$\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}$ $\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}$ $\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}$ $\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}$ $\def\ident{\Longleftrightarrow}$ $\def\thus{\Rightarrow}$ $\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }$ $\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }$ $\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }$ $\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }$ $\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}$ $\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}$ $\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}$ $\renewcommand{\geq}{\geqslant}$ $\renewcommand{\leq}{\leqslant}$ $\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}$ $\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}$ $\def\ex{\exists}$ $\def\exo{\ex!}$ $\renewcommand{\fal}{\forall}$ $\renewcommand{\int}{\intop}$ $\def\inf{\infty}$ $\renewcommand{\tg}{\tan}$ $\renewcommand{\phi}{\varphi}$ $\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}$ $\def\alp{\alpha}$ $\def\lam{\lambda}$ $\def\gam{\gamma}$ $\def\eps{\epsilon}$ $\def\sig{\sigma}$ $\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}$ $\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}$ $\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}$ $\newcommand\E{\mathbbold{e}}$ $\newcommand\F{\mathbbold{f}}$ $\newcommand\G{\mathbbold{g}}$ $\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}$ $\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}$ $\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}$ $\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}$ $\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}$ $\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}$ $\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}$ $\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}$ $\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}$ $\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}$ # Аналитическая геометрия ```{contents} Содержание --- depth: 2 ``` ## Литература - [Клетник Д. В. - "Сборник задач по Аналитической Геометрии"](https://docs.google.com/gview?url=https://mephi-tex.rtfd.io/ru/latest/_static/literature/Сборник_задач_по_аналитической_геометрии_КлетеникДВ.pdf) - [Проскуряков И. В. - "Сборник задач по Линейной алгебре"](https://docs.google.com/gview?url=https://mephi-tex.rtfd.io/ru/latest/_static/literature/Проскуряков_сборник_задач_по_линейной_алгебре.pdf) - [Ильин, Позняк - Аналитическая геометрия](https://docs.google.com/gview?url=https://mephi-tex.rtfd.io/ru/latest/_static/literature/Ильин_Позняк_Аналитическая_геометрия.pdf) ## СЕМ 1 Числовая матрица $m \times n$ - совокупность $m \times n$ чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из $m$ строк и $n$ столбцов $$A = \block{Vmatrix}{a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{m1} & a_{m2} & & a_{mn}} = \block{pmatrix}{a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{m1} & a_{m2} & & a_{mn}}$$ $$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$$ $$A = \mat{a_{ij}}_{m \times n}$$ $$\forall x \in A \xrightarrow{\;f\;} y \in B$$ $$y = f(x)$$ $$det(A), A \in R^{n \times n}$$ 1) $n = 1:\ A = \mat{a_{11}}\; det A = a_{11}$ 2) $n > 1:\ det A = \sum^n_{i=1}(-1)^{1+i} a_{1j}M_{1i} = (-1)^{1+1}a_{11}M_{11} + (-1)^{1+2}a_{12}M_{12} + \dots + (-1)^{1+n}a_{1n}M_{1n}$ где $M$ - минор элемента $a_{ij}$ определителя матрицы $A$, т.к. определитель матрицы $(m-1)\times(n-1)$ полученной из матрицы $A$, вычеркиванием i-строки и j-го столбца $n=2$ $$A = \mat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}$$ $det A = (-1)^{1+1}a_{11}M_{11} + (-1)^{1+2}a_{12}M_{12} = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ $\det{\dots} = det A = det \mat{\dots}$ $A = \mat{1&2\\3&4} = -2$ $\det{1&2\\3&4} = -2$ $n=3$ $\det{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}} = (-1)^{1+1}a_{11}M_{11} + (-1)^{1+2}a_{12}M_{12} + (-1)^{1+3}a_{13}M_{13} =$ $= a_{11} \det{a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}} - a_{12} \det{a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}} + a_{13} \det{a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}} =$ $= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{31}a_{23}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22})$ $$\begin{cases} a_{11}X_1 + a_{12}X_2 + \dots + a_{1n}X_n = \beta_1\\ a_{21}X_1 + a_{12}X_2 + \dots + a_{2n}X_n \\ \vdots \\ a_{n1}X_1 + a_{n2}X_2 + \dots + a_{nn}X_n = \beta_n \end{cases}$$ $A = \mat{a_{ij}}_{n\times{n}}$ Если $det A \neq 0$ $X_1 = \frac{\Delta i}{\Delta} i = \overline{1,n}$ $\Delta = det A,\ \Delta_i = det (a_1, \dots a_{i-1}, b (not\ a_i), a_{i+1}, \dots a_n)$ $A = \mat{a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots \\ a_{m1} & & a_{mn}}$ $\block{pmatrix}{a_{11} & \dots & a_{1n}} = \overrightarrow{a_1}$ $\block{pmatrix}{a_{m1} & \dots & a_{mn}} = \overrightarrow{a_m}$ $\block{pmatrix}{a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1}} = \downarrow{a_1}$ $\block{pmatrix}{a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn}} = \downarrow{a_n}$ $A = \block{pmatrix}{\downarrow{a_1} & \downarrow{a_2} & \dots & \downarrow{a_n}} = \block{pmatrix}{\overrightarrow{a_1} \\ \overrightarrow{a_2} \\ \dots \\ \overrightarrow{a_m}}$ № 1204 1) $\det{-1 & 4 \\ -5 & 2} = -2 + 20 = 18$ 2) $\det{3 & 6 \\ 5 & 10} = 30 - 30 = 0$ 5) $\det{a & 1 \\ a^2 & a} = a^2 - a^2 = 0$ 7) $\det{a+1 & b - c \\ a^2 + a & ab - ac} = (a+1)(ab - ac) - (b-c)(a^2 + a) =$ $= a(a+1)(b-c) - (b-c)a(a+1) = 0$ $\block{cases}{ det\block{pmatrix}{\downarrow a_1 & \downarrow a_2 & \dots & \downarrow a_i & \dots & \downarrow a_n} \\ a_i = \alpha \downarrow b + \beta \downarrow c }$ $\Longleftrightarrow \alpha\ det\block{pmatrix}{\downarrow a_1 & \downarrow a_2 & \dots & \downarrow b & \dots & \downarrow a_n} + \beta\ det\block{pmatrix}{\downarrow a_1 & \downarrow a_2 & \dots & \downarrow c & \dots & \downarrow a_n}$ 1) $\det{2 & x-4 \\ 1 & 4} = 0 \ident 2\times4 - 1(x-4) = 0 \ident x=12$ 2) $\det{x & x+1 \\ -4 & x+1} = 0 \ident (x+1)\det{x & 1 \\ -4 & 1} = 0 \ident x(x+1) - (-4)(x+1) = 0 \ident (x+4)(x+1) = 0 \ident \block{cases}{x=-4 \\ x=-1}$ 1211) $\det{3 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -2} = 3(-2 + 0) + 2(4 - 6) + (0-2) = -6 -4 -2 = -12$ ## ЛЕК 1 Вектор - направленный отрезок <картинка> Модуль вектора - его длина $|\vec{AB}|$ $|\vec a|$ Нулевой вектор - вектор, у которого начало совпадает с концом $\dot{a}$ $|\vec a| = \vec 0$ Коллинеарный вектора - вектора, лежаще на одной прямой, либо на параллельных прямых Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину, коллинеарный и однонаправлены ### Линейные операции над векторами #### Сложение $\vec a = \vec b$ Свойства сложения: 1) переместительность закон $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$ 2) сочетательный закон $\vec a + (\vec b + \vec c) = (\vec a + \vec b) + \vec c$ 3) $\exists!$ нулевой вектор $\vec 0$, только что $\vec a + \vec 0 = \vec a$ 4) $\exists!$ для $\forall \vec a$ противоположенный вектор $\vec d$, такой что $\vec a + \vec d = \vec 0$ Сложение любого конечного числа векторов - нарисовать каждый вектор "начало к концу" ### Разность векоров $\vec a - \vec b$ $\vec a - \vec b$ - это такой вектор $\vec c$, что будучи сложенным с вычетаемым даёт уменьшаемый $\vec b + \vec c = \vec a$ ### Умножение вектора на число $\lambda \vec a$ Пусть $\lambda$ - некое число, $\vec a$ - некоторый вектор $\lambda \vec a$ Определение: 1) $|\lambda\vec a| = |\lambda||\vec a|$ 2) $\vec a$ и $\lambda\vec a$ - коллиниарны 3) $\vec a$ и $\lambda\vec a$ - сонаправлены, если $\lambda > 0$ и противоположны, если $\lambda < 0$ Свойства: 1) $\lambda (\vec a + \vec b) = \lambda \vec a + \lambda \vec b$ 2) $(\lambda + \mu)\vec a = \lambda \vec a + \mu \vec a$ 3) $\lambda (\mu \vec a) = (\lambda \mu) \vec a$ ### Линейная зависимость векторов Система векторов - набор векторов Линейная комбинация векторов - $\lambda_1 \vec{a}_1 + \lambda_2 \vec{a}_2 + \dots + \lambda_n \vec{a}_n$ Система веторов называется линейно зависимой, если существует линейная комбинация = 0, такая что хотя бы 1 из коэффициентов не равен нулю (хотя бы одна) линейная комбинация, равная нулю $\vec{a}_2, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_n$ $\alpha_1\vec{a}_1 + \alpha_2\vec{a}_2 + \dots, \alpha_n\vec{a}_n \neq 0$ Иначе она называется линейно независимой Пусть в линейно зависимой системе векторов $\alpha_i \neq 0$ $\alpha_i\vec{a}_i=-\alpha_1\vec{a}_1 -\alpha_1\vec{a}_1 \dots -\alpha_{i+1}\vec{a}_{i+1} \dots -\alpha_n\vec{a}_n$ $\vec a_i = \lambda_1 \vec a_1 + \lambda_2 \vec a_2 + \dots + \lambda_{i-1} \vec a_{i-1} + \lambda_{i+1} \vec a_{i+1} + \dots + \lambda_{n} \vec a_{n}$ $\lambda_k = -\frac{d_k}{d_i}$ 2-е определение линейно незавивисой системы Система $\vec{a}_2, \vec{a}_2, \dots, \vec{a}_n$ называется линейно независимой, если существует единственная система их линейная комбинация, равная 0, когда все коэффициенты равны 0 #### Условия линейной зависимости: 1) в системе присутствует нулевой вектор, то она линейно зависима действительно, например, $\vec{a_i} = 0$, где $\alpha_i\neq0$, а все остальные = 0, тогда $\alp_1 \vec a_1 + \dots + \alp_i \vec a_i + \dots + \alp_n \vec a_n = 0$ 2) если часть векторов системы линейно зависима $\thus$ вся система линейно зависима Теорема 1: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости из двух веторов является их коллинеарность. Доказательство: Дано два линейно зависимых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: Действительно, по определению линейной зависимости, $\exists$ линейная комбинация $\alp\vec{a} + \beta\vec{v}=0$, где хотя бы один из векторов $\neq 0$, например $\alp \neq 0$ Теорема 2: Необходимым и достаточному условием линейной зависимости системы из 3-х векторов является компланарность. Дано три вектора $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ - линейно зависимы Док-во: Линейно зависимы, значит существует линейная комбинация0 $\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = 0$ в которой хотя бы один $\neq 0$ Пусть $\gamma \neq 0$, тогда $\vec{c} = -\frac{\alpha}{\gamma}\vec{a}-\frac{\beta}{\gamma}\vec{b} \Rightarrow \alpha_1\vec{a} + \alpha_2\vec{b}$ Действительно, так как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ в одной плоскости, то совмещая параллельным переносом их начала, тогда получим параллелограмм, в котором $\vec{c}= \vec{OC} = \vec{OB}$ так как $\vec{OB} = \alpha\vec{b}$, $\vec{OA} = \gamma\vec{a}$ $\alpha\vec{b} + \gamma\vec{a} - \vec{c} = 0$  у которой хотя бы ...... что и отображает компланарность Теорема 3: любые 4 вектора линейно зависимы. Пусть имеем $\vec a, \vec b, \vec c\ и\ \vec d$ при чём ни одна тройка не компланарная, тогда свожу 4 вектора к одному началу. Из точки D проведём плоскости, параллельные плоскостям из пар $\vec{a}\vec b, \vec a \vec c, \vec b \vec c$ , из этих плоскостей получаем паралелипипед $\vec A = \vec {OD} = \vec {OE} + \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \lambda\vec a+\beta\vec b + \gamma\vec c$ а это линейная зависимость. Следствие любой вектор $\vec d$ можно разложить по 3-м некомпланарным векторам $\vec d = \lambda \vec a + \beta \vec b + \gamma \vec c$ $\vec a, \vec b, \vec c$-линейно независимы ### Базис Базисом в (3-х мерном) пространстве называется такая система линейно независимых векторов, по которым может быть разложена любое вектор-пространство $\vec a, \vec b, \vec c$ - образуют базис, если $\forall \vec a = \lambda \vec a + \beta \vec b + \gamma \vec c$ $\lambda, \beta, \gamma$ называются ...? В 2-х мерном пространстве любой вектор плоскости может быть разложен по этому базису, то есть $\forall \vec c = \lambda \vec a + \beta \vec b$ ОНБ - ортогонально нормированный базис - это базис из единичных векторов $\hat i, \hat j, \hat k$ - ортогональных дргу другу векторов $\forall \vec d = X\hat i + Y \hat j + Z \hat k$ координаты $X, Y, Z$ совпадают с проекциями вектора $\vec d$ на себя  проекция $\vec d = |\vec d|$ на d  $\vec a^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 = |d|(/экю-это/)$ ## ЛЕК 21/09/22 $[\vec a , \vec b] = \det{\vec i & \vec j & \vec k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2} = \vec i \det{y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2} - \vec j \det{z_1 & z_1 \\ x_2 & z_2} + \vec k \det{x_1 & y_1 \\ x_2 &y_2}$ $([\vec a , \vec b], \vec c) = (\vec a, [\vec b, \vec c]) = (\vec a, \vec b\ ,\vec c) = \det{x_1 & y_1 &z_1 \\ x_2 & y_2 &z_2 \\ x_3 & y_3 &z_3}$ 3 вектора компланарны, если попарное векторное произведение равно нулю Доказать своство векторного проиведения Докажем одно свойство $[\vec a + \vec b, \vec c] = [\vec a, \vec c] + [\vec b, \vec c]$ Если все три вектора лежат в одной плоскости, то вектороное преизведение можно изобразить так: $[\vec a + \vec b, \vec c] = пр._a\vec c \cdot |\vec c| \vec g$ $\vec g$ - единичный перп вектор $[\vec a, \vec c] = пр._b\vec c\cdot|\vec c| \vec g$ $[\vec b, \vec c] = пр._c\vec c \cdot|\vec c| \vec g$ $пр._u(\vec a + \vec b)= пр._u\vec a + пр._u\vec b$ Доказать $[\vec a, \vec c] = пр._{\vec b}\vec a |\vec c|\vec g$ $[\vec a, \vec c] = \proj{\vec c}{\vec a} |\vec c| \vec g$ $[\vec b, \vec c] = \proj {\vec e}{\vec b} |\vec c|\vec g$ $[\vec a + \vec b, \vec c] = \proj{\vec e}{\vec a + \vec b}|\vec c|\vec g$ #### Уравнение линии на плоскости $Ф(x, y)=Q$ уравнение линии $\mathcal{L}$ Параметрические задание линии: с поиощью параметра t $\forall x \in L: c(k)$ $x = \phi(t)$ $t = \psi(t)$ $(\alp \leq t \leq \beta)$ Если обтарная функция существует: $t = \phi^{-1}(x)$ Алгебраическая линия Если $Ф(x, y)$ если полиномом по переменным x, y Алгебр лин называется линия n-ного порядка, если порядок многочлена $Ф(x, y)$ равен n Все остальные линии называеются трансцендентрыми Линейным преобразованием координат (Афинные преобразования) $x = a = x'a_{11} + y'a_{12}$ $y = b +x'a_{21} +y'a_{22}$ Порядок линии не меняется при линейном преобразовании координат Паралельный переноc $\cases{x = x' - a \\ y = y' - b}$ - паралельное переос $x = x' \cos \phi - y'\sin\phi$ $y = y'\cos\phi+y'\sin\phi$ Параметрическое задание: Окружность с центром в точке O(a,b) и радиусом R имеет уравнение $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ $R = \sqrt{(x_1-x_O)^2 +(y_1-y_O)^2}$ Если центр в начале координат, то $a = 0, b= 0$ $x^2 +y ^2 =R^2$ Возьмём произвольную точку M(x,y) Опустим перепендикуляр на ось Ox $\cases{x = \cos\phi \\ y = \sin\phi} (0 \leq \psi < 2\pi)$ Если 2 линни $L_1 ,L_2$ заданы уравнением $\cases{Ф_1(x,y) = 0\\Ф_2(x,y)=0}$ точки пересечения - решение системы уравнений Поверхность и линия в пространстве Поверхность $Ф(x,y,z)=0$ Параметрическое задание $\cases{x = \phi(t)\\ y=\psi(t)\\ z=\chi(t)} \ \ (\alp \leq t \leq \beta)$ если $t=\phi^{-1}(x)$ $y = \psi(\phi^{-1}(x))$ $z = \chi(\phi^{-1}(x))$ Пример поверхности Уравнение сферы $(x - a)^2 +(y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ Линия как пересечение поверхности Имеем две поверхности $\cases{\Phi_1(x,y,z)=0\\\Phi_2(x,y,z)=0}$ Классы поверхностей: - цилиндрические (все её точки удволетвояют условию: прямая, проходящая через точку - целиком принадлежит поверхности) - конические (любая её точка удволетворяет условию: прямая, проведённая через точку и начало координат принадлежит поверхности) ### Линейные геометрические образы Прямая на плоскости Задача: написать уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку $M_0(x_0,y_0)$ перпендикулярно данному вектору $\vec N (A, B)$ (нелбходимое и достаточное условие)Любая точка $M(x,y)$ лежит на прямой, если $\vec {MM_0} \perp \vec N \thus \vec {MM_0} \cdot \vec N = 0$ $(\vec N, \vec{MM_0}) = 0$ $A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$ $\vec N$ - нормальный вектор прямой $Ax +By - Ax_0 - By_0 = 0$ или же $Ax +By + C = 0$ - общее уравнение прмой Неполное уравнение прямой 1) $C=0$ $A\neq 0; B\neq0$ - прямая проходит через начало координат 2) $C \neq 0; A=0; By + C =0$ $y = -\frac C B$ - прямая паралельна оси Ox 3) аналогично для $B=0$ 4) $A = 0; C=0, y=0$ - ость Ox #### Уравнение прямой в отрезке $\frac x a + \frac y b = 1 (const)$ Как получить из общего уравнения $Ax + By = -C$ $\frac x {-CA} +\frac x{-CB} = 1$ Уравнение прямой с угловым коэффициентом $Ax + By + C = 0$ $By = -Ax - C$ $y = \frac {-Ax} B - \frac C B$ $\frac {-Ax} B =k; -\frac C B - b$ k - угловой коэффициент $k = th \alp$ $\alp$ - угол наклона $x$ Угол наклона между прямыми $L_1, L_2$ $\phi = \phi_2-\phi_1$ $\phi$ - угол между $\phi_1, \phi_2$ - углы прямых с остью Ox $\tg \phi = \tg(\phi_2 - \phi_1) = \frac{\tg\phi_2 - \tg\phi_1}{1+\tg\phi_1\th\phi_2}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}$ чем заметим $1+k_1k_2=0$, то $k_2=-\frac 1 {k_1}$ (прямая перпендикулярна) #### Нормальное уравнени прямой От данной прямой опущу из начала координат перпендикуляр, точку обозначу P, а вектор $\vec n$ расстояние $OP = p$ условие принадлежности текущей точки $M(x,y)$ прямой: проекция вектора $\proj{\vec n}{\vec {OM}} = p = x\cos\phi + y\sin\phi$ - нормальнеое урванение прямой Получим из общего уравнения: $Ax+By+C=0$ $\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}x + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}y + \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} = 0$ $\rightarrow \cos\phi x \sin\phi y + p = 0$ #### Расстояние от точки до прямой точка $M(x*,y*)$, остальное из прошлогй секции $\vec d$ - перенесённый $\vec n$, чтобы он указывал на M Продливаем $\vec n$ $\proj{\vec n}{OM*} = d+p$ $\proj{\vec n}{(x*\cos\phi =y*\sin\phi)} = d+p$ $d = \proj{\vec n}{(x*\cos\phi =y*\sin\phi)} - p$ $\delta = \pm d$ $\delta$ - отклонение точки от прямой Биссектрисы двух углов между прямыми геометрическое ... точек между прямыми $x\cos\phi_1 + y\sin\phi_1 - p_1 = \pm (x\cos\phi_2 + y\sin\phi_2 - p_2)$ ## СЕМ 23.09.22 TODO ## ЛЕК 28.09.22 ## СЕМ 30.09.22 ## ЛЕК 05.10.22 в декартовой линейной системе координат плоскость описывается $Ax+By+Cz+D=0$ #### Задача Через данную точку в пространстве $M_0(x_0, y_0, z_0)$ провести плоскость пепендикулярную, данному вектору $\vec N (A, B, C)$ $M_0(x_0, y_0, z_0)$ Берём произвольную точку $M(x, y, z)$ соединяем вектором $\vec {M_0M}$ Необходимое и достаточное условие принадлежности точки $M(x, y, z)$ является скалярное произведение векторов $\vec V (A, B, C)$ и $\vec M_0M(x-x_0, y-y_0,z-z_0)$ $(\vec N, \vec {M_0M}) = 0$ $A(x-x_0) +B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ #### Неполное уравнение плоскости 1) $D = 0; A,B,C \neq 0$ $Ax + By +Cz = 0$ - плоскость, проходящая через начало координат 2) $A = 0; By + Cz + D = 0$ - плоскость, паралельная оси Ox 3) $B = 0 \dots$ - паралельая Oy 4) $C = 0 \dots$ - паралельно Oz 5) $A = 0, B = 0$ $Cz +D = 0; z = -\frac{D}{C}$ - паралельно плоскости Oxy #### Уравнение плоскости в отрезках (на координатных осях) $Ax + By+ Cz +D = 0 (D\neq 0)$ $Ax + By +Cz = -D$ $\frac x {-D/A} + \frac y {-D/B} +\frac z {-D/c} = 1$ или $\frac x a + \frac y b + \frac z c = 1$ #### Уравнение плоскости, проходящей через три точки $M_1(x_1,y_1,z_1)$ Нормальный вектор получим, как веркорное произведение векторов, например $\vec{M_1, M_2}$ и $\vec {M_!M_3}$ $\vec N = \det {\vec i & \vec j & \vec k \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3 - y_1 &z_3-z_1}$ получим уравнение плоскости $A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0$ $(x-x_1)\det{y_2y_1 & z_2-z_1 \\ y_3-y_1 & z_3-z_1} - (y-y_1)\det{x_2-x_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & z_3-z_1} + (z-z_1)\det{x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1} = 0$ $\det{x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ \dots} = 0$ ### Угол между двумя плоскостями. Условия паралельности между плоскостями Линейный угол друхгранного угла, образованного плоскостяим $\alp$ и $\beta$ Пусть нормальные кетора плоскостей $\alp$ и $\beta$ будут соответсвеноо $\vec N_1(A_1, B_1, C_1)$ и $\vec N_2(A_2,B_2,C_2)$ Угол $\phi$ между нормальными векторами является углом между плоскостями Угол определяем из скалярного произведения $(\vec N_1 ,\vec N_2) = |\vec N_1| |\vec N_2| \cos \phi$ Условие паралельности плоскостей, коллинеарность нормальей: $\frac {A_1} {A_2} = \frac {B_1} {B_2} = \frac {C_1} {C_2}$ Условие перпендикулярности: $A_1A_2+B_1B_2+c_1C_2 = 0$ #### Нормальное уравнение плоскостей $OP\perp \pi$ $\vec n$ -единич вектор вдоль $\vec {OP}$ $\vec n = (\cos \alp,\cos\beta,\cos\gam)$. где $\alp, \beta, \gam$ - углы вектора $\vec n$ с соответсвующими осями координат Условия принадлежности текущей точки $M(x,y,z)$ искомой плоскости $\proj {\vec n}{\vec{OM}} = p$ (где p - ) $\proj {\vec n} {\vec OM} = \frac {(\vec{OM})}{|\vec n|} = x\cos \alp + y\cos \beta + z\cos \gam = p$ корни уравнения #### Приведение обшего уравнения плоскости к нормальному виду $Ax +By + Cz +D =0 | \sqrt{A^2+B^2+C^2}$ $\frac x {\sqrt{A^2+B^2+C^2}/A} + \frac y {\sqrt{A^2+B^2+C^2} /B} +\frac z{\sqrt{A^2+B^2+C^2}/C}+\frac D{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = 0$ существует коэффици\нты x, y, z можно .. направленные .. #### Точка и плоскость ... из точки $M\star$ опускаем $\perp$ на плоскость $\alp$ получаем расстояние $d$ $\vec {M\star P}\perp\vec a$ $\proj {\vec n} {\vec{OM\star}} = p+d$ $\proj {\vec n}{\vec{OM\star}} = \frac{(\vec {OM}, \vec n)}{|\vec n|} = x\star\cos\alp +y\star\cos\beta + z\star\cos\gam - p = d$ Заметим, если точка $M\star$ и начало координат O лежат по одну сторону от плоскости, ... $\delta = \pm d$ если по разные, то $\delta = d$ если по одну, то $\delta = -d$ #### Пучок плоскостей Это множество всех плоскостей, проходящих через данную прямую Уравнения прямой $L$ задаётся двумя пересекающимяся плоскостями $\block{cases}{A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2 = 0}$ Уравнение любой плоскости пучка можно получить из уравнения $\alp(A_1x+B_1y+C_1z+D_1) + \beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$ решим на плоскости $\alp$ (точко $\alp \neq 0$) $A_1x+B_1y+C_1z+d_1 +\gam(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0 (\gam = \frac \beta \alp)$ #### Связка плоскостей Это совокупности плоскостей, проходящих через одну точку $S_0(x_0,y_0,z_0)$ $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) .....$ #### Прямая в пространстве Это пересечение двух плоскостей и задаётся системой из двух уравнений $\block{cases}{A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}$ - общие уравнения прямой #### Канонические уравнения прямой Задача: через данную точку $M_0(x_0,y_0,z_0)$ провести прямую, паралельную данному вектору $\vec a = (l,m,n)$ направленный вектор прямой $M(x,y,z)$ Необходимое и достаточное условие принадлежности точки $M(x,y,z)$ искомой прямой - коллинеарность векторов $\vec a, \vec M_0, \vec M$ то есть, пропорциональность их соответсв. координат $\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n$ координаты уравнения прямой #### Переход от общих уравнений к каноническим Для этого надо знать точку пррямой и её направляющий вектор $\vec a(l,m,n)$ - вектороне произведение нормальных векторов $\vec a = [\vec N_1, \vec N_2] = \det{\vec i & \vec j & \vec k \\ A_1 &B_2 & C_1 \\ A_2 & B_2 &C_2}$ Точка $M_0$ выбирается так, чтобы ко\ффициэнты при остальных двух переменных удволетворяли условию $\det{A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2}$ и любой другой #### Параметричсекие уравнения прямой Берет за параметр $t$ $\block{cases}{x = x_0 +lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt}$ #### Уравнения прямой проходящее через две точки $\vec{M_1, M_2}$ - вектор прямой точка прямой - $\vec N$ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{}$ ## 07.10.22 $M(x, y)$ $\vec N = {A, B} \neq \vec 0$ $M_0(x_0, y_0)$ $M \in l \ident \vec{M_0M} \perp \vec N \ident (\vec N, \vec {M_0M}) = 0$ Первый вид: $A(x-x_0) +B(y-y_0)=0$ Второй вид: общий $Ax+By + C=0 (|A|+|B>0)$ Третий вид: $A\neq 0, B\neq 0, C\neq0$ $\frac x a + \frac y b = 1$ Четрвёртый вид: параметрический $\vec m = \set{a, b} \neq \vec 0$ $\vec m || l$ $M_0 \in l \ident \vec{M_0M}||\vec m \ident \ex t; \vec{M_0M} = t\vec m \ident \cases{x-x_0=at\\y-y_0=bt} (-\inf < t < \inf)$ Пятый вид: $\vec{M_0M} || \vec m \ident \frac{x-x_0}a = \frac{y-y_0}b$ Шестой вид: $y - kx +b, k=\tg(\alp), b\neq 0$ Седьмой вид: нормированный $Ax+By+C=0 | \pm \frac 1 {\sqrt{A^2+B^2}} = \pm \frac 1 {|\vec N|}$ $\vec n = \pm \frac {\vec N}{|\vec N|}$ $\vec n = 1 \thus \vec n = \set{\cos \alp, \cos \beta} = \set{\cos \alp, \sin \alp}$ $|p|=dist(\phi, l)$ отклонение точки от прямой - $\delta(x,y) = x\cos\alp +y\sin\alp +p = 0$ $\delta(x,y) = \delta(M^\star)$ $|\delta(M^\star)| = dist(M^\star, l)$ №214 $3x-4y-29=0$ $2x-5y+19=0$ $\vec N_1 = \set{3, -4}, \vec N_2 = \set{2, 5}$ $\vec N_2 \not{||} \vec N_2 \thus l_1 \not{||} l_2 \thus \exo M_0 = l_1 \cup l_2$ $M_0\in l_1, M_0\in l_2$ $M_0(x_0,y_0)$ решаем систему координат подставляя $x_0, y_0$ $\cases{x=3\\y=-5}$ $M_0(3, -5)$ №223 $2x+3y+4=0 (l)$ $M_0 \in l_1$ 1) $l_1 || l \thus \vec N_1 = \vec N = \set{2, 3}$ $(\vec N_1, \vec{M_0M}) = 0$ $2(x-2) + 3(y-1) = 0$ $2x+3y-7=0$ 2) $l_1 \perp l \thus \vec N = \set{2, 3} \perp \vec N_1 = \set{-3, 2}$ $-3(x-2) + 2(y-1) = 0$ $-3x+2y+4=0$ № 227 $p(-5, 13)$ $l: 2x-3y-3=0$ 1) найдём $l_1 : l_1 \perp l, p\in l_2$ 2) $R = l_1\cup l$ 3) $\vec{OQ}=\vec{OP}+\vec{PQ} = \vec{OP} + 2\vec{PR} =$ 1) $3(x+5)+2(y-13)=0$ 2) решаем две системы 3) ## ЛЕК 12.10.22 #### Задачка Найти условие пересечения трёх плоскостей в одной и только в одной плоскости Три плоскости $\cases{A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \\ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0}$ Решение существует, когда $det \neq 0$ $\det{A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3}$ #### Задачка Уравнение биссекторной плоскости плоскости двухгранного угла плоскости $\pi_1, \pi_2$ Приведём уравнение данных плоскостий к нормальному виду $A_{1,2}x+B_{1,2}y +C_{1,2}z +D_{1,2} = 0 | :\sqrt{A_{1,2}^2+B_{1,2}^2+C_{1,2}^2}$ $\cos\alp_{1,2} + \cos\beta_{1,2} + \cos\gam_{1,2} - p_{1,2} = 0$ приравниваем с плюсом и с минусом биссекторные плоскоски: $x\cos\alp_1 +y\cos\beta_1 +z\cos\gam_1-p_1 = \pm(x\cos\alp_2 +y\cos\beta_2 +z\cos\gam_2-p_2)$ #### Задачка Условие пересечения данной плоскостью отрезка MN $Ax+By+Cz+D=0$ Как следует из определения отклонения точки от прямой, отклонение точки M $\delta_M$ от отлконения точки N $\delta_N$ должны иметь разные знаки #### Задачка Условие расположения двух данных точек относительно двух данных пересекающихся плоскостей Плоскости $\pi_1,\pi_2$ Точки $A, B$ Выяснить, лежат ли обе точки: 1) в одном углу между плоскостями 2) в смежных углах 3) в вертикальных углах 1) отклонения точек A, B от этих плоскостей $\delta_{A1}, \delta_{B1}$ (плоскость $\pi_1$), а также $\delta_{A2}, \delta_{B2}$ (плоскость $\pi_2$) должны быть одного знака 2) отклонение $\delta_{A1}, \delta_{B1}$ - одного знака, а $\delta_{A2}, \delta_{B2}$ - разных знаков 3) отклонения $\delta_{A1}, \delta_{B1}$ - разных знаков, а также $\delta_{A2}, \delta_{B2}$ - разных знаков #### Задачка Опустить перпендикуляр из данной точки на данную плоскость это значит написать уравнение этого перпендикуляра рассматриваем реометрическую корректность задачи данная плоскость $\pi$ и данная точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ мы знаем, что перендикуляр на плоскость опускать можно, задача корректна Для нахождения уравнения этого перпендикуляра требуется знать координаты точки, на этом перпендикуляре и направляющий вектор этого перпендикуляра Точка известна $M_0$ Найдем направляющий вектор $\vec a = (l,m,n)$ За направляющий вектор прямой можно взять нормаль плоскости $\vec N = (A, B, C)$ тогда сразу можно записать уравнение искомой прямой в каноническом виде уравнение прямой $Ax+By+Cz+D=0$ $\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}$ #### Задачка Через данную точку провести плоскость, паралельную данной плоскости Данная плоскость $Ax+By+Cz+D=0$ Данная точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ Задача поставлена корректно, с геометрической точки зрения Решаем её аналитически Для уравнения всякой плоскости нужно знать координаты какой-либо точки этой плоскости и её нормальный вектор Точка дана $M_0$, нормаль совпадает с нормалью данной плоскости $\vec N = (A, B, C)$ Уравнение искомой плоскости: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ #### Задачка Через данную точку провести плоскость перпендикулярную данной прямой Дана прямая $L: \frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n}$ Дана точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ Надо провести плоскость: требуется точка и нормаль Точка дана $M_0(x_0,y_0,z_0)$ Нормаль - идёт вдоль прямой - есть направляющий вектор $\vec a = (l,m,n)$ Искомое решение $l(x-x_0)+m(y-y_0)+n(z-z_0)=0$ #### Задачка Через данную прямую и не пренадлежащую ей точку провести плоскость Дана прямая $L: \frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n}$ Дана точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ Надо провести плоскость: требуется точка и нормаль Точка дана $M_0(x_0,y_0,z_0)$ Нормалью будет векторное произведение направляющего вектора прямой $\vec a = (l,m,n)$ и вектора, соединяющего точки $M_1, M_0$ $M_1$ - точка на прямой Уравнение искомой плоскости $A(x-x_0) +B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ Где $A, B, C$ - координаты вектора $[\vec a, \vec{M_0M_1}] = \vec N(A,B,C)$ $[\vec a, \vec{M_0M_1}] = \det{\hat i &\hat j & \hat k \\ l & m & n \\ x_1-x_0 & y_1-y_0 & z_1-z_0}$ #### Задачка Даны 2 скрещивающиеся прямые Найти уравнение плоскости, проходящей через одну из этих прямых, паралельно другой Дана плоскость $\pi$ Даны прямые $L_1: \frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}$ $L_2: \frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2}$ Для написания уравнения плоскости нужны точка и нормаль: В качестве точки берём $M_1(x_1,y_1,z_1)$, принадлежащей прямой $L_1$ А в каестве нормали берём направляющие вектора прямых $\vec N = [\vec a_1, \vec a_2]$ $\vec N = \det{\hat i &\hat j & \hat k \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2} \thus$ искомое уравнение $A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0$ #### Задачка Из данной точки опустить перпендикуляр на данную прямую Дана прямая $M_0(x_0,y_0,z_0)$ Дана прямая $L: \frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n}$ Для написания уравнения искомой прямой надо знать точку на это прямой и её направляющий вектор Точка известна $M_0(x_0,y_0,z_0)$ Направляющий вектор $\vec a$ получим с помощью плоскости (смотри пред задач) Через точку M0 проведём плоскость, проходящую через прямую L Из этой плоскости берям её нормаль $\vec N = (A, B, C)$ и направляющий вектор искомой прямой $\vec a = [\vec N, \vec a_1]$ #### Задачка Через данную прямую и данную плоскость, провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости Дана прямая $L: \frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n}$ Дана плоскость $Ax+By+Cz+D=0$ Для написания уравнения искомой плоскости нужно знать её точку и нормальный вектор В качестве точки берём точку $M_0(x_0,y_0,z_0)$ из прямой $L$ В качестве нормали искомой плоскости берём $\vec N_1 = [\vec a, \vec N] = \det{\hat i &\hat j & \hat k \\ l & m & n \\ A & B & C}$ #### Задачка Найти расстояние между двумя паралельными прямыми Даны прямые $L_1: \frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}$ $L_2: \frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2}$ Т.к. они паралельные, их направляющие векторы равны $\vec a = (l,m,n)$ Берём точки $M_1(x_1,y_1,z_1) \in L_1$ и $M_1(x_2,y_2,z_2) \in L_2$ Рассмотрим паралелограмм между направляющими веторами, исходящих из точек $M_1, M_2$ $d$ - искомое расстояние - пермендикуляр между прямыми Площадь паралелограмма $S=d|\vec a| = d\sqrt{l^2 + m^2+n^2} = {|[\vec{M_2M_1}, \vec a]|}$ $\thus d = \frac{|[\vec{M_2M_1}, \vec a]|}{|\vec a|}$ #### Задачка Написать уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых Общий перпендикуляр имеет направляющий векотор $\vec a = [\vec a_1, \vec a_2]$ Точку найдём из одной из предыдущих задач (провести через $L_1 || L_2$) Из этой плоскости берём любую ея точку ## СЕМ 14.10.22 #### №233 Составить уравнение прямой $l; l \perp \vec{OP}, p \in l$ $2(x-2) +3(y-3)=0$ $2x+3y-13=0$ #### №239 $M_1(-1, 2)$ $M_2(2,3)$ $\vec{M_1M_2} = \set{3,1}$ $l; \vec{M_1M_2}||L, m_1\in l$ $\thus \frac{x+1}3 = \frac{y-2}1 \thus \frac x 3 - \frac y 1 = -\frac 1 3 - 2 = -\frac 7 3$ $\frac x {3(-\frac 7 3)} - \frac y {(-\frac 7 3)} = 1$ $\frac x a + \frac y b = 1$ #### №245 $A(1,-2)$ $B(5,4)$ $C(-2, 0)$ $|\phi_2 - \phi| = |\phi-\phi_1|$ $\tg |\phi_2-\phi| = \tg |\phi-\phi_1|$ $|\tg (\phi_2-\phi)| = |\tg (\phi-\phi_1)|$ $|\frac{\tg(\phi_2)-\tg(\phi)}{1+\tg(\phi_2)\tg(\phi)}| = |\frac{\tg(\phi)-\tg(\phi_1)}{1+\tg(\phi)\tg(\phi_1)}|$ $(\vec N_1, \vec{M_0M}) = 0$ $(\vec N_2, \vec{M_1M}) = 0$ $(\vec N_1 \pm \vec N_2, \vec{M_0M})=0$ $\vec{AB} = \set{4,6}$ $l_1=(A,B); A\in l_1, \vec{AB} || l_1 \thus \vec N_1 = \set{-3, 2}$ $-3(x-1)+2(y+2)=0$ $-3x+2y+7=0$ $l_2=(A,B); A\in l_2, \vec{AB} || l_2 \thus \vec N_2 = \set{-2, -3}$ $-2(x-1) -3(y+2)=0$ $\frac{-3x+2y+7}{\sqrt{13}} \pm \frac{-2x-3y-4}{\sqrt{13}}=0$ $-5x-y+3=0$ - бессектриса внутреннего угла $-x+5y+11=0$ - бессектриса внешнего угла #### №249 $M(1,2)$ $N(3,4)$ $P$ $N_1(3,-4)$ $\vec{MN_1} = \set{2, -6}$ $\frac{x-1}1 = \frac{y-2}{-3}$ $x = 1+4/3 = 5/3$ #### № 250 $x-2y+5=0\ l_1$ $3x-2y+7=0\ l_2$ #### № 267 $N(5,2)$ $M_1(-10, 2)$ $M_2(6,4)$ $M_3$ - ? 1) $h: h\perp \vec{M_1M_2}, N\in h$ $\vec{M_1M_2} = \set{16,2} = \set{8,1}$ $8(x-5) + 1(y-2)=0$ $8x+y-42=0$ $l_1=(M_2,M_3)$ 2) $l_1: l_1\perp\vec{M_1N}, N \in l_1$ $\vec{M_1N} = \set{15, 0}$ $15(x-6)+0(y-4)=0$ $x=6$ 3) $M_3 = l_1\cup h$ $\cases{8x+y-42=0\\x=6}$ ## СЕМ 21.10.22 Прямая $Ax + By + C =0$ N - номальный вектор $M_0$ - начало нормального вектора $f(M) = (\vec N, \vec{M_0M})=0$ Для произвольной точки M значение этой точки будет $\cases {> 0, M\in l^+ \\ =0, M\in l \\ <0, M\in l^-}$ $|\frac{f(M)}{|\vec N|}| = dist(M, l)$ Чтобы узнать, пересекаются ли прямая и отрезок, можно посмотреть на знаки этой функции на концах отрезка, если они разные, то прямая пересекает отрезок (2д) Пусть есть прямые, они пересекаются под остарым углом $0 < \hat{l_1,l_2} < \frac \pi 2$ Проводим нормальни к этим прямым Угол между прямыми совспадает с углом между норамлями $l_1: f_1(M)=0$ $l_2 : f_2(M)= 0$ если угол между нормалями тупой, то при разности знаков функци $f_1,f_2$ точка находится в тупом углу №313 $M(1,-3)$ $O(0,0)$ 1) $2x-y+5=0 (l)$ $f(M)=10>0$ $f(O)=5<0$ Точки лежат в одной полуплоскости 2) $x-3y-5=0$ $f(M)=5>0$ $f(O)=-5<0$ Точки лежат в разных полуплоскостях №317 $2x-3y+6=0$ не пересекает $M_1(-2,-3), M_2(1,-2)$ $f(M_1)=11>0$ $f(M_2)=14>0$ Не пресекается №341 $M(1,-2), O(0,0)$ лежат ли в смежных или вертикальных углах 1) $2x-y-5=0$ $3x+y+10=0$ $f_1(M)=-1<0$ $f_1(O)=-5<0$ $f_2(M)=11>0$ $f_2(O)=10>0$ M и O в одном углу $\hat{N_1,N_2}<\frac \pi 2$ 2) $4x+3y-10=0$ $12x-5y-5=0$ $f_1(M)=-12<0$ $f_1(O)=-10<0$ $f_2(M) = 17 > 0$ $f_2(O)=-5<0$ Лежат в смежных углах 3) $x-2y-1=0$ $3x-y-2=0$ $f_1(M)=4$ $f_1(O)=-1$ $f_2(M)=3$ $f_2(O)=-2$ Вертикальные Тупые углы №345 $3x-2y+5=0 (l_1)$ $2x+y-3=0 (l_2)$ $O(0,0)$ $f_1(O)=5$ $f_2(O)-3$ $(\vec N_1, \vec N_2) = 4 > 0 \thus \hat{\vec N_1, \vec N_2}<\frac \pi 2$ В остром углу №349 $x+2y-11=0 | \cdot \frac 1 {\sqrt{5}}$ $3x-6y-5=0 | \cdot \frac{1}{3\sqrt 5}$ $M(1,-3)$ $l_1 \pm l_2 = 0$ $6x-38=0$ $3x-19=0$ $12y-28=0$ $3y-7=0$ Строим любое уравнение бисстикрисы угла, и берём любую точку, если повезёт, то окажется в одном угле, если в вертикальных, то берям отрицательную точку, если в вмежных, берём перпендикулярную и повторяем предыдущий шаг $M_0(0, \frac {7}{3})$ $f_1(M_0) = \frac 14 3 - 11 < 0$ $f_1(M_0)=-16<0$ $f_2(M)=-14-5<0$ $f_2(M) = 3+18-5 > 0$ в смежных углах $\thus$ ... №351 $3x+4y-5=0$ $5x-12y+3=0$ $(\vec N_1, \vec N_2) < 0 \thus \hat{\vec N_1, \vec N_2} > \frac \pi 2$ $(3x+4y-5)13 - (5x-12y+3)5 = 0$ $14x + 112y -80=0$ $7x+56-40=0$ №315 $3x-2y-5=0$ $2x+3y+7=0$ $A(-2,1)$ $f_1(A)=-13<0$ $f_2(A)=6>0$ $d_1=|\frac{f_1(A)}{\vec N_1}| = \sqrt{13}$ $d_2=|\frac{f_2(A)}{\vec N_2}| = \frac 6 {\sqrt 13}$ $S = d_1d_2=6$ №325 $10x+15y-3=0$ $2x+3y+5=0$ $2x+3y-9=0$ $M_2(-1, -1)$ $M_3(0,3)$ $f_1(M_2)=-28<0$ $f_1(M_3)=42>0$ $\thus l_1$ между $l_2$ и $l_3$ $\frac {d_2}{d_3} = \frac{|\frac {f_1(M_2)}{|\vec N_1|}|}{|\frac{f_1(M_3)}{|\vec N_1|}|} = \frac {28}{42} = \frac 2 3$ №331 $3x-4y-10=0$ $d=3$ $l_1||l\thus l_1: 3x-4y+C=0$ $M_0(2,-1)\in l$ $d=dist(l_1,l)=dist(l-1, M_0)=|\frac{f_1(M_0)}{|\vec N_1|}| = |\frac{3*2 - 4(-1) +C}{5}|$ $|\frac{10+C}{5}|=3$ $\frac{10+C}{5}=\pm 3$ $10+C = \pm 15$ 1) $C=5$ 2) $C = -25$ $3x-4y+5=0$ $3x-4y-25=0$ ## СЕМ 28.10.22 $M$ - система координат : $\vec{OM}=\set{x,y,z}; M(x,y,z)$ плоскость $\pi$ онозначно определяется точкой $M_0$ и $\vec N$ $\vec{M_0M} = \set{x-x_0, y-y_0,z-z_0}$ $M \in \pi$ если $\vec {M_0M} \perp \vec{N} \ident (\vec N, \vec{M_0M}) =0 \ident A(x-x_0) + B(y-y_0) +C(z-z_0) = 0$ (1) $Ax + By + Cz + D = 0$ (2) $A\neq0, B\neq0,C\neq0, D\neq \thus \frac x a + \frac y b + \frac z c = 1$ (3) $Ax + By + Cz +D = 0 | \pm \frac{1}{|\vec{N}|}$ $x\cos\alp + y\cos\beta + z\cos\gamma +p = 0$ (4) $|p|=dist(O, \pi)$ $|\delta(M)| = dist(M, \pi)$ $\delta(M) = \frac{f(M)}{\pm|\vec N|}$ № 915 $P(2, -1, -1)$ $\pi$ $P\in\pi$ $\vec{OP} \perp \pi$ $(\vec{OP}, \vec{PM}) = 0$ $2(x-2) - 1(y+1) - 1(z+1) = 0$ $2x-y-z-6=0$ № 919 $M_1(2,-1,3), M_2(3,1,2)$ $\vec a = \set{3, -1, 4} \parallel \pi$ $M\in\pi \ident \vec{M_1M}, \vec{M_1M_2}$ компланарны $\ident <\vec{M_1M}, \vec{M_1M_2}, \vec a> 0$ $\det{x_2&y+1&z-3\\1&2&-1\\3&-1&4} = 0$ $x-y-z=0$ № 925 (1,3) $3x-y-2z-5=0$ $x+9y-3z+2=0$ $\vec N_1 = \set{3, -1, -2}$ $\vec N_2 = \set{1, 9, -3}$ $(\vec N_1, \vec N_2) = 0 \thus \vec N_1 \perp \vec N_2 \thus \pi_1 \perp \pi_2$ $2x - 5y + z = 0$ $x + 2z - 3 = 0$ № 930 $M_1(3, -2, -7)$ $2x-3z+5=0$ $\pi_1$ $\pi_1||\pi \thus \vec N_1 = \vec N = \set{2, 0, -3}$ $M_1\in\pi_1$ $2(x-3)+0(y+2)-3(z+7)=0$ $2x-3z-27=0$ № 937 $7x+4y+7z+1=0$ $2x-y-z+2=0$ $x+2y+3z-1=0$ $\cases{7x+4y+1=0\\2x-y+2=0}$ $M_1(-\frac 3 5, \frac 4 5, 0)$ $\cases{7x+4y+8=0\\2x-y+1=0}$ $M_1(-\frac 4 5, -\frac 3 5, 1)$ подставляем $M_1, M_2$ в третью плоскость, получаем 0 № 956 $\frac 1 3 x - \frac 2 3 y - \frac 2 3 z - 5 = 0$ $|\vec N| = \sqrt{\frac 1 9 + \frac 4 9 + \frac 4 9}$ .. № 959 (1) $2x-y+2z+3=0$ $M_1(-2,-4,3)$ $\frac 2 3x - \frac 1 3 y + \frac 2 3 z + 1 = 0$ ## ЛЕК 09.11.22 ## СЕМ 11.11.22 №995 второе решение $\pi:2x+y-z+1 + \alp(x+y+2z+1) = 0$ $\pi\parallel \vec a = \set{1,-7,5} \ident \vec N_\pi \perp \vec a \ident (\vec N_\pi, \vec a) = 0$ $\vec N_\pi = \set{2\alp, 1+\alp, -1+2\alp}$ $(2+\alp) \cdot 1 + (1+\alp)(-7) + (-1+2\alp)5 = 0$ $4\alp -10 = 0 \thus \alp = \frac 5 2$ $2(2x+y-z+1) + 5(x+y+4z+1)=0$ $9x + 7y +8z + 7 = 0$ №1011 $M-1(-6,6,-5), M_2(12,-6,1)$ $L=(M_1,M-2)$ $L: L> M_1, L || \upline M_1M_2 = \set{18, -12, 6} = 6\set{3,-2,1}$ $x = 3t -6$ $y = -2t + 6$ $z = 1t - 5$ 1) $P_1 = L\cap XOY$ $XOY: z = 0 \thus t - 5 = 0 \thus t_1 = 5 \thus P_1(9,-4,0)$ 2) $P_2 = L \cap XOZ$ $XOZ: y = 0 \thus -2+6=0 \thus t_2 = 3 \thus P_2(3,0,-2)$ 3) $P_3 = L \cap YOZ$ $YOZ : x = 0 \thus t_3 = 2 \thus P_3(0,2,-3)$ ## СЕМ 2.12.22 Уравнение второго порядка $Ax^2 +By^2 + CZ^2 + Dxy+Exz + F yz +Gx +Hy +Kz + L = 0$ $|A| +|B| +|C| + |D| + |E| + |F| > 0$ общий вид прямых второго порядка Поворячиваем плоскость, чтобы уравнение приняло вид $Ax^2 +By^2 + CZ^2 + Gx +Hy +Kz + L = 0$ I) $A\neq 0, B \neq 0, C\neq 0$ $\sum \rightarrow \sum': A(x')^2 B(y')^2 + C(z')^2 + L'=0$ 1) пусть $A, B, C$ - одного знака $\frac{(x')^2}{a'} +\frac{(y')^2}{b^2} + \frac{(z')^2}{c^2} = \cases{1 - эллипсоид\\0 - вырожденный эллипсоид\\-1 - истинный эллипсоид}$ 2) пусть $A, B, -C$ - одного знака $\frac{(x')^2}{a'} +\frac{(y')^2}{b^2} - \frac{(z')^2}{c^2} = \cases{1 - однополосный гиперболоид\\0 - конус\\-1 - двуполостный гиперболоид}$ II) $A\neq 0, B\neq0, C=0$ 1) $A, B$ - одного знака $\frac{(x')^2}{a'} +\frac{(y')^2}{b^2} = z'$ - эллептический парабалоид 2) $A, -B$ - одного знака $\frac{(x')^2}{a'} -\frac{(y')^2}{b^2} = z'$ - гиперболический парабалоид III) $A\neq 0, B=C=0$ $A(x')^2 + Hy +Kz + L' = 0$ $A(x')^2 + Hy' +Kz' = 0$ $\sqrt{H^2 +K^2}(\frac H \dots y' + \frac K \dots z')$ $\sqrt{H^2 +K^2}y''z''$ --- $\frac{(x')^2}{a'} +\frac{(y')^2}{b^2} = \cases{1 - эллипс - эллиптический цилиндр \\ 0 - вырожденный эллисп - вырож элл цил \\ -1 - мнимый эллипс/элл цил}$ $\frac{(x')^2}{a'} -\frac{(y')^2}{b^2} = \cases{1 - гиперб циллиндр \\ 0 - пара пересек плоскостей}$ $(y')^2 = \cases{2px' - параболический цилиндр\\ a^2 - пара паралельныйх плоскостей \\ 0 - пара слившихся плоскотей\\ -a^2 - пара слившихся паралельных плоскостей}$ --- $\frac{(x')^2}{a^2(1 - \frac{H^2}{C^2})} + \frac{(y')^2}{b^2(1 - \frac{H^2}{C^2})} = 1$ #### Эллипсоид #### Гипербалоид #### Двуплоскостный гиперболоид #### Конус #### Однополусный и двуполусный гиперболоид снаружи ожнополостный внутри двуполостный #### Элиптический параболоид одна парабола скользит по дргуой - начало одной следует пути другой #### Гиперболический параболоид параболе ветвями вниз движется по параболе ветвями вверх ---- $F(x_0, y_0) = 0$ $M(x_0,y_0,z)\ \ \fal z$ #### Эллиптический циллиндр #### Гиперболический циллиндр #### Пара пересекающийхся плоскостей аналогично Пара паралельных плоскостей и Параболичсекий цилиндр --- $4x^2 -y^2 +9z^2 - 16 x + 6y + 8 = 0$ $4(x^2 - 4x) - (y^2 - 6y) +9z^2 + 8 = 0$ $4(x^2 - 4x + 4) - (y^2 - 6y + 9) +9z^2 + 8 - 16 + 9 = 0$ $4(x-2)^2 - (y-3)^2 + 9z^2 + 1 = 0$ $\sum \rightarrow \sum' : \cases{x' = x-2 \\ y' = y-3 \\ z' = z}$ $\sum' :4(x')^2 -(y')^2 +9(z')^2 + 1 = 0$ делаем повторот $\sum' \rightarrow \sum'' : \cases{x' = x''\\y'=-z''\\z' = y''}$ $(x'')^2 - (z'')^2 +9(y'') + 1 =0$ $\frac{(x'')^2}{(\frac 1 2)^2} +\frac{(y'')^2}{(\frac 1 3)^2} - \frac{(x'')^2}{1^2} = -1$ --- $y - 2xz = 0$ $\sum \rightarrow \sum' \cases{x = \frac{x' - y'}{\sqrt{2}} \\ z = x^2 \frac{x' + z'}{\sqrt{2}} \\ y = y'}$ $y' - 2\frac{x' - z'}{\sqrt{2}}\frac{x' - z'}{\sqrt{2}} = 0$ $y' - (x')^2 + (z')^2 = 0$ $\sum ' \rightarrow \sum'' \cases{x' = x'' \\ y'=-z'' \\ z' = y''}$ $\sum'' : z'' - (x'')^2 + (y'')^2 = 0$ $z'' = -(x'')^2 + (y'')^2$ $\sum''' \rightarrow \sum''' \cases{x'' = -x'''\\y'' = y''' \\ z'' = -z'''} -z''' = -(x''')^2 + (y''')^2$ $z''' = (x''')^2 - (y''')^2$ ### 9.12.22 $(\alp_1 \alp_2 \dots \alp_n) \in T_n (n!)$ $\alp_i \in \set{1,2,\dots,n}, i=\upline{1,n}$ $\alp_i \neq \alp_j : i\neq j$ $\alp=(\dots \alp_i \dots \alp_j \dots)$ $i < j$ $\alp_i > \alp_j$ $I(\alp)$ - чисто инверсий Проскуряков И В Сборник задач по ЛА № 123 $(2, 3, 5, 4, 1) = \alp$ $I(\alp) = 1 + 1 + 2 + 1 = 5$ $A = \pmat{a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}}$ $a_{i_1j_1} \cdot a_{i_2j_2} \cdot \dots \cdot a_{i_nj_n}$ $(i_1,i_2,\dots,i_n)\in T_n \thus$ компонента $$det A = \sum_{i=(i_1,i_2,\dots,i_n)\in T_n}(-1)^{I(i)}\cdot a_{i_11} \cdot a_{i_22} \cdot \dots \cdot a_{i_nn}$$ № 189 $(-1)^{8} a_{61}a_{23}a_{45}a_{36}a_{12}a_{54}$ $\emat{&1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\\i=(&6&1&2&5&4&3&)\in T_6}$ $I(i) = 5 + 2 + 1+ 0+0=8$ Свойства $det(a_1a_2\dots\alp b + \beta c \dots a_n) = \alp\ det(a_1 a_2 \dots b \dots \alp_n) + \beta\ det (a_1 a_2 \dots c \dots a_n)$ $det A = \cum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$ $det A = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$ $\det{1&1&1&\dots&1\\1&1-x&1&\dots&1\\1&1&2-x&\dots&1\\\dots\\1&1&1&\dots&n-x} = 0$ $f(x) = P_n(x)$ $x = 0, x= 1,\dots,x=n-1$ ## Лек Утверждение Необх и дост условием равенства определителя нулю является линейна зависимость его строк или столбцов