i}\right)\Delta x_{i} \leq \dfrac{\eps}{b - a}\sum\limits_{i = 1}^{n}\Delta x_{i} = \eps\)

    • В силу равномерной непрерывности \(\forall \eps > 0 \ \exists \delta > 0: \Delta < \delta \implies \left|f(x_{i}) - f(x_{i}')\right| < \eps\), где \(x_{i} - x_{i}' < \delta\)

  • Монотонная и определенная на отрезке функция интегрируема на нем

    • Доказательство : Для монотонно возрастающей

    • \(\Delta < \delta = \dfrac{\eps}{f(b) - f(a)}\)

    • \(S - s = \displaystyle\sum\limits^{n}_{i = 1}\left(M_{i} - m_{i}\right)\Delta x_{i} \leq \Delta \sum\limits_{i = 1}^{n}\left(M_{i} - m_{i}\right) = \Delta \left(f(x_{1}) - f(a) + f(x_{2}) - f(x_{1}) + \dots + f(b)\right) = \Delta \left(f(b) - f(a)\right) < \eps\)

  • Пример : \(f(x) = \begin{equation*} \begin{cases} 0, x \in \RR \backslash \QQ \\ 1, x \in \QQ \end{cases} \end{equation*}\)

  • \(x \in \QQ : \sigma = 1 \cdot \Delta x_{1} + 1 \cdot \Delta x_{2} + \dots + 1 \cdot \Delta x_{n} = b - a, \ \lim{\Delta}{0} \sigma = b - a\)

  • \(x \in \RR \backslash \QQ : \sigma = 0 \cdot \Delta x_{1} + 0 \cdot \Delta x_{2} + \dots + 0 \cdot \Delta x_{n} = 0, \ \lim{\Delta}{0} \sigma = 0\)

Теорема о среднем#

  • Пусть \(f(x)\) интегрируема на \(\left[a;b\right]\). Тогда \(\exists \mu \ \left(m < \mu < M\right): \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = \mu\left(b - a\right)\)

    • Доказательство:

    • \(f(x)\) интегрируема \(\implies\) она ограничена: \(m \leq f(x) \leq M\)

    • \(m\left(b - a\right) \leq \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx \leq M\left(b - a\right)\)

    • \(m \leq \dfrac{\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx}{\left(b - a\right)} \leq M \implies \dfrac{\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx}{\left(b - a\right)} = \mu \implies \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = \mu\left(b - a\right)\)

Следствие из теоремы о среднем#

  • \(f(x)\) непрерывна на \(\left[a;b\right] \implies \xi \in \left[a;b\right] : f(\xi) = \mu \implies \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = f(\xi)(b - a)\)

Лекция 22.02.2023#

Интеграл с переменным верхним пределом#

  • Пусть \(f(x)\) непрерывна на \(\left[a; b\right]\) и существует интеграл \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx\), а также для любой точки \(C\) этого интервала существует интеграл \(\displaystyle\int\limits_{C}^{x} f(t) dt\)

  • Тогда функция верхнего предела \(F(x) = \displaystyle\int\limits_{C}^{x} f(t) dt\) является первообразной на \(\left[a;b\right]\) для \(f(x)\)

  • Доказательство

    • \(\Delta F = F(x + \Delta x) - F(x)\)

    • Надо доказать, что \(\lim{\Delta x}{0} \dfrac{\Delta F}{\Delta x} = f(x)\) то есть \(\forall \eps > 0 \ \exists \delta > 0: \forall \ |\Delta x| < \delta \ \implies \left|\dfrac{\Delta F}{\Delta x} - f(x)\right| < \eps\)

    • \(F(x) = \displaystyle\int\limits_{C}^{x} f(t) dt\)

    • \(F(x + \Delta x) = \displaystyle\int\limits_{C}^{x + \Delta x} f(t) dt\)

    • \(F(x + \Delta x) - F(x) = \displaystyle\int\limits_{C}^{x + \Delta x} f(t) dt - \displaystyle\int\limits_{C}^{x} f(t) dt = \displaystyle\int\limits_{C}^{x} f(t) dt + \displaystyle\int\limits_{x}^{x + \Delta x} f(t) dt - \displaystyle\int\limits_{C}^{x} f(t) dt = f(\xi) \Delta x\)

  • Если в предыдущей теореме \(f(x)\) как непрерывную функцию заменить на требование только лишь интегрируемости, то можно доказать, что \(F(x)\) будет непрерывной функцией на \(\left[a;b\right]\)

  • Действительно: \(F(x + \Delta x) - F(x) = \Delta F = \displaystyle\int\limits_{x}^{x + \Delta x} f(t) dt = \mu \Delta x\)

Формула Ньютона - Лейбница#

  • Возьмем в качестве \(C\) точку \(a\), тогда \(F(x) = \displaystyle\int\limits_{a}^{x} f(t) dt \implies F(a) = \displaystyle\int\limits_{a}^{a} f(t) dt = 0 \implies F(x) = \displaystyle\int\limits_{a}^{x} f(t) dt + F(a)\).

  • \(F(b) = \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(t) dt + F(a)\) \(\implies \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\)

Пример

  • \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi} \sin{x} dx = - \cos{\pi} + \cos{0} = 1 + 1 = 2\)

  • Обычно найдя первообразную пишут: \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = F(x)\bigg|^{b}_{a} = F(b) - F(a)\)

Теорема о замене переменной в определенном интеграле#

  • Пусть на \(\left[a;b\right]\) задана непрерывная \(f(x)\) имеющая на этом промежутке \(F(x)\), так что \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\). Пусть далее отрезок \(\left[\alpha; \beta\right]\) будет областью определения дифференцируемой на нем функции \(x = \phi(t). \ t \in \left[\alpha; \beta\right], \ \left[a ; b\right]\) - область значений этой функции, причем \(\phi(\alpha) = a, \ \phi(\beta) = b \implies F(x)\) - первообразная для \(f(\phi(t))\phi'(t), \ \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = F(\phi(\beta)) - F(\phi(\alpha))\)

  • Доказательство :

    • \(\dfrac{d}{dt} \left[F(\phi(t))\right] = F'(\phi(t))\phi'(t) = f(\phi(t))\phi'(t) \implies \displaystyle\int\limits_{\phi(\alpha)}^{\phi(\beta)} f(\phi(t))\phi'(t) dt =\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = F(\phi(t))\bigg|^{\phi(\beta)}_{\phi(\alpha)} = F(\phi(\beta)) - F(\phi(\alpha)) = F(b) - F(a)\)

Пример

  • \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \dfrac{\ln{x}}{x} dx\bigg|^{x = e^{t}}_{dx = e^{t} dt} = \displaystyle\int\limits_{0}^{\ln{2}} tdt = \dfrac{t^{2}}{2}\bigg|^{\ln{2}}_{0}\)

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле#

  • Теорема: Пусть на \(\left[a; b\right]\) заданы дифференцируемые функции \(u(x), \ v(x)\), причем существует интеграл \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} v(x) du(x).\) \(\exists \ \displaystyle\int\limits_{a}^{b} u(x) dv(x) = u(x)v(x)\bigg|^{b}_{a} - \displaystyle\int\limits_{a}^{b} v(x) du(x)\)

    • Доказательство: \(d\left[u(x) v(x)\right] = u(x)dv(x) + v(x)du(x)\)

    • \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} d\left[u(x) v(x)\right] = \displaystyle\int\limits_{a}^{b} u(x)dv(x) + \displaystyle\int\limits_{a}^{b} v(x)du(x)\)

    • \(u(x) v(x)\bigg|^{b}_{a} = \displaystyle\int\limits_{a}^{b} u(x)dv(x) + \displaystyle\int\limits_{a}^{b} v(x)du(x) \implies \displaystyle\int\limits_{a}^{b} u(x)dv(x) = u(x)v(x)\bigg|^{b}_{a} - \displaystyle\int\limits_{a}^{b} v(x)du(x)\). Эти интегралы существуют по условию теоремы.

Пример

  • \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \ln{x}dx\).

    • \(\ln{x} = u(x), \ du = \dfrac{dx}{x}\)

    • \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \ln{x}dx = x \ln{x}\bigg|^{2}_{1} - \displaystyle\int\limits_{1}^{2} x\dfrac{1}{x}dx = x\ln{x}\bigg|^{2}_{1} - \displaystyle\int\limits_{1}^{2} dx = x\ln{x}\bigg|^{2}_{1} - x\bigg|^{2}_{1}\)

  • \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1} x\arctan{x}dx\)

    • Положим \(\arctan{x} = u(x)\)

    • \(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \arctan{x}dx^{2} = \dfrac{1}{2}x^{2}\arctan{x}\bigg|^{1}_{0} - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \dfrac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx = \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{0}^{1} \dfrac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx = \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{2}\left(x - \arctan{x}\right)\bigg|^{1}_{0} = \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right)\)

Применения определенного интеграла#

  • Вычисление площади плоской фигуры

    • Геометрический смысл определенного интеграла : площадь криволинейной трапеции \(\left(f(x) \geq 0\right)\). \(\displaystyle\int\limits^{b}_{a} f(x) dx = S\). Найдем площадь плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией, такой что любая прямая, параллельная оси \(Oy\) и пересекающая эту фигуру пересекает ее только два раза: при входе через нижнюю границу \(y = \phi(x)\) и при выходе через внешнюю границу \(y = \psi(x)\). Крайняя левая точка имеет координату \(a\), а крайняя правая \(b\). Причем: \(\phi(x), \ \psi(x)\) интегрируемы на \(\left[a; b\right]\). Рассмотрим \(\displaystyle\int\limits^{b}_{a} \psi(x) dx = S_{1}\) (площадь криволинейной трапеции, расположенной под кривой \(y = \psi(x)\). Площадь под кривой \(\phi(x): S_{2} =\displaystyle\int\limits^{b}_{a} \phi(x) dx \implies S = S_{1} - S_{2}\). Если условие пересечения фигуры прямой, параллельной оси \(Oy\) не выполняется, то площадь бывает возможным вычислить разбив фигуру на части для которых это условие выполняется.

Пример

  • Найти площадь кольца:

    • В силу симметрии фигуры достаточно найти площадь ее четвертой части в первой четверти.

    • Уравнения внутренней окружности: \(x^{2} + y^{2} = r^{2}, \ x^{2} + y^{2} = R^{2}\). В первой четверти \(y > 0, \ x > 0 \implies y_{1} = \sqrt{R^{2} - x^{2}} \ y_{2} = \sqrt{r^{2} - x^{2}}\).

    • \(S = \left(\displaystyle\int\limits_{0}^{R} \left(\sqrt{R^{2} - x^{2}} \right)dx - \displaystyle\int\limits_{0}^{r} \left(\sqrt{r^{2} - x^{2}} \right)dx\right)\bigg|^{x = R\cos{\phi}}_{dx = - R\sin{\phi}d\phi} = \\ - \displaystyle\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \left(R^{2}\sin^{2}{\phi} \right)d\phi + \displaystyle\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \left(r^{2}\sin^{2}{\psi} \right)d\psi = R^{2} \displaystyle\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin^{2}{\phi}d\phi - r^{2}\displaystyle\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin^{2}{\psi} d\psi = \dfrac{\pi}{4}\left(R^{2} - r^{2}\right)\)

Лекция 01.03.2023#

Вычисление длины кривой#

  • Дана кривая на отрезке \(\left[a;b\right]\) . Разобъем кривую на отрезки, устремим число точек деления к бесконечности. \(\Delta = \max{(\Delta l_{i})}\) - характеристика разбиения. \(\Delta \rightarrow 0\). Если длина ломаной при стремлении \(n \rightarrow \inf\) имеет предел, то кривая называется спрямляемой, а этот предел называется длиной кривой. Рассмотрим длину ломаной

    • \(\Delta l_{1} + \Delta l_{2} + \dots + \Delta l_{n} = \sqrt{\Delta l_{1}^{2} + \Delta l_{2}^{2} + \dots + \Delta l_{n}^{2} }\).

  • Пусть кривая задана параметрически: \(x = \phi(t), \ y = \psi(t),\alpha \leq t \leq \beta \ \implies \Delta y = \phi'(t)\Delta t, \ \Delta x = \psi'(t)\Delta t\)

    • \(\Delta l_{1} + \Delta l_{2} + \dots + \Delta l_{n} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n} \sqrt{\Delta x_{i}^{2} + \Delta y_{i}^{2}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n} \sqrt{\left(\Delta \phi(t)_{i}\right)^{2} + \left(\Delta \psi(t)_{i}\right)^{2}} = \lim{n}{\inf} \sum\limits_{i = 1}^{n} \sqrt{\left(\phi_{i}'(t)\right)^{2} + \left(\psi_{i}'(t)\right)^{2}} = \displaystyle\int\limits_{a}^{b} \left[\sqrt{\left(\phi'(t)\right)^{2} + \left(\psi'(t)\right)^{2}}\right] dt\)

  • Если кривая задана в явном виде \(y = f(x)\), \( \implies \ell = \displaystyle\int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + y'(x)^{2}}dx\)

  • Если кривая задана в полярных координатах: \(\phi \in \left[\alpha; \beta\right]\) \(x =\rho(\phi)\cos{\phi}, \ y = \rho(\phi)\sin{\phi}\) \( \implies \Delta x^{2} + \Delta y^{2} = \Delta \ell^{2}\)

    • \(\dfrac{d x}{d \phi} = \dfrac{d \rho}{d \phi}\cos{\phi} - \rho(\phi)\sin{\phi}\)

    • \(\dfrac{d y}{d \phi} = \dfrac{d \rho}{d \phi}\sin{\phi} + \rho(\phi)\cos{\phi}\)

    • \(dx = \left(d\rho \cos{\phi} - \rho(\phi)\sin{\phi}\right)d\phi\)

    • \(dy = \left(d\rho \sin{\phi} + \rho(\phi)\cos{\phi}\right)d\phi\)

    • \(dx^{2} + dy^{2} = \left(\left(d\rho \cos{\phi} - \rho\sin{\phi}\right)d\phi\right)^{2} + \left(\left(d\rho \sin{\phi} + \cos{\phi}\right)d\phi\right)^{2} = \left(d\rho^{2} + \rho^{2}\right)d\phi^{2}\)

    • \(\ell = \displaystyle \int\limits_{\alpha}^{\beta} \sqrt{d\rho^{2} + \rho^{2}}d\phi\)

Вычисление объемов и поверхности тел#

  • Рассмотрим тела, ограниченные такой поверхностью, что любая прямая, параллельная оси \(Oz\), один раз входит и один раз выходит в поверхность. Пусть при любом \(z\) известна площадь сечения этого тела плоскостью, параллельной плоскости \(Oxy\) \(\Delta z_{i}\) - расстояние между этими сечениями. Тогда разбиваем тело сечениями и составляем интегральную сумму: \(\sigma = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} S(z_{i})\Delta z_{i} \implies \) \(\lim{n}{\inf} \sigma = V = \displaystyle\int S(z) dz\).

  • Вычисление объема тела вращения

    • Вращаем криволинейною трапецию вокруг оси \(X\), это и называется телом вращения. Делаем разбиение отрезка \([a;b]\) точками \(x_{1}, x_{2}. \dots, x_{n}\). Составляем интегральную сумму \(\sigma = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_{i})^{2} \pi\ \Delta x_{i} \implies \lim{n}{\inf} \sigma = V = \pi \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)^{2} dx \)

  • Вычисление поверхности тела вращения

    • \(2\pi r \ell \leq S \leq 2\pi R \ell \)

    • \(\Delta S_{i} = 2\pi \dfrac{f(x_{i + 1}) - f(x_{i})}{2} \Delta l_{i}\)

    • \(\lim{n}{\inf} \sigma = \lim{n}{\inf} \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n} \Delta S_{i} \implies 2 \pi \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + y'(x)^{2}}dx\)

Несобственные интегралы первого рода#

  • Пусть \(f(x)\) задана на бесконечном промежутке \(\left[a;+ \inf\right]\), где она ограничена и интегрируема на каждом конечном промежутке по Риману. Тогда \(\lim{A}{\inf} \displaystyle\int\limits_{a}^{A} f(x) dx\). Если предел существует, то существует \(\displaystyle\int\limits_{a}^{\inf} f(x) dx\) .

Несобственные интегралы второго рода#

  • Пусть \(f(x)\) задана на \((a;b), x \rightarrow b-0 \implies \ f(x) \rightarrow \pm \inf\)

    • \(\forall \eps > 0 \ \exists \delta > 0, \ \bigg|\displaystyle\int\limits_{a}^{b - \delta} f(x) dx\bigg| < \eps \implies \exists\lim{\delta}{0} \int\limits_{a}^{b - \delta} dx\). Аналогично определяется интеграл второго рода, если \(f(x)\) обращается в \(\inf\) вблизи правого конца или в какой - то внутренней точке. \(\implies \displaystyle\int\limits_{a}^{b} = \lim{\delta_{1}, \delta_{2}}{0}\left[\displaystyle\int\limits_{a}^{c - \delta_{1}} + \displaystyle\int\limits_{c + \delta_{2}}^{b}\right]\).

Пример

  • \(y = f(x) = e^{-x}\)

    • \(\lim{A}{+\inf} \int\limits_{0}^{A} = \lim{A}{+\inf}[-e^{x}]\bigg|^{A}_{0} = \lim{\Delta }{+\inf}[-e^{-A} + 1] = 1\)

  • Аналогично рассматриваются \(\displaystyle\int\limits_{-\inf}^{a} f(x) dx\), \(\displaystyle\int\limits_{-\inf}^{+\inf} f(x) dx = \lim{A, B}{\inf} \displaystyle\int\limits_{-A}^{B} f(x) dx\)

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла#

  • \(\displaystyle\int\limits_{a}^{+\inf} f(x) dx\) Сходится тогда и только тогда, когда \(\forall E > 0 \ \forall \eps > 0 \ \exists E_{1}, E_{2} > E: \displaystyle\int\limits_{E_{1}}^{E_{2}} f(x) dx < \eps \)

Признак сравнения несобственных интегралов#

  • Если \(f(x)\) на \([a;+\inf)\) удовлетворяет условию \(f(x) \leq g(x)\)

    • \(\displaystyle\int\limits_{a}^{+\inf} f(x) dx\) сходится \( \implies\) \(\displaystyle\int\limits_{a}^{+\inf} g(x) dx\) сходится

    • \(\displaystyle\int\limits_{a}^{+\inf} f(x) dx\) расходится\(\implies \displaystyle\int\limits_{a}^{+\inf} g(x) dx\) расходится

Пример

  • \(f(x) = \dfrac{1}{x^{n}}, \ \displaystyle\int\limits_{a}^{+\inf} \dfrac{dx}{x^{n}} = \lim{A}{+\inf} \displaystyle\int\limits_{a}^{A} \dfrac{dx}{x^{n}} = \lim{A}{+\inf} \dfrac{x^{-n + 1}}{-n + 1}\bigg|^{A}_{a} \). Сходится при \(n > 1\). При \(n=1 \implies \displaystyle\int\limits_{a}^{+\inf} \dfrac{dx}{x} = \ln{x}\bigg|^{+\inf}_{a}\). При \(n < 1\) расходится.

    • Для несобственного интеграла второго рода ситуация обратная \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = \int\limits_{a}^{0} + \int\limits_{0}^{b}\)

    • \(\displaystyle\int\limits_{a}^{0} \dfrac{dx}{x^{n}} \). При \(n \geq 1\) расходится, при \(n < 1\) сходится.

Признак Дирихле#

  • \(\displaystyle\int\limits_{a}^{+\inf} g(x)f(x)dx \) Сходится, если \(g(x)\) монотонно убывает, а \(f(x)\) имеет ограниченную первообразную.

Лекция 15.03.2023#

Числовые ряды#

  • Составим бесконечную сумму чисел \(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}\). На основе элементов этой суммы составим частичные суммы: \(S_{1} = a_{1}, \ S_{2} = a_{1} + a_{2}, \ S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}, \dots , S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}. \ S = \lim{n}{\inf} S_{n}\). Если этот предел существует, он называется суммой бесконечного ряда.

Обозначение

  • \(\displaystyle\sum_\limits{n=1}^{\inf} a_{n} = S\). Если этот предел существует, то ряд называется сходящимся, иначе расходящимся.

Критерий Коши сходимости числового ряда#

  • \(\{S_{n}\}\) сходится тогда и только тогда, когда \(\forall \eps > 0 \ \exists N_{\eps} \ : \forall n > N_{\eps} \ \forall p \in \NN \implies \left|S_{n + p} - S_{n}\right| < \eps\)

Пример

  • Гармонический ряд: \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf}\dfrac{1}{n}\) (Расходится)

Признаки сходимости рядов с положительными членами#

  • Если имеются два ряда с положительными членами \(\rho_{k}, \rho_{k}'\). \(\lim{k}{\inf}\dfrac{\rho_{k}}{\rho_{k}'} = C \neq 0 \implies\) оба ряда сходятся и расходятся одновременно.

  • \(\forall k:\) \(\rho_{k} \leq \rho_{k}':\) \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\inf} \rho_{k}'\) сходится \(\implies\) \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\inf} \rho_{k}\) сходится . \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\inf} \rho_{k}\) расходится \(\implies\) \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\inf} \rho_{k}'\) расходится.

Признак Даламбера#

  • \(\exists N \in \NN : \forall n > N:\) \(\dfrac{p_{n+1}}{p_{n}} = |q| < 1 \implies \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf} p_{n}\) сходится. \(\dfrac{p_{n+1}}{p_{n}} = |q| > 1 \implies \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf} p_{n}\) расходится

  • Доказательство (на основе геометрической прогрессии):

    • \(\dfrac{p_{k + 1}}{p_{k}} = |q| < 1\)

    • \(p_{k + n} = q^{n} p_{k}\)

    • Получим последовательность, зависящую от номера \(n\) и имеет вид геометрической прогрессии со знаменателем \(|q| < 1\). Это сходящаяся последовательность.

  • Доказательство (на основе предельной формы):

    • \(\lim{n}{\inf} \dfrac{p_{n + 1}}{p_{n}} = q \implies \)\(\forall \eps > 0 \ \exists N_{\eps} : \forall n > N_{\eps} \implies \bigg|\dfrac{p_{n+ 1}}{p_{n}} - q\bigg| < \eps\).

    • \(\lim{n}{\inf}\dfrac{p_{n + 1}}{p_{n}} = q > 1 \implies \) ряд расходится

    • \(\bigg|\dfrac{p_{n + 1}}{p_{n}} - q\bigg| < \eps\)

    • \(q - \eps < \dfrac{p_{n + 1}}{p_{n}} < q + \eps\)

    • \(q = 1 + \alpha \implies q = 1 + \alpha > q - \eps \implies \) Ряд расходится.

Пример

  • Рассмотрим ряд \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf} \dfrac{1}{n^{\alpha}}\). Доказана расходимость гармонического ряда, \(\sum\limits_{n=1}^{\inf} \dfrac{1}{n^{\alpha}} \left(\alpha = 1\right)\)

    • \(\alpha < 1: \dfrac{1}{n^{\alpha}} > \dfrac{1}{n}\) (Ряд расходится)

Радикальный признак Коши сходимости положительных рядов#

  • Ряд с положительными членами \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf} p_{n}\) сходится \(\implies \forall N \in \NN \ \exists n > N:\) \(\sqrt[n]{p_{n}} < 1\). Если \(\sqrt[n]{p_{n}} > 1\) ряд расходится.

  • Доказательство:

    • \( \sqrt[n]{p_{n}} \leq q\)

    • \(p_{n} \leq q^{n}, \ p_{n + 1} \leq q^{n + 1}p_{n}\)

  • Верна и предельная форма: \(\lim{n}{\inf}\sqrt[n]{p_{n}} = q < 1 \implies \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf} p_{n}\) Сходится.

Знакопеременные ряды#

  • \(\forall n\) встречаются как положительные, так и отрицательные члены.

Знакочередующиеся ряды#

  • \(p_{1} - p_{2} + p_{3} - p_{4} + \dots + \left(-1\right)^{n + 1}p_{n} + \dots = \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf}(-1)^{n + 1}p_{n}\), \(p_{i} > 0\)

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда#

  • Знакочередующийся ряд, в котором \(|p_{n}|\) \(\rightarrow 0\).

  • Доказательство:

    • \(S_{2n + 1} = S_{2n - 1} - (a_{2n} - a_{2n + 1}) \implies\) Убывает

    • \(S_{2n} + (a_{2n - 1} - a_{2n}) = S_{2n + 2} \implies\) Возрастает.

    • \(S_{2n} = p_{1} - \left(p_{2} - p_{3}\right) - \left(p_{4} - p_{5}\right) - \dots - \left(p_{2n - 1} - p_{2n}\right) \implies\) \(S_{2n} < p_{1}\)

    • \(S_{2n + 1} = \left(p_{1} - p_{2}\right) + \left(p_{3} - p_{4}\right) + \dots + \left(p_{2n} - p_{2n + 1}\right) \implies S_{2n + 1} > 0\)

    • \(S_{2n + 1} - S_{2n} = a_{2n + 1} \rightarrow 0 \implies \lim{n}{\inf} S_{2n} = \lim{n}{\inf}S_{2n + 1} = 0 \implies\) \(S\) сходится.

Пример

  • \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf} \dfrac{(-1)^{n - 1}}{n}\) ряд Лейбница.

Интегральный признак сходимости рядов с положительными членами#

  • Рассмотрим \(f(x)\),\( \ x \in \left[1; +\inf\right)\), \(f(x)\) \(\downarrow\)

  • \(\displaystyle\sum\limits_{x=1}^{\inf}f(x)\), \(\displaystyle\int\limits_{1}^{\inf} f(x) dx\) сходятся и расходятся одновременно.

  • Доказательство:

    • \(k \leq x \leq k + 1\)

    • \(f(k) \geq f(x) \geq f(k + 1)\)

    • \(\displaystyle\int\limits_{k}^{k + 1} f(k) dx \geq \displaystyle\int\limits_{k}^{k + 1} f(x) dx \geq \displaystyle\int\limits_{k}^{k + 1}f(k + 1) dx\)

    • \(\displaystyle\sum\limits_{x=1}^{k} f(x) \leq \displaystyle\int\limits_{1}^{k + 1}f(x) dx \leq \displaystyle\sum\limits_{x =1}^{k + 1} f(x) \)

    • \(k \rightarrow +\inf \implies\) из сходимости и расходимости \(\displaystyle\int\limits_{1}^{\inf} f(x) dx\) следует сходимость и расходимость \(\displaystyle\sum\limits_{x=1}^{\inf}f(x)\)

Лекция 22.03.2023#

Определение функционального ряда#

  • Пусть имеется бесконечный набор функций \(\{u_{1}(x), u_{2}(x), \dots, u_{n}(x), \dots\}\) заданных на некотором промежутке. Составим формальную сумму бесконечного количества слагаемых: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\inf} u_{n}(x)\)

  • Частичная сумма ряда \(S_{n}(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_{k}(x)\)

  • Суммой ряда в конкретной точке \(x_{0}\) называется \(\lim{x}{x_{0}} S_{n}(x)\)

  • Сходимость для каждой точки \(x \in X\) называется поточечной сходимостью

Равномерная сходимость ряда#

  • Функциональный ряд сходится равномерно, если: \(\forall \eps > 0 \ \exists N(\eps) \in \NN \ \forall n > N(\eps) \ \forall x \in X:|S_{n}(x) - S(x)| < \eps\).

Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда#

  • Функциональный ряд сходится равномерно тогда и только тогда, когда: \(\forall \eps > 0 \ \exists N(\eps) \in \NN \ \forall n > N(\eps) \ \forall x \in X: \bigg|S_{n + p}(x) - S_{n}(x)\bigg| < \eps\)

Первая Теорема Вейерштрасса о свойствах сумм равномерно сходящихся рядов#

  • Если ряд из непрерывных на некотором отрезке функций \(u_{n}(x)\) сходится на этом отрезке равномерно, то он сходится непрерывно на этом отрезке.

    • \(\eps' = \dfrac{\eps}{3} \implies \forall \eps' > 0 \ \exists \delta(\eps) > 0 \ \forall x \in X: \bigg|x - x_{0}\bigg| < \delta \implies \ \bigg|S_{n}(x) - S_{n}(x_{0})\bigg| < \eps' \)

    • \(\bigg|S_{n}(x) - S_{n}(x_{0})\bigg| = \bigg|S_{n}(x) - S_{n + p}(x) + S_{n + p}(x) - S_{n + p}(x_{0}) + S_{n + p}(x_{0}) - S_{n}(x_{0})\bigg| \leq \\ \leq \bigg|S_{n}(x) - S_{n + p}(x)\bigg| + \bigg|S_{n+p}(x) - S_{n+p}(x_{0})\bigg| + \bigg|S_{n + p}(x_{0}) - S_{n}(x_{0})\bigg| < \eps\)

Вторая Теорема Вейерштрасса о свойствах сумм равномерно сходящихся рядов#

  • Ряд из непрерывных функций, сходящийся равномерно можно интегрировать почленно:

    • \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n=1}^{n} u_{n}(x)dx = \sum\limits_{n=1}^{n} \displaystyle\int_{a}^{b} u_{n}(x)dx\)

Третья Теорема Вейерштрасса о свойствах сумм равномерно сходящихся рядов#

  • Если ряд из дифференцируемых функций сходится на некотором промежутке, а ряд из производных этих функций сходится на этом промежутке равномерно, то исходный ряд можно дифференцировать почленно:

  • \(\left(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{n}u_{n}(x)\right)' = \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{n}u_{n}'(x)\)

Определение степенного ряда#

  • Степенным рядом называется функциональный ряд \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf} C_{n}(x - x_{0})^{n}\)

Теорема Абеля#

  • Если \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf} C_{n} (x - x_{0})^{n}\) сходится в некоторой точке \(x'\), то он сходится абсолютно \(\forall x: |x| < |x'|\)

    • Пусть ряд сходится при \(x = x'\). Тогда это числовой ряд, а его частичными суммами являются числовые последовательности \(\implies \exists M: |S_{n}| \leq M\)

    • Перейдем к ряду с переменными \(|x| < |x'|: \bigg|\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\inf} C_{n}(x - x_{0})^{n}\bigg| \leq M\)

Абсолютная сходимость ряда#

  • Ряд сходится абсолютно, если сходится ряд \(\displaystyle\sum\limits^{\inf}_{n=1} \big|u_{k}\big|\)

Степенной ряд Тейлора#

  • Из Теорем Вейерштрасса следует, что степенной ряд можно дифференцировать почленно и притом неограниченное число раз. Значит, он сходится к некоторой дифференцируемой \(n\) раз функции. А значит справедлива формула Тейлора: \(f(x) = f(x_{0}) + \dfrac{f'(x_{0})}{1!}(x - x_{0}) + \dots + R_{n + 1}; \ R_{n + 1} \rightarrow 0 \implies f(x) = \displaystyle\sum\limits^{\inf}_{n=1} \dfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x - x_{0})^{n}\)

Нахождение радиуса сходимости степенного ряда по формуле Даламбера#

  • \(R \ = \ \lim{n}{\inf}\bigg|\dfrac{C_{n}}{C_{n + 1}}\bigg|\)

Нахождение радиуса сходимости степенного ряда по формуле Коши - Адамара#

  • \(R \ = \ \lim{n}{\inf} \dfrac{1}{\sqrt[n]{\big|C_{n}\big|}}\)