Линейная алгебра
Contents
\(\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}\) \(\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}\) \(\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}\) \(\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}\) \(\def\ident{\Longleftrightarrow}\) \(\def\thus{\Rightarrow}\) \(\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }\) \(\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }\) \(\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }\) \(\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }\) \(\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}\) \(\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}\) \(\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}\) \(\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}\) \(\renewcommand{\geq}{\geqslant}\) \(\renewcommand{\leq}{\leqslant}\) \(\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}\) \(\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}\) \(\def\ex{\exists}\) \(\def\exo{\ex!}\) \(\renewcommand{\fal}{\forall}\) \(\renewcommand{\int}{\intop}\) \(\def\inf{\infty}\) \(\renewcommand{\tg}{\tan}\) \(\renewcommand{\phi}{\varphi}\) \(\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}\) \(\def\alp{\alpha}\) \(\def\lam{\lambda}\) \(\def\gam{\gamma}\) \(\def\eps{\epsilon}\) \(\def\sig{\sigma}\) \(\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}\) \(\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}\) \(\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}\) \(\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}\) \(\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}\) \(\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}\) \(\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}\) \(\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}\) \(\newcommand\E{\mathbbold{e}}\) \(\newcommand\F{\mathbbold{f}}\) \(\newcommand\G{\mathbbold{g}}\) \(\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}\) \(\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}\) \(\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}\) \(\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}\) \(\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}\) \(\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}\) \(\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}\) \(\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}\) \(\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}\) \(\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}\) \(\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}\)
Линейная алгебра#
Лек 07.02.23
Системы линейных алгебраических уравнений#
СЛАУ
Задачник - Проскуряков
Учебник - Ильин поздняк. линейная алгебра
Изучаются системы вида:
\(a_{11} x_1 + a_{12} x_2 ... = b_1\)
\(a_{21} x_1 + a_{22} x_2 ... = b_2\)
Решение - система чисел \(x_1 x_2 ... x_n\)
Удволетворающая системе уравнений (для каждого уравнения)
Если все свободные члены равны нулю, то система является однородной
Матрица системы (основная) - Матрица из свободных членов
\(A = \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}\)
Столбец неизвестных - Матрица столбец составленная их неизвестных
\(X = \pmat{x_1 \\ x_2}\)
B - столбец свободных членов
Тогда можно записать
\(A X = B\)
Если решения, то система называется совместной
Иначе несовместной
Совместные системы:
Определённые (решение существует)
Неопределенные (больше одного решения)
Решения системы эквивалентны, если множества их решений совпадают
Несовместные системы эквивалентны
Основной вопрос:
совместная ли система
если совместна, определенна она или нет
найти решение
Совместность однородной системы
Неизвестные равны нулю
Им удволетворчет система **
Оно называется тривиальным решением
Сем 11.02.23
Лек 14.02.23
Уравнения крамера
Системы общего вида (неквадратные)
Системы общего вида (неквадратные однородные)
Сем 18.02.23
\(A_{m\times n} \times B_{n\times p} = C_{m\times p}\)
\(\vec{c_{i}} = \sum^n_{k=1} a_{ik}\vec{b_{k}}\)
\(E = \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}\)
При матричном умножении матрица остаётся такой же
Если изменить одну еденицу на \(\lambda \neq 0\)
\(E = \pmat{1&0&0\\0&\lambda_{ij}&0\\0&0&1}\)
то результирующая матрица будет иметь другие числа в 4 местах
Любую матрицу можно привести к виду, когда все числа под главной диагональю равны нулю, тогда определитель такой матрицы равен произведению чисел на главной диагонали
Также элементарными преобразованиями строк можно привести матрицу к виду, когда везде кроме первого числа единицы
\((A | E)\)
\(det A \neq 0\)
\((T_N\dots(T_2(T_1 A))) = E\)
\((T_N\dots(T_2(T_1 E))) = TE = A^{-1}\)
\((T_N\dots(T_2(T_1 B))) = TB = A^{-1}B\)
№ 843
\(A = \pmat{1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1}\)
\(\left ( \emat{1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1} \middle | \emat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1} \right )\)
\(\left ( \emat{9&0&0\\0&9&0\\0&0&9} \middle | \emat{1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1} \right ) \thus A^{-1} = \frac 1 9 \pmat{1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1}\)
№ 864
\(\pmat{1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0}X = \pmat{1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8}\)
\(AX=B\)
\(X=A^{-1}B\)
\(\left ( \emat{1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0} \middle | \emat{1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8} \right )\)
\(\left ( \emat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1} \middle | \emat{6&4&5\\2&1&2\\3&3&3} \right )\)
\(A^{-1}B=X\)
Ранг матрицы
\(A\in R^{m\times n}\)
\(A=\pmat{}\)
Минор к-того порядка - выбераем к любых строк и стоблцов
\(1\leq i_1 < i_2 < \dots < i_n \leq m\)
\(1\leq j_1 < j_2 < \dots < j_n \leq n\)
\(M^{i_1,i_2\dots}_{j_1,j_2,\dots}\)
\(C_m^k C_n^k\) - количество миноров к-того порядка данной матрицы
\(A = \pmat{1&2&3\\4&8&0}\)
\(k\leq m, k \leq n\)
\(M_{12}^{12} = 0\)
\(M_{12}^{13} = -12\)
\(M_{12}^{23} = -24\)
\(r = Rang A\), если
\(\ex M_r \neq 0\)
\(\fal M_{r+1} = 0\) или их \(\not\ex\)
\(\pmat{1&2&3\\4&5&6\\0&0&0}\) - ранг 2, т.к. все миноры 3 порядка = 0
\(det T \neq 0, T \in R^{n\times n}\)
ранг, при умножении на невырожденную матрицу
\(rg(A T) = rg A\)
\(rg(TB) = rgB\)