<!-- Macros: start -->
$\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}$
$\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}$
$\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}$
$\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}$
$\def\ident{\Longleftrightarrow}$
$\def\thus{\Rightarrow}$
$\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }$
$\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }$
$\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }$
$\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }$
$\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}$
$\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}$
$\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}$
$\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}$
$\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}$
$\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}$
$\renewcommand{\geq}{\geqslant}$
$\renewcommand{\leq}{\leqslant}$
$\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}$
$\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}$
$\def\ex{\exists}$
$\def\exo{\ex!}$
$\renewcommand{\fal}{\forall}$
$\renewcommand{\int}{\intop}$
$\def\inf{\infty}$
$\renewcommand{\tg}{\tan}$
$\renewcommand{\phi}{\varphi}$
$\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}$
$\def\alp{\alpha}$
$\def\lam{\lambda}$
$\def\gam{\gamma}$
$\def\eps{\epsilon}$
$\def\sig{\sigma}$
$\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}$
$\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$
$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$
$\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}$
$\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}$
$\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$
$\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}$
$\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}$
$\newcommand\E{\mathbbold{e}}$
$\newcommand\F{\mathbbold{f}}$
$\newcommand\G{\mathbbold{g}}$
$\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}$
$\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}$
$\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}$
$\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}$
$\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}$
$\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}$
$\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}$
$\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}$
$\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}$
$\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}$
$\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}$
<!-- Macros: end -->
# Линейная алгебра  

**Лек 07.02.23**  

## Системы линейных алгебраических уравнений   
СЛАУ  

Задачник - Проскуряков  
Учебник - Ильин поздняк. линейная алгебра  

Изучаются системы вида:  
$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 ... = b_1$  
$a_{21} x_1 + a_{22} x_2 ... = b_2$  

Решение - система чисел $x_1 x_2 ... x_n$  
Удволетворающая системе уравнений (для каждого уравнения)  

Если все свободные члены равны нулю, то система является однородной  

Матрица системы (основная) - Матрица из свободных членов  
$A = \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}$  

Столбец неизвестных - Матрица столбец составленная их неизвестных  
$X = \pmat{x_1 \\ x_2}$  

B - столбец свободных членов  

Тогда можно записать  
$A X = B$  
Если решения, то система называется совместной   
Иначе несовместной   

Совместные системы:  
- Определённые (решение существует)  
- Неопределенные (больше одного решения)  

Решения системы эквивалентны, если множества их решений совпадают  
Несовместные системы эквивалентны  

Основной вопрос:  
1) совместная ли система  
2) если совместна, определенна она или нет  
3) найти решение   

Совместность однородной системы  
Неизвестные равны нулю  
Им удволетворчет система **  
Оно называется тривиальным решением  

**Сем 11.02.23**  

**Лек 14.02.23**  

Уравнения крамера  
Системы общего вида (неквадратные)  
Системы общего вида (неквадратные однородные)  

**Сем 18.02.23**  

$A_{m\times n} \times B_{n\times p} = C_{m\times p}$  
$\vec{c_{i}} = \sum^n_{k=1} a_{ik}\vec{b_{k}}$  

$E = \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}$  

При матричном умножении матрица остаётся такой же  

Если изменить одну еденицу на $\lambda \neq 0$  

$E = \pmat{1&0&0\\0&\lambda_{ij}&0\\0&0&1}$  

то результирующая матрица будет иметь другие числа в 4 местах  

Любую матрицу можно привести к виду, когда все числа под главной диагональю равны нулю, тогда определитель такой матрицы равен произведению чисел на главной диагонали  

Также элементарными преобразованиями строк можно привести матрицу к виду, когда везде кроме первого числа единицы  

$(A | E)$  
$det A \neq 0$  

$(T_N\dots(T_2(T_1 A))) = E$  
$(T_N\dots(T_2(T_1 E))) = TE = A^{-1}$  
$(T_N\dots(T_2(T_1 B))) = TB = A^{-1}B$  

№ 843  

$A = \pmat{1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1}$  

$\left ( \emat{1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1} \middle | \emat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1} \right )$  

$\left ( \emat{9&0&0\\0&9&0\\0&0&9} \middle | \emat{1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1} \right ) \thus A^{-1} = \frac 1 9 \pmat{1&2&2\\2&1&-2\\2&-2&1}$  

№ 864  

$\pmat{1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0}X = \pmat{1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8}$  

$AX=B$  
$X=A^{-1}B$  

$\left ( \emat{1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0} \middle | \emat{1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8} \right )$  

$\left ( \emat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1} \middle | \emat{6&4&5\\2&1&2\\3&3&3} \right )$  

$A^{-1}B=X$  

Ранг матрицы  
$A\in R^{m\times n}$  

$A=\pmat{}$  

Минор к-того порядка - выбераем к любых строк и стоблцов  
$1\leq i_1 < i_2 < \dots < i_n \leq m$  
$1\leq j_1 < j_2 < \dots < j_n \leq n$  

$M^{i_1,i_2\dots}_{j_1,j_2,\dots}$  

$C_m^k C_n^k$ - количество миноров к-того порядка данной матрицы  

$A = \pmat{1&2&3\\4&8&0}$  
$k\leq m, k \leq n$  

$M_{12}^{12} = 0$  
$M_{12}^{13} = -12$  
$M_{12}^{23} = -24$  

$r = Rang A$, если   
1) $\ex M_r \neq 0$  
2) $\fal M_{r+1} = 0$ или их $\not\ex$  

$\pmat{1&2&3\\4&5&6\\0&0&0}$ - ранг 2, т.к. все миноры 3 порядка = 0  


$det T \neq 0, T \in R^{n\times n}$  
ранг, при умножении на невырожденную матрицу  
$rg(A T) = rg A$  
$rg(TB) = rgB$