1  
1 1  
1 2 1  
1 3 3 1  
1 4 6 4 1  
1 5 10 10 5 1  
1 6 15 20 15 6 1  

a$ $\thus \frac a 2 + \frac a 2 < c < \frac b 2 + \frac b 2 \thus a < c < b$ следствие между любыми двумя рациональными числами лежит бесконечно много рациональных чисел $\epsilon \in \QQ, \eps > 0, a \in \QQ$ $\eps$ в окрестности числа $a$ называется множеством рациональных чисел, отличающихся оп абсолютной величине от числа $a$ меньше чем на $\eps$, то есть $\Mu_\eps(a) = \set{r | r\in\QQ, \norm{r-a}<\eps}$ Теорема: у двух различных рациональных чисел всегда можно найти непересекающийся $\eps$ окрестности $\forall a\in\QQ\forall b\in\QQ : a \neq b : \ex \eps > 0 : \Mu_\eps(a) \cup \Mu_\eps(b) = \emptyset$ Доказательство $b > a, \eps < \frac {b-a} {2} \thus b - a > 2 \eps \thus \Mu_\eps(b) \cup \Mu_\eps(a) = \emptyset$ ### 2.9 Мощьность множества рациональных чисел Теорема $\QQ$ - счетно $\QQ = \QQ_+ \cup \QQ_- \cup \set{0}$ Разбиением множества называется представление его в виде объединения непересекающийхся подмножееств $\QQ_+ = \set{\frac m n | m\in\NN, n\in\NN}$ n\m | 1 |2 | 3 | 4 | $\;\;\;$ -|-|-|-|- | - 1 | $\rightarrow$ | $\downarrow$ | $\rightarrow$ | $\downarrow$ | . 2| $\downarrow$ | $\leftarrow$ | $\uparrow$ | $\downarrow$ | . 3| $\rightarrow$ | $\rightarrow$ | $\uparrow$ | $\downarrow$ | . 4| $\downarrow$ | $\leftarrow$ | $\leftarrow$ | $\leftarrow$ | . $\;$| . | . | . | . | . (картинка с "змейкой", идещей по каждой точке) Дз: доказать, что $\QQ$ - счётно Таким образом мы нахоим все $\QQ$ Теорема: множество, являющееся объединением счётного числа счетных множетсв является счетным ### 3.1 Рациональные последовательности и действительные числа $\NN \dn y \rightarrow \QQ$ Множетсов прообразов называется множеством номеров, а множетсов образов называется членами последовательности $y_n$ - номерованный элемент Множество - $\set{y_n}$, $n\in\NN$ Способы адания последовательности: 1) явное - $y_n = f(x)$ 2) рекуррентное - $\cases{y_n = f(y_{n-1}, y_{n-1}, \dots, y_{n-k}) \\ y_1, y_2, y_k}$ Пример: $\cases{y_n = y_{n-2} + y_{n-1} \\ y_1 = 1 \\ y_2 = 1}$ $\ex N \forall n > N :y_{n+1} \geq y_n$ - нестрого возрастающая определение убывающей последовательности аналогично Возрастаюющая или убывающая последовательность называется монотонной Могут быть строго или не строго монотонные последовательности Определение Последовательность называется ограниченной сверху, если $\ex M: \forall n : y_n < M$ - сверху $\ex m: \forall n : y_n > m$ - снизу если последовательность ограничина и сверху и снизу, то она называется просто ограниченной ### 3.2 Фундаментыльные поседовательности Последовательность называется фундаментальной, если для неё выполнен критерий Коши: $\forall \eps > 0 \ex N: \forall n_1 > N : \forall n_2 > N : \norm{y_{n_1} - y_{n_2}} < \eps$ $(1 +\frac 1 n) ^ n$ Примеры 1) $y_n = \frac 1 n$ фундамент $N = [\frac 1 \eps] =1$ 2) $y_n = (-1)^n$ Теорема Доказательство $\eps \rightarrow \ex N \forall (n_1 > N, n_2 > N) : \norm{y_{n_1} - y_{n_2}} <\eps$ $n_1 = N + 1, n_2 = n$ $\norm{y_{N+1} - y_n} < \eps$ $y_{N+1} - \eps < y_n < y_{N-1} + \eps$ $X = \set{y_1, y_2, \dots, y_N}$ $C_1^x = min(y_k), y_k \in X$ $C_2^x=max(y_k), y_k \in X$ $\forall y_k \in X : C^x_1 - \eps < y_k < C_2^x + \eps$ $C_1 = min(y_{N+1}, C_1^+ - \eps)$ $C_2 = max(y_{N+1}+\eps, C_2^* + \eps)$ $\forall y_k : C_1 < y_k < C_2$ ## СЕМ 21.09.22 ## ЛЕК 22.09.22 Последовательность называется полностью монотонной, если её монотонность начинается с первого номера Фундаментальная последовательность (на прошлой лекции) Операции с последовательностью Суммы разности и произведения последовательности $\set{x_n}, \set{y_n}$ $\set{x_n + y_n}, \set{x_n - y_n}, \set{x_n \cdot y_n}$ Если $\forall n : y_n \neq 0$, то $\ex \set{\frac{x_n}{y_n}}$ Теорема: сумма, разность и произведение фундаментальных последовательностей также являются фундаментальными последовательностями Доказательство $\set{x_n}$ - фундаментальная $\thus \forall \epsilon > 0 \ex N_1: \forall n > N_1 \forall k > N_1: |x_n - x_k| < \eps / 2$ $\set{y_n}$ - фундаментальная $\thus \forall \eps > 0 \ex N-2: \forall n>N_2 \forall k >N_2: |y_n-y_k| < \eps/2$ $\eps \rightarrow N = max(N_1, N_2)$ Для суммы и разности $|(x_n\pm y_n)-(x_k\pm y_k)| = |(x_n - x_k)\mp(y_n-y_k)| \leq |x_n-x_k|+|y_n-y_k| < \frac\eps2+\frac \eps2=\eps$ Для произведения $\set{x_n}$ - фундаментальная $\thus \set{x_n}$ - ограниченное $\thus \ex M_1: \forall n: |X_n| N: (|x_n-x_k|<\frac\eps{2M} \cap |y_n-y_k|<\frac\eps {2M})$ $|x_ny_n-x_ky_k| = \frac 1 2 |x_ny_n+x_ny_n+x_ny_k-x_ny_k+x_ky_n-x_ky_n-x_ky_k-x_ky_k| = \frac 1 2 |x_n(y_n-y_k)+y_n(x_n-x_k)+x_k(y_n-y_k)-y_k(x_n-x_k)| \leq |(x_n+x_k)(y_n-y_k) + (y_n+y_k)(x_n-x_k)| < \frac 1 2( 2M\cdot\frac\eps{2M}+2M\cdot\frac\eps{2M}) = \eps$ ### 3.3 Предел последовательности $a$ - предел полседовательности, если $\forall\eps>0\ \ex N: |x_n - a| < \eps$ $x_n\in \UU_\eps(a)$ Теорема Если есть последний предел, то этот предел единственный Предположим, что $(\ex lim_{x\rightarrow\inf}{x_n} = a) \cap (\ex lim_{n\rightarrow\inf} x_n = b)$ $a\neq b \thus \ex\eps>0: \UU_\eps(a)\cap\UU_\eps(b)=\emptyset$ $\ex N_1:\forall n > N_1: x_n\in\UU_\eps(a)$ $\ex N_2:\forall n > N_2: x_n\in\UU_\eps(b)$ $N=max(N_1,N_2)\thus\forall n> N:(x_n\in\UU_\eps(a))\cap(x_n\in\UU_\eps(b)) \thus x_n\in(\UU_\eps(a)\cap\UU_\eps(b))=\emptyset$ Если последовательность имеет предел, то эта последовательность фундаментальная $a=lim_{n\rightarrow\inf}x_n$ $\ex(a=\lim n\inf x_n)\thus\set{x_n}$ - фундаментальная Доказательство $\eps \rightarrow \ex N: \forall n > N : |x_n-a| < \frac \eps 2$ $n>N,k>N$ $|x_n-x_k|=|(x_n-a)-(x_k-a)|\leq|x_n-a|+|x_k-a|<\frac \eps 2 + \frac \eps 2 = \eps$ #### Бесконечно малые и бесконельно большие последовательности Последовательность $\set{\alp_n}$ - бексонечно малая, если $lim_{n\rightarrow\inf}d_n=0$ Любую последовательность, имеющую предел, можно представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой последовательности $(\lim n \inf x_n = a) \thus (a+\alp_n=x_n, \lim n \inf \alp_n = 0)$ 1) Б.б. положительная последоветальность $\lim n \inf x_n = + \inf: \forall M > 0\ \ex N : \forall n>N : X_n > M$ 2) Б.б. отрицательная последовательность $\lim x \inf x_n = -\inf: \forall M>0: \ \ex N: \forall n>N: X_n \leftarrow M$ 3) Б.б. по модулю $\lim n \inf x_n = \inf : \forall M > 0\ \ex N: \forall n > N: |X_n| > M$ $x_n = \cases{0, n=2k\\n,n=2k-1}$ #### Подпоследовательности $n_k, n \in \NN, k\in\NN$ $\forall k: n_{k+1}>n_k$ $\set{n_k}$ - некая последовательность $\set{x_{n_k}}$ - подпоследовательность Теорема, если последовательность $(\lim n \inf x_n =a) \thus (\lim k \inf x_{n_k} = a)$ Доказательство $\set{n_k}$ - Б.б. положительная последовательность $\forall A \ex k_1 \forall k>k_1: n_k>A$ $\forall \eps > 0 \ex N \forall n > N : |x_n - a| < \eps$ $\eps \rightarrow N$ $k_1:\forall k>k_1: n_k>N \thus |x_{n_k}|<\eps$ Теорема Пусть $\ex \lim n \inf x_n = a, \ex\lim n \inf y_n = b$ $\lim n \inf (x_n\pm y_n) = a\pm b$ $\lim n \inf x_ny_n=ab$ $(b\neq0)\cap(\forall n : y_n \neq 0) \ \ \ \ex \lim n \inf \frac {x_n} {y_n} = \frac a b$ Доказательство 1) Для суммы и разности $\lim n \inf x_n = a \thus \forall \eps > 0\ \ex N_1 \forall n > N_1: |x_n - a| < \eps/2$ $\lim n \inf y_n = a \thus \forall \eps > 0\ \ex N_2 \forall n > N_2: |y_n - a| < \eps/2$ $N=max(N_1,N_2)$ $|(x_n \pm y_n)-(a\pm b)| = |(x_n-a)\pm(y_n-b)| \leq |x_n - a| +|y_n-b| < \eps/2+\eps/2=\eps$ 2) Для произведения $\set{x_n}$ имеет предел $\thus\set{x_n}$ -фунд $\thus \set{x_n}$ - огр $\thus \ex M_1:|X_n| N :\cases{|x_n-a|<\frac\eps{2M}\\|y_n-b|<\frac \eps{2M}}$ $|x_ny_n-ab|=\frac 1 2 |x_ny_n+x_ny_n + a x_n - ax_n + by_n-by_n-ab-ab| = \frac a b |y_n(x_n-a) + x_n(y_n-b) +a(y_n-b) + b(x_b-a)|<\frac 1 2 (M\eps/2M r...?4) <\eps$ ## ЛЕК 29.09.22 ## ЛЕК 03.10.22 александрович графс #### 4 $a, a\in\ZZ$ $a = \pm \sum_{k=0}^n e_kq^k, l_n\neq0$ Лемма 2 $a \in\NN, a=\sum_{k=0}^Ne_kq^k, e_n\neq0$ $q^N\leq a\leq q^{N+1}$ Доказательство 1) $a\geq q^N : a=e_Nq^N+\sum_{k=0}^{N-1}e_kq^k \geq q^N$ 2) $a < q^{N+1} : a=\sum^N_{k=0}e_kq^k\leq (q-1)\sum^N_{k=0}q^k=(q-1)\frac{q^{N+1}-1}{q-1} = q^{N+1}-1 < q^{N+1}$ Теорема, пусть задана некая система счисления с основанием $S_q, N\in\NN, a\in\QQ, 0\leq a<1$ Число a, с погрешностью $\eps < \frac{1}{q^N}$ может быть представленно в виде $a\simeq \sum^N_{k=1}\frac{e_k}{q^k}$, т.е. $a=\sum^N_{k=1}\frac{e_k}{q^k}+\pi, |\pi|<\frac 1 {q^N}$ Доказательство отрезок $[0, 1) = \cup^{q^N-1}_{p=0} [\frac{p}{q^N};\frac{p+1}{q^N})$ $[0,1) = [0, \frac{1}{q^N}) \cup (\frac{1}{q^N}, \frac{2}{q^N}) \cup (\frac{2}{q^N}, \frac{3}{q^N}) \dots \cup (\frac{q^N-1}{q^N}, 1)$ $a \in [\frac{p}{q^N}, \frac{p+1}{q^N})$ $\frac{p}{q^N} \leq a < \frac{p+1}{q^N}$ $p=\sum^N_{k=0}e_kq^k$ $a\geq q^{N^*}, a 1$, то $e_1'=e_1'=e_{N-N^*-1}=0$ $a\leq a-\sum^N_{m=1}\frac{e_m'}{q^m} < \frac 1 {q^N}$ $\thus a = \sum^N_{m=1}\frac{e_m}{q^m}+\pi, |\pi|<\frac{1}{q^N}$ Пусть дана система основания $q$ - последовательность 1) руккурентная $\block{cases}{q_1 = \frac{e_1}{q} \\ q_{n+1} = q_n + \frac{e_{n+1}}{q^{n+1}}}$ 2) произвольная $q_n = \sum^n_{k=1}\frac{e_k}{q^k}$ $Q_n' = a\pm q_n, a\in\ZZ$ при q = 10 любая такая последовательность - бесконечная десятичная дробь Теорема 2 Любая Q последовательность является фундаментальной $\set{q_n}, p\in \NN$ $r_n=|q_{n+p}-q_n|$ докажем что $r_n$ - бесконечно малая $q_{n+p}-q_{n} = \sum_{k=1}^{n+p}\frac{e_k}{q^k} - \sum^n_{k=1}\frac{e_k}{q^k}=\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{e_k}{q^k} \leq (q-1)\sum^{n+p}_{k=n+1}\frac 1 {q^k} = (q-1)\frac 1 {q^{n+1}} \frac {1-\frac{1}{q}p} {1-\frac{1}{q}} = \frac 1 {q^n}(1-\frac{1}{q^p}) <\frac 1 {q^n}$$0\leq r_n < \frac 1 {q^n} \thus \lim n \inf r_n = 0 \thus \forall \eps > 0 \ex N : \forall n > N :|q_{n+p} - q_n| < \eps$ $\rightarrow$ критерий каши $\rightarrow$ $q_n$-функция $Q_n = a\pm q$ - фундаментальная Теорема 3 $Q_n = a + q_n \uparrow$ $Q_n' = a - q_n \downarrow$ Доказательство $\set{q_n}\uparrow$ $q_{n+1} - q_n = \frac{e_{n+1}}{q^{n+1}} \geq 0$ $Q_{n+1} - Q_n = \frac{e_{n+1}}{q^{n+1}} \geq 0$ $Q_{n+1}' - Q_n' = \frac{e_{n+1}}{q^{n+1}} \leq 0$ ### 3.6 Классы эквивалентности фундаментальных последовательностей Опр 1 $\set{x_n}, \set{y_n}, \set{x_n} ~ \set{y_n}$ - если начиная с некотрого номера попарная разность членов этой последовательности становится меньше любой заданной величины, т.е. $\forall \eps > n \ex N : \forall n > N |x_n - y_n| < \eps$ Опр 2 фунд послед эквивалентны, если их $\set{x_n} \sim \set{y_n} \ident \lim n \inf (x_n - y_n) = 0$ Класс (эквивалентности) - множество всех эквивалентных между собой последовательностей $a_n = \frac 1 n, b_n = \frac 1 b^2, c_n 1 - \frac 1 n, d_n = 1 - \frac 1 n^2$ $a_n \sim b_n, \set{a_n}\in X_1, \set{b_n} \in X_1$ $c_n \sim d_n$ Любая фунд последовательность имеет предел Теорема 1 Если некоторая последовательность из класса х имеет предел, то все последовательности из этого класса имеют тот же предел $\set{x_n}\in X, \ex \lim n \inf x_n = a$ $\eps > 0$ $\ex N_1 :\forall n > N_1 : |x_n - a| <\frac{\eps}{2}$ $\set{y_n}\in X$ $\ex N_2 :\forall n > N_2 : |x_n - y_n| <\frac{\eps}{2}$ $N = max(N_1, N_2)$ $|y_n-a|=|y_n - x_n + ax_n - a| \leq |y_n - x_n| + |x_n - a| < \eps$ Пусть задана система сисления с основанием q, тогда любой класс фундаментальных последовательносетей содержит хотя бы одну Q последовательность $\set{x_n}\in X$ посмтоим $\set{Q_n} \sim \set{x_n}$ $\eps > 0$ Из фунд $\set{x_n}$ следует, что $\ex N_1 : \forall n > N_1 \forall p\in\NN : |X_{n+p} - x_n| < \frac{\eps}{3}$ Выбираем $N_2\in\NN : \frac 1 {q^{N_2}} < \frac {\eps}{3} \thus \forall n > N_2 : \frac 1 {q_n} < \frac {\eps}3$ $N=max(N_1, N_2)+1$ Рассмотрим член последовательности $X_N = a + \sum_{k=1}^{N}\frac{e_k}{q_k} +\pi, |\pi|<\frac{1}{q^N} \thus |\pi| <\frac{\eps}{3}$ $Q_n = a + \sum^N_{k=1}\frac{e_k}{q^K} + \sum^n_{k=N+1}\frac{e_k}{q^K}$ $r_n = \sum^n_{k=N+1}\frac{e_k}{q^K} \leq (q-1)\sum^n_{k=N+1}\frac{1}{q^K} = \frac{q-1}{q^N}\sum^{n-N}_{k=1}\frac{1}{q^K} = \frac{q-1}{q^N}\frac 1 {q} \frac {1 - \frac{1}q (n-N)}{1 - \frac{1}{q}}$ $n>N$ $|Q_n - X_n| = |Q_n - Q_N + Q_N - X_N + X_N - X_n| \leq |Q_n - Q_N| + |Q_N-X_N| +|X_N-X_n| < \frac{\eps}3 + \frac{\eps}3 +\frac{\eps}3 = \eps$ $\pi$ ## ЛЕК 06.10.22 $0.12345 \dots = \frac 1 {10} + \frac 2 {10^2} + \frac 3 {10^3} \dots$ #### Теорема 3 Длю любой возрастающий $q$ -последовательности существует эквивалентная ей убывающая $q$-последовательность $\forall \set{Q_n} \uparrow \ex \set{Q_n} \downarrow : \set{Q} \sim {Q_n'}$ Доказательство $Q_n = a+q_n = a+\sum^n_{k=1}\frac{e_k}{q_k}$ Докажем, что $\ex \set{Q_n'} : (Q_n' = b - q_n, \set{Q_n'} \sim \set{Q)n})$ $\set{Q_n}\sim\set{Q_n'}\ident\lim n \inf (Q_n-Q_n') = 0$ Пусть $Q_n'=a+1-\sum^n_{k=1}\frac {e_k'}{q_k}$ $Q_n-Q_n' = 1 + \sum^n_{k=1}\frac{e_k'-e_k}{q^k}$ выбираем при условии $e_k' : e_k'+e_k=q-1$ $Q_n-Q_n' = \sum^n_{k=1}\frac{q-n}{q^k}-1=(q-1)\sum^n_{k=1}\frac 1 {q^k} -1 = (q-1)\frac 1 q \frac {\frac 1 {q_n}-1}{\frac 1 q - 1} - 1 = (1-\frac 1 {q^n}) - 1 = -\frac 1 {q^n}$ $\lim n \inf (Q_n-Q_n') = \lim n \inf (-\frac 1 {q_n}) = 0$ #### Определение Пусть X - некоторый класс эксивалентной последовательности Выделим из него два подкласса $X_1 \subset X$ - полностью монотонно возрастающих $\uparrow$ последовательностей, $X_2 \subset X$ - полностью монотонно убывающих $\downarrow$ последовательностей $X_1^\star = \set{x | x = x_k, \set{x_k} \in X_1}$ - множество всех элементов подкласса $X_1$ Аналогично вводим $X_2^\star = \set{x | x = x_n, \set{x_n} \in X_2}$ #### Качественные критерии сравнения классов $X, Y, C \neq Y$ $X \prec Y$ - качественное сравнение $\ex p > 0 \ex N \forall n > N : \forall \set{x_k}\in X\forall\set{y_n}\in Y: y_n - x_n > p$ - в таком случае класс X качественно меньше класса Y #### Теорема 4 $X, \set{x_n}\in X_1, \set{y_n}\in X_2$ тогда, если мы возьмём два произвольных номера $\forall k \in \NN \forall m \in \NN : y_k \geq x_m$ равенство возможно только в случае $x_m=y_k=x$ если x - общий предел всех классов X $x = \lim n \inf x_n = \lim n \inf y_n$ Доказательство Предположим противное $x_m > y_k$ $\set{x_n} \uparrow \thus \forall n > m : x_n \geq x_m$ т.к. $\set{y_n} \downarrow \thus \forall n > k : y_n \leq y_k$ $x_m - y_k = x > 0 \thus \forall n > min(m, k) : x_n - y_n > z$ $\set{x_n} \sim \set{y_n} \thus \forall \eps > 0 \ex N : \forall n > N : |x_n-y_n|<\eps$ $n^\star=max(m, k, N)$ $\eps = \frac pi 2$ при $n >N^\star$ $\cases{x_n-y_n = |x_n - y_n| >z \\ |x_n - y_n|<\frac z 2}$ 2) если $x_m=y_k$ $\thus \cases{\forall n > m : x_n = x_m \\ \forall n > k : y_n = y_k} \thus \lim n \inf x_n = \lim n \inf y_n \thus x_m = y_k = a$ из теоремы о единственности следует, что все последовательности класса X имеют предел a $\forall \set{z_n} \in X : \lim n \inf z_n = a$ #### Теорема 5 $X$ - произвольный класс фундаментальной последовательности тогда $X_1^\star \cap X_2^\star$ либо пусто, либо состояит из дениственного элемента - общего предела всех последовательностей класса X Доказательство $a\in X_1^\star, b \in X_2^\star$ из теоремы 4 следует, что либо $a < b$, либо $a = b = x = \lim n \inf x_n, \set{x_n}\in X$ т.к. $\exo (\lim n \inf x_n = x \forall \set{x_n} \ in X)$, то если предел существует, то $X_1^\star \cap X_2^\star = x$, иначе $X_1^\star \cap X_2^\star = \emptyset$ #### Теорема 6 Пусть X - произвольный класс фундаментальной (рациональной) последовательности $X_1^\star \cup X_2^\star = \QQ$ Доказательство возьмём $a \in \QQ$ Предположим $\ex \set{x_n} \in X_1, \ex N : x_n > a, N \geq 2$ построим новую последовательность $\set{z_n} : z_1 = a, z_2 = x_N, z_3 = x_{N+1} \dots z_k = x_{N+k-2} \dots$ $\set{z_n} \sim \set{x_n} : |z_n - x_n| = |x_{N + n - 2} - x_n| < \eps \thus$ из фундаментаольности последовательности $\set{x_n}$ $\cases{\set{z_n} \in X_1 \\ a \in \set{z_n}} \thus a \in X_1^\star$ 2-й случай предположим, что существует такая последовательность $\ex \set{y_n} : (\set{y_n} \in X_2, \ex N : y_N < a) \geq 2$ $\set{}$........ 3-й случай предположим, что $a = x_n + \alp, a= y_n + \beta, \alp + \beta = 1$ $\forall n \forall \set{x_n} \in X_1 \forall \set{y_n} \in X_2 : x_n < a < y_n$ т.к. $\set{x_n} \sim \set{y_n} \thus \forall \eps > 0 \ex N: \forall n > N$ $y_n - x_n > \eps \thus \cases{|x_n - a| < \eps \\ |y_n - a| < \eps} \thus \lim n \inf x_n = \lim n \inf y_n = a \thus a \in X_1^\star \cup X_2^\star \thus$ $\thus \cases{a\in X_1^\star \\ a\in X_2^\star} \thus X_1^\star \cup X_2^\star = \QQ$ ### 3.7 Действиельныйе числа пусть $U$ - некоторое упорядоченное множество $\forall x \in U, y\in U : (x > y) \cup (x < y)$ Отрезком в множесте U с левым концом $x_1$ и правым концом $x_2$ называется $k = \set{x | x_1 \leq x \leq x_2}$ Системой вложенных отрезков называется бесконечное множество отрезков левые концы, которых образуют польностью возрастающую последовательность, а правые полностью убывающую последовательность $\set{x_n} \uparrow \set{y_n}\downarrow$ при дополниительном условии $\set{x_n} \sim \set{y_n}$ система отрезков называется стягивающейся или канторовой системой отрезков $U = U_1 \cup U_2 : \forall x\in U_1 \forall y\in U_2: y \geq x$ - додекиндорово разбиение #### Определение 1 Множество U называется неприрывным, если в нём любая стягивающаяся система вложенных отрезков всегда имеет один общий элемент #### Определение 2 Множество U называется непрерывным, если при любом его додекиндровом разбиении подмножетсво $U_1\ и\ U_2$ всегда имеют один и только один общий элемент #### Определение 3 Множетво U называется непрерывным, если любая фундаментальная последовательность его элементов всегда имеет в качестве предела элемент этого же множества ## ЛЕК 13.10.22 Дополним рациональные числа новыми элементами, которые являтся пределами рациональной фундаментальной последоательности, не имещющих предела в множестве рациональных чисел Эти числа называются иррациональными А объединение рациональных и иррациональных - $\RR = \set{x | x = \lim n \inf a_n, \forall n \ a_n \ \QQ}$ $\QQ \subset \RR$ $\RR \setminus \QQ = \II$ - множество иррацональных чисел #### Теорема Множество действительных чисел является непрерывным по всем трём определениям (проверьте это сами) Любому действительному множеству... $x \rightarrow X, x\in\RR, X$ - класс фундаментальных последовательностей $\forall x (\ex\set{Q_n}\uparrow \in X, \ex\set{Q_n'}\downarrow \in X)$ $x = \lim n \inf Q_n = \lim n \inf Q_n'$ $\forall n : Q_n \leq x \leq Q_n'$ $\set{Q_n}$ - представление числа x в q-ичной стсиеме счисления Все арифметические свойства рациональных чисел переносится на иррациональные Упорядоченность также остаётся #### Теорема Множество действительных чисел состовляет непрерывное упорядоченное поле к примеру, $\set{a + b\sqrt 2 | a\in\QQ, b\in\QQ}$ - упорядоченное поле Множество действительных чисел можно ввести аксиоматически В этом случае оно определяется таким образом: множество элементов с свойствами: 1) аксиомы поля (абелева группа по + и $*$) 2) удволетвояют условию упорядоченности $\forall a \forall b \neq a : (a > b) \cup (b > a)$ 3) аксиома непрерывности (одно из 3-х определений) ### 3.8 Мощьность. Множество действительных чисел. #### Теорема 1 (Кантора) Множество действительных чисел несчётно $|\RR| > \aleph_0$ Доказательство докажем, что $[0, 1)$ несчётно $x \in [0, 1)$ $x = \frac {e_1} {q} + \frac {e_2} {q^2} +\dots +\frac {e_n} {q^n} +\dots$ $q \geq 2$ $x_1 \rightarrow e_{11} e_{12} e_{13} e_{14} \dots e_{1m} \dots$ $x_2 \rightarrow e_{21} e_{22} e_{23} e_{24} \dots e_{2m} \dots$ $x_3 \rightarrow e_{31} e_{32} e_{33} e_{34} \dots e_{3m} \dots$ $\dots$ $x_k \rightarrow e_{k1} e_{k2} e_{k3} e_{k4} \dots e_{km} \dots$ $\dots$ $y \rightarrow e_1' e_2' \dots e_k' \dots$ $e_1' \neq e_{11}$ $e_2' \neq e_{22}$ $e_3'\neq e_{33}$ $\dots$ $e_k'\neq e_{kk}$ $\thus y$ не стоит в к-той строке $\dots$ $y = \frac {e_1'} {q} + \frac {e_2'} {q^2} +\dots +\frac {e_n'} {q^n} +\dots$ $0 \leq y < 1$ $|\RR|=\aleph_1$ $\aleph_1 > \aleph_0$ контунуум - любое множество, имеющее такую мощьность #### Теорема 2 Между любыми двумя различными действительными числами лежит бесконечно много как рациональных так и иррациональных чисел $x_1 \in \RR, x_2 \in \RR, x_2 > x_1$ докажем $[x_1, x_2]$ включает в семя бесконечно много рациональных чисел пусть $x_2-x_1 = r$ $\set{Q_n}\uparrow, \lim n \inf Q_n = x_2$ $\ex N : \forall n > N |x_2 - Q_n| = x_2 - Q_n < r \thus$ при $n > N: x_1 < Q_n \leq x_2$ - бесконечно много рациональных $x' = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}, x'\in[0, 1]$ $x' \leftrightarrow x$ $|\set{x'}| = |\set{x}| = \aleph_1$ удалим из промежутка все рациональные числа $I = \set{x}\setminus \set{a | a\in \QQ, x_1 \leq a \leq x_2}$ $|I| = \aleph_1$ таким образом в промежутке бесконечно много иррациональных чисел ### 3.10 Комплексные числа #### Определениеъ 1 $\set{F_k}$ - множество отображений $F_k: A \rightarrow B_k$ $\set{(a,b) | a\in A, b\in B_k}$ $F = \set{F_k}$ - многозначное отображение $\RR: 1 \rightarrow \NN \rightarrow \ZZ \rightarrow \QQ \rightarrow \RR$ $\RR': 1' \rightarrow \NN' \rightarrow \ZZ' \rightarrow \QQ' \rightarrow \RR'$ $\forall a \in \RR \forall a' \in \RR': a' = a*1'$ $1' = i$ - мнимая еденица $a' = ia$ - тоже мнимая единица совмещаем эти множества $Z = a + ib\ \ (\star), a\in \RR, b\in\RR$ $Z_1 = a_1 +ib_1, z_2 = a_2 =ib_2$ $Z_1 \pm Z_2 = (a_1\pm a_2) + (b_1\pm b_2)i \ \ (\star \star)$ $Z_1 * Z_2 = a_1a_2 + i(a_1b_2+a-2b_1)+i^2b_1b_2$ предположим $i^2=-1 \ \ (\star\star\star)$, т.к. по модулю должно быть 1, но не может быть 1 $Z_1*Z_2 = (a_1a_2-b_1b_2) + i(a_1b_2+a_2b_1)\ \ \ (\star\star\star\star)$ #### Опредение 2 Множество чисел $(\star)$ алгебраические свойства которых определяются $(\star\star), (\star\star\star), (\star\star\star\star)$ называется комплексными числами Выражение $(\star)$ называется алгебраической формой записи комплесного числа #### Определение 3 Для $z = x + iy$ $x = Re\ z$ - действительная часть $y = Im\ z$ - мнимая часть $|z| = \ro = \sqrt{x^2+y^2}$ - модуль $\phi$ - аргемент $\cases{x=\ro\cos\phi\\ y=\ro\sin\phi}$ 1) главный аргумент $arg\ z = \phi$, $-\pi < \phi \leq \pi$ 2) полный аргумент $Arg\ z = arg\ z +2\pi n$ комплексное число рисуется как вектор #### Определение 5 Число $\upline Z = a - bi$ - комплесно сопряжённое число $|\upline Z| = |Z|$ $arg\ \upline Z = -arg Z$ $Z \upline Z = \pi^2 =|Z|^2$ ## ЛЕК 17.10.22 Чтобы поделить одно комплексное число надо умножить его на комплесно сопряженное знаменателя $\frac{z_1}{x_2} = \frac{z_1 \upline{z_2}}{z_2\upline{z_2}} = \frac{z_1\upline{z_2}}{|z_2|^2}$ $\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i}{2} = i$ #### Теорема 1 Множество вокплексных чисел составляет поле. $\CC = \set{x+iy|x\in\RR,y\in\RR,i^2=-1}$ #### Теорема 2 Мощьность множества комплексных чисел равна континууму $|\CC|=\aleph_1$ #### Теорема 3 (эйлер) $e^x, e = 2,718\dots$ $\forall \alp \in \RR : e^{i\alp} = \cos\alp + i\sin\alp$ $e^{i\pi} = -1$ $e^{i\pi} + 1 =0$ $z=x+iy=\rho(\cos\phi+u\sin\phi)$ $\rho e^{i\phi} = \rho e^{i(\phi+2k\pi)}$ #### Извлечение корня $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho e^{i(\phi + 2k\pi)}} = \sqrt[n]{\rho} e ^{\frac\phi n+k\frac{2\pi}{n}} = \sqrt[n]{\rho}\cases{\cos\frac{\phi}n+i\sin\frac{\phi}{n} \\ \cos\frac{\phi+2\pi}n+i\sin\frac{\phi+2\pi}{n} \\ \dots \\ \cos\frac{\phi+(n-1)2\pi}n+i\sin\frac{\phi+(n-1)2\pi}{n}}$ Пример $\sqrt[6]{1}$ $1 = e^{2k\pi i}$ $\sqrt[6]{1} = e^{\frac{2k\pi}{6}i} = e^{\frac{k\pi}{3}i} = \cases{1 \\ e^{i\frac \pi 3} \\ e^{\frac{2}{3}\pi} \\ -1 \\ e^{i\frac 4 3 \pi} \\ e^{i\frac 5 3 \pi}} = \cases{1 \\ \frac 1 2 + i\frac{\sqrt 3}2 \\ -\frac 1 2 +i\frac{\sqrt 3}{2} \\ -1 \\ -\frac 1 2 - i \frac{\sqrt 3}2 \\ \frac 1 2 - i \frac{\sqrt 3}{2}}$ ### 4. числовые последовательности и числовые множества #### 4.1 Основные понятия $S\subseteq \RR$ S - числовое множество - любое подмножество $\RR$ Числовая последователность - любое отображение $\NN$ на числовое множество Определения из парагрофов 2.8, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.6 Теоремы из парагрофов 3.2, 3.3, 3.4, 3.6 #### Определение 1 Расширенная числовая прямая $\upline\RR = \RR\cup{\inf} = \RR\cup\set{-\inf, +\inf}$ #### Определение 2 $[a, b], (a, b], [a, b), (a,b)$ $[a, b] = \set{x|a\leq x \leq b, x\in\RR}$ промежутоок #### Определение 3 $x\in\vec\RR$ в окрестностью точки х в широком смысле называется лбой промежуток, включающий в семя точку х Проколотой окрестностью в точке х называется окретсность точки х, за исключением самой точки х 1) $\eps$ - окрестность конечной точки $x\in\RR$ 2) Проколатая $\eps$ - окретсность $U_\eps(x) = (x-\eps, x+\eps)$ $U^\cdot_\eps(x) = (x-\eps, x)\cup (x, x+\eps)$ 3) Левая окрестность $x\in\RR:U_{-\eps} = (x-\eps, x]$ 4) Проколатая левая $x\in\RR:U^\cdot_{-\eps} = (x-\eps, x)$ 5) Правая $\eps$ - окрестность $x\in\RR:U_{+\eps} = [x, x+\eps)$ 6) Правая проколотая сть $x\in\RR:U^\cdot_{+\eps} = (x, x+\eps)$ 7) Окр $+\inf : U_{\eps}(\inf) = (\frac 1 \eps, +\inf)$ 8) Окр $-\inf: U_\eps(-\inf)=(-\inf, -\frac 1 2)$ 9) Окр $\inf: U_\eps(\inf)=(-\inf, -\frac 1 2)\cup(\frac 1 \eps, +\inf)$ #### Определение 4 $a\in\upline\RR$ $(a=\lim n \inf x_n)\ident(\forall \eps>0:\ex N: \forall n > N: x_n\in U_{\eps}(a))$ $(\lim n \inf x_n=a-0)\ident(\ex N: \forall n > N : x_n < a)$ $(\lim n \inf x_n = a+0) \ident (\ex N : \forall n > N : x_n > a)$ #### Теорема адын $\forall\set{x_n} \ex \set{r_n}:\set{x_n}\sim\set{r_n}$ Доказательство $\set{x_n}$ $n \rightarrow x_n$ $x_n\in\RR\thus\ex \set{Q_n} : \forall \eps > 0 \ex N : |Q_n-x_n|<\eps$ $Q_N \in Q \thus Q_N = r_n$ $\set{\eps_n}:\lim n \inf \eps_n = 0$ $\forall n : r_n : |x_n-r_n| < \eps \thus x_n-\eps < r_n < x_n + \eps$ $\thus \lim n \inf r_n = \lim n \inf (x_n-r_n) = \lim n \inf \eps_n = 0 \thus x_n \sim z_n$ #### Теорема 2 (каши) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной сходящаяся последоавтельность - последовательность, такая что $\ex a = \lim n \inf x_n, a\in\RR$ #### 4.2 Свойства числовых множеств ##### Определение 1 S - ограниченное свехру $\ident \ex y: \forall x\in S: x \leq y$ S - ограниченное снизу $\ident \ex y': \ex x\in S: x\geq y'$ #### Определение 2 $S_1$ верхняя грать (точная) - наименьшая из чисел, ограничивающее множество x $m=sup(S) \ident (\forall x \in S: x \leq M)\cap(\forall \eps > 0: \ex x'\in S : x'>M-\eps)$ супремум $m = inf(S)\ident (\forall x \in S : x \geq m) \cap (\forall \eps > 0\ex x'\in S : x' < m + \eps)$ инфинум #### Теорема 1 Ограниченное свеху числовое множество всегда имеет верхнюю грать, а снизу - нижнюю Доказательство S - ограниченное всехру $\thus \ex Y:\forall y\in Y \forall x \in S : x \leq y$ Построим множество $X$ следующим образом $X:\set{x|x\leq y\in Y}$ $X\cup Y =\RR$ Докажите, что $\beta = sup (S)$ $\beta \in Y \thus \forall x\ in S : x \leq \beta$ $\forall \eps > 0\ \beta - \eps \notin Y =\thus \ex x' \in S : x' > \beta-\eps$ $\thus \beta=sup(S)$ ## ЛЕК 20.10.22 #### Определение 3 Множество $S \subseteq \RR$ x - внутренняя точка множества S, если она входит во множество S вместе с некоторой своей окресностью $\ex U_{\eps}(x) \subseteq S$ x - граничная точка множества S, если в любой её окретсности есть точки принадлежащие множеству S и есть точки, не принадлежащие множеству S $\forall U_{\eps}(x) : (\ex y : y\in U_{\eps}(x)\cup S) \cup (\ex y : (y \in U_{\eps}(x)) \cup (y \notin S))$ x - точка прикосновения множества S, если любая её эпсилон окрестность содержит хотя бы одну точку из множества S $\forall U_{\eps}(x) : U_{\eps}(x) \cup S \neq \emptyset$ x - предельная точка множества S, если люба её эспилон-окретсность содержит бесконечное число точек множества эпсилон x - изолированная точка, если существует проколатая \псион-окрестность в этой точке, не содржащая точек множества S $\ex U_{\eps}^\star(x):U_{\eps}^\star(x)\cup S = \emptyset$ #### Определение 4 Множество S назвается открытым, если все его точки являются внутренними #### Определение 5 Замыканием множества S называется множество состоящее из всех точек прикосновения множества S $[S]: S \rightarrow [S]$ (добавление к множеству всех его предельных точек) #### Определение 6 Множество S называетс замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием $S = [S]$ #### Примеры Интервал $(a,b)$ - открытое $[a,b]$ - замкнутое $[a,b)$ - ни одно, ни другое $A=\set{x|x\in \QQ, 0 x \thus \ZZ$ ограниченно снизу $\thus \ex m = inf(\ZZ) \thus \ex L \in \ZZ : L < m+1 \thus L - 1 < m$ - противоречие 2) Аналогично $\ex N_2 \in \ZZ : x < N_2$ 3) $\ex N_1, N_2 :N_1 \leq x < N_2, N_1\in\ZZ,N_2\in\ZZ$ Пусть $k = N_2 - N_1$ $[N_1, N_2) = [N_1, N_1+1)\cup [N_1+1, N_1,+2), \dots [N_2-1, N_2)$ т.к. $x\in[N_1, N_2)\thus\ex p: x \in [N_1+p,N_1+p+1]$ $N_1+p=[X] = N\thus$ доказано Следствия: - Свойство Архимеда $\forall (a > 0, b > 0), a\in\RR, b\in\RR :\ex N : Na > b$ $N = [\frac 1 a] + 1[b]$ ### 4.3 #### Теорема 1 Числовых последовательностей О предельном переходе в неравенстве $\set{x_n}, \set{y_n} : \ex \lim n \inf x_n = a, \ex \lim n \in y_n = b$ Если существует $\ex N : (\forall n > N : y_n \geq x_n) \thus (b\geq a)$ Докажем от противного $a > b \thus a - b = r >0$ В силу сходимости последовательности $\forall N : \forall n > N : (|x_n - a| < \frac r 2) \cap (|y_n - b| < \frac r 2)$ При $n > N$ $(y_n - b) - (x_n - a)\leq |(y_n-b) - (x_n - a)| < |y_n-b| + |x_n-a| < r$ $\thus y_n - x_n = y_n-b - (x_n-a) + b - a < r - r = 0 \thus y_n-x_n < 0$ Противоречие Замечание $y_n>x_n\thus \lim n \inf y_n \geq \lim n \inf x_n$ Например $y_n = 1 + \frac 1 n$ $x_n = 1 - \frac 1 n$ $\thus$ $y_n > x_n$ $\lim n \inf y_n = \lim n \inf x_n = 1$ #### Теорема 2 обратная $\set{x_n}, \set{y_n}$ $(\lim n \inf y_n > \lim n \inf x_n) \thus (\ex N : \forall n > N : y_n > x_n)$ Доказательство $\lim n \inf x_n = a, \lim n \inf y_n = b$ $b - a = z$ $\eps = \frac r 3$ $U_{\eps}(a), U_{\eps}(b)$ $a = \lim n \inf x_n \thus \ex N_1 : \forall n > N_1 : x_n\in U_{\eps}(a)$ $b = \lim n \inf y_n \thus \ex N_2 : \forall n > N_2 : y_n \in U_{\eps}(b)$ $N = max(N_1, n_2)$ $n > N (x_n \in U_{\eps}(a))\cap (y_n\in U_{\eps}(b)) \thus y_n > x_n$ #### Теорема 3 вейерштрасса $\set{x_n}\uparrow$ имеет предел конечный, если она ограниченна свурхе, и бесконечный, если она не ограниченна сверху $\lim n \inf x_n = sup\set{x_n}$ $\set{y_n}\downarrow$ имеет предел конечный, если она ограниченна сниху и бесконечный, если она не ограниченна сниху $\lim n \inf y_n = inf \set{y_n}$ Доказательство $\set{x_n}\uparrow$ 1) Ограниченна сверху $\thus$ существует ея супремум $\ex \beta = sup \set{x_n}$ Докажем, что он является $\eps \geq 0$ по определению супремума $\ex N : x_n < \beta - \eps$ $\set{x_n}\uparrow \forall n > N : x_n > x_N \thus \forall n > N : \beta-\eps 0\ \ex N : x_N > \frac 1 \eps$ $\set{x_n}\uparrow \thus \forall n > N : x_n \geq x_n > \frac 1 \eps \thus x_n\in U_{\eps}(+\inf)\thus\lim n \inf x_n = +\inf$ 4) $\set{x_n}\downarrow$ неогр аналогично $\lim n \inf x_n = - \inf$ #### Теорема 4 Больцмана-Вейльштрасса Из любой ограниченной последоватлеьности можно выделить сходящуюся подпоследовательность Доказательство $\set{x_n} : a \leq x_n \leq b \forall n $ ... #### Теорема 5 Из всякой неограниченной последовательности можно выделит бесконечно большую последовательность определённого знака $\set{x_n}$ неогр сверху $\forall \eps > 0 \ex N : x_N > \frac 1 \eps$ вользмём $N_1 : x_{N_1} > 1$ $n > N_1$ $N_2 > N_1 : x_{N_2} >2$ $N_3>N_2 : x_{N_3}>3$ $x_{N_k} > k$ $y_k = x_{N_k}$ $\lim n \inf y_k = + \inf$ $\forall \eps > 0\ \ex : N >\frac 1 \eps \thus \forall n > N : x_n > \frac 1 \eps$ $\thus x_n \in U_{\eps}(+\inf) \thus \lim \ \ x_n = +\inf$ Доказано Для неограниченной снизу аналогично ## ЛЕК 27.10.22 #### Определение 1 $\set{x_n}, x_{n_k}\subseteq \set{x_n}$ если $\ex\lim k \inf x_{n_k}$, то называется частичным пределом $\set{x_n}$ Наибольший из частичных пределов называется верхним пределом $\uplim n \inf x_n$ Наименьший из частичных пределов называется нижним пределом $\dnlim n \inf x_n$ ### Теорема 6 Любая последовательность имеет как верхние так и нижние пределы Доказательство 1) $\ex$ верхнего предела Если $\set{x_n}$ неограничена $\thus \ex \set{x_{n_k}} : \lim k \inf x_{n_k} = + \inf \thus \uplim n \inf x_n = + \inf$ $\set{x_n}$ -огр сверху $A$ - множество частных пределов $\set{x_n}$ $\set{x_n}$ - огр $thus$ A - огр $\thus \ex sup(A) = a$ 2) $a$ - частичный предел $\set{\eps_n} : (\lim n \inf \eps_n = 0) \cap (\forall n\ \eps_n > 0)$ по определению супремума (для $f$) $\forall \eps_n \ex k : a-\eps_n < x_k \leq a$ Перебираем все номера, составим $\eps_1: k = n_1 : a-\eps_1 < x_{n_1} \leq a$ $\eps_2 : k=n_2 > n_1 \thus a - \eps_2 n_{p-1}: a-\eps_p < x_{n_p} \leq a$ $\set{x_{n_p}} : \forall p : a-\eps_p < x_{n_p} \leq a$ $\lim p \inf x_{n_p} = a \thus a \in A \thus a = \max(A) \thus a = \uplim n \inf x_n$ Аналогично, если $a^\star = inf(A) \thus a^\star = \dnlim n \inf x_n$ ### Теорема 7 Для того, чтобы последовательности была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы её верхний и нижний пределы совпадали Доказательство необходимости следует из теоремы о пределе последовательности Предпологается, что пределы конечны $\set{x_n}, \dnlim n \inf = \uplim n \inf = a$ Зафиксируем $\eps > 0$ и докажем, что $\ex N_1 : \forall n > N_1 : x_n < a + \eps$ Если $\not\ex x_n > a + \eps \thus N_1 = 1$ Предположим, что $\ex k = n_1 : x_k > a+\eps, n > n_1$ Если $\forall n > n_1 : x_n < a + \eps \thus N_1 = n_1$ $\ex k = n_1 > n_1 : x_k > a + \eps$ $n > n_2$ 1) останавливаемся на каком-то шаге $\thus \ex N_1 = n_{k}$ 2) процесс продолжается до бесконечности $\thus \set{x_{n_p}} :\forall p\ x_{n_p} > a + \eps \thus$ все частичные пределы для последовательности $\set{x_{n_p}} \geq a+ \eps \thus$ случай невозможен Аналогично $\ex N_2 : \forall n > N_2 : x_n > a - \eps$ Возьмём $N = \max(N_1, N_2) \thus \forall n > N : x_n \in \U \eps a \thus a = \lim n \inf x_n$ Доказано Важное следствие - если некоторая последовательность имеет два различных частичных предела, то она расходится ### Замечательные пределы. Экспоненты #### Теорема 1-я для зам пределов Для любой Б.М. последовательности существует такой предел $\forall \alp_n : \lim n \inf \alp_n = 0 : \ex \lim n \inf \frac{\sin \alp_n}{\alp_n} = 1$ Доказательство Нарисуем тригонометрическую окружность Прямая с углом $\alp$ Точка B - на оси x Точка A - пресечение окружности и прямой Точка D - 1 на оси x Точка C - на прямой OA и проецируется на D $|AD| > |AB|$ $\triangle AOB \subset \triangle AOD \subset \triangle COD \thus S_{\triangle AOB} < S_{\triangle AOD} < S_{\triangle COD}$ $OA = OD = 1$ $S_{\triangle AOB} = \frac 1 2 \sin\alp \cos \alp$ $S_{\triangle AOD} = \frac \alp {2\pi} \pi = \frac \alp 2$ $S_{\triangle COD} = \frac 1 2 \tg\alp$ $\frac 1 2 \sin\alp \cos \alp < \frac \alp 2 < \frac 1 2 \tg\alp$ $\cos\alp < \frac \alp {\sin\alp} < \frac 1 {\cos\alp}$ $\cos\alp < \frac{\sin\alp}\alp < \frac 1 {\cos\alp}$ $\cos^2\alp<\frac{\sin^2\alp}{\alp^2} < \frac 1 {\cos^2\alp}$ $1 - \sin^2\alp < \frac{\sin^2\alp}{\alp^2} < \frac 1 {1-\sin^2\alp}$ $1 - \alp^2 < \frac{\sin^2\alp}{\alp^2}<\frac 1 {1-\alp^2}$ $\alp \rightarrow \alp_1$ $1 - \alp_n^2 < \frac{\sin^2\alp_n}{\alp_n^2}<\frac 1 {1-\alp_n^2}$ $\lim n \inf \bracs{\frac{(\sin \alp_n)}{\alp_n}}^2$ $\frac{\sin\alp_n}{\alp_n}>0$ $\lim n \inf \frac{\sin\alp_n}{\alp_n} = 1$ #### Лемма 1 Если $\set{\alp_n}$ - Б.М. последовательность, то $(\lim n \inf \alp_n = 0) \thus(\lim n \inf (1+\frac{\alp_n}{n})^n = 1)$ Доказательство $(1 +\frac{\alp_n}{n})^n = 1 + \alp_n + \frac{\alp_n^2}{2!}(1-\frac 1 n) + \frac{\alp_n^3}{3!}(1 - \frac 1 n)(1 - \frac 2 n) +\dots+ \frac{\alp_n^k}{k!}(1-\frac 1 n)(1 - \frac 2 n)\dots(1-\frac{k-1}n)$ $< 1 + \alp_n + \frac{\alp_n^2}{2!}+\frac{\alp_n^3}{3!}+\dots+1 + \alp_n + \frac{\alp_n^2}{2!}+\frac{\alp_n^3}{3!}+\frac{\alp_n^4}{4!}+\sum_{k=5}^n{\frac{\alp_n^k}{k!}}$ При $k \geq 5 : k! > 2^k$ $(1+\frac{\alp_n}{n})^n < 1 + \alp_n + \frac{\alp_n^2}{2!}+\frac{\alp_n^3}{3!}+\frac{\alp_n^4}{4!}+\sum_{k=5}^n{\frac{\alp_n^k}{2^k}} = 1 + \alp_n (1 +\frac{\alp_n}2 +\frac{\alp_n^2}6 +\frac{\alp_n^3}{24}+\frac{\alp_n^4}{120}+\frac{1-(\frac{\alp_n}{2})^{n-5}}{1-\frac{\alp_k}{2}})$ $\lim n \inf (1+\frac{\alp_n}{n})^n=1$ #### Теорема 1 $\lim n \inf (1 +\frac 1 n)^n = e$ $e = 2.718\dots$ $x_n=(1+\frac 1 n)^n$ 1) $\set{x_n}\uparrow$ $x_{n+1}-x_{n} > 0$ $x_n = 1 + 1 + \frac 1 {2!}(1-\frac 1 n) + \frac 1 {3!}(1-\frac 1 n)(1-\frac 2 n)+ \dots + \frac{1}{n!}(1-\frac 1 n)\dots(1-\frac{n-1}n)$ $x_{n+1} = (1+\frac 1 {n+1})^{n+1} = 1 + 1 + \frac 1 {2!} (1-\frac 1 {n+1}) +\dots+\frac 1 {n!}(1-\frac 1 {n+1})(1-\frac 2{n+1})\dots(1-\frac{n_1}{n+1})+\frac 1 {(n+1)!}(1-\frac 1 {n+1})(1-\frac 2 {n+1})\dots(1-\frac{n-1}{n+1})(1-\frac {n}{n+1})$ $>x_n+\frac{1}{(n-1)!}(1-\frac 1 {n+1})(1-\frac 2 {n+1})\dots(1-\frac n {n+1})$ $> x_n \thus x_{n+1} > x_n$ 2) Ограниченность $n\geq 4$ $(1+\frac 1 n)^n = 1 + 1 +\frac 1 {2!}(1-\frac 1 n) + \frac 1 {3!}(1-\frac 1 n)(1 - \frac 2 n) + \sum^n_{k=4}\frac 1{k!}(1-\frac 1 n)(1-\frac 2 n)\dots$ $< 2 + \frac 1 {2!} + \frac 1 {3!} + \sum^n_{k=4}\frac{1}{2^k} = 2 +\frac 1 2 + \frac 1 6 + \frac 1 {2^4}(1-(\frac{1}{2})^{n-4})$ $< 2 +\frac{37}{48} \approxeq 2.77$ $\thus \ex \lim n \inf (1 + \frac 1 n)^n = e$ $2.5 < e <2.77$ ## 24.11.22 #### Определение 1 , параграф 5.6 Пусть некоторая точка $x \in D_{f}$ $x$ - не граничная точка ....... #### Определение 2 точка $x_0 \in [D]$, но не явл изолированной точкой этого замыкания называется точкой разрыва, если она не является точкой непрерывности функции $f(x)$ Точки разрыва, кроме граничных делятся на следующие три вида 1) устранимые $\ex \lim x x_0 f(x)$ 2) точки разрыва I рода $\ex f(x_0-0) = a, \ex f(x_0+0) = b, a \neq b$ $b-a$ - скачок функции 3) точки разрыва II рода - все остальные #### Пример 1 $f(x) = \cases{x\sin\frac 1 x, x\neq c \\ 1m x = 0}$ x - устр #### Пример 2 $f(x) = sgn x = \cases {1, x>0 \\ 0, x = 0 \\ -1, x < 0}$ 0 - точка разрыва 1-го рода b - a = 2 #### Пример 3 $y = \frac 1 x, x = 0$ - II рода #### Пример 4 Функция дирефле $f(x) =\cases{1, x \in \QQ \\ 0, x \in \RR\setminus \QQ}$ ### Теорема 1 $f(x), g(x)$ - непрерывна в $x_0$, тогда $\alp f(x) + \beta g(x)$ $f(x) g(x)$ непрерывны $g(x_0) \neq 0 \thus \frac {f(x)} {g(x)}$ - непрер в $x_0$ доказательство следует из теоремы 4 п 55 ### Теорема 2 $g(x)$ - непрерывна в $x_0$ $f(y)$ непрерывна в $y_0=g(x_0)$ то $f(g(x))$ непрерывна в $x_0$ доказательство следует из теоремы 8 п 5.5 ### Следствия из теорем 1 и 2 #### 1 $f_1(x), f_2(x) \dots f_n(x)$ - непр в $x_0$ $h(x)$ операция взятия суперпозиции при выполнении теоремы 2 мы получаем непрерывную функцию #### 2 $g(x)$ определена в окрестности x_0 $U(x_0)$ а $f(y)$ - непрерывна в точке $x_0$ $\lim x x_0 f(g(x)) = f(\lim x x_0 g(x))$ доказательство $\lim x x_0 f(g(x)) = \lim y y_0 f(y) = f(y_0)$ (непрерыв) $f(\lim x x_0 g(x)) = f(y_0)$ Доказано ### Теорема 3 Об обратной функции $f(x) : D_f \rightarrow E_f$ $(f\uparrow\uparrow) \vee (f\downarrow\downarrow)$ f строго возрастает и является непррвыной к важдой точке D То, обратная функция $f^{-1}(x)$ определена на $E_f$, стороого возрастает (строго убывает) И непрерывна на $E_f$ 1) $\ex f^{-1}$ $y_1 \in E_f, y_2 \in E_f$ $y_1 = f(x_1)$ $y_2 = f(x_2)$ $x_1 \neq x_2$ $\thus$ $y_1 \neq y_2$ $f$ - биекция $D_f \leftrightarrow E_f \thus \ex f^{-1} : E_f \rightarrow D_f$ 2) Мнонотонность $f^{-1}$ $y_1 \in E_f, y_2\in E_f : y_2 > y_1, y_1 = f(x_1), y_2 = f(x_2)$ $(y_2 > y_1) \thus (x_2 > x_2) \thus f^{-1}\uparrow\uparrow$ аналогично $(f\downarrow\downarrow) \thus (f^{-1}\downarrow\downarrow)$ 3) Непрерывность $f^{-1}$ $f(f^{-1}(x)) \equiv x$ $\lim x x_0 f(f^{-1}(x)) = \lim x x_0 x$ $\lim x x_0 f(f^{-1}(x)) = x_0$ $\lim x x_0 f^{-1}(f(x)) = x_0$ $\lim x x_0 f^{-1}(x) = f^{-1}(x_0)$ ### Теорема 4 О непрерывности $x^n$ $x^n$ - непрерывна на $\RR$, при $n \geq 0$ непр на $\RR \setminus \set{0}$, при $n < 0$ $n \in \ZZ$ $x^n \in C^0(R), n \geq 0$ $x^n \in C^0(\RR \setminus \set{0}), n < 0$ #### Доказательство 1) $n \geq 0 \thus D_f = R$ $x^n = x x x \dots x$ n раз - непрерыв по вереме 1 2) $n <0 \thus D_f=R \setminus \set{0}$ 3) $\frac 1 2 rac 1 2 #### Следситвие любоц многочлен непрерывен в $P(x) \in C^0(\RR)$ $R(x) = \frac {P(x)} {Q(x)} \in C^0(\upline{\RR} \setminus \Z_0)$ ### Терема 5 Непрерывность $e^k$ 1) Непрерывность в 0 2) Непрерывность в $x_0$ следствие $ln x, a^x, x^\alp$ - непрерывны в своих с ### Теорема 6 О непрерывности $\sin$, $\cos$ $\sin x \in C^0(\RR), \cos x \in C^0(\RR)$ Доказательство $\sin x, x=0$ $|\sin x| < |x|$ $\eps, \delta = \eps$ $|x| < \delta \thus |\sin x| < \eps \thus \lim x 0 \sin x = 0$ $\lim x 0 \cos x = \lim x 0 \sqrt{1 - \sin^2 x} = \cos(0)$ $\sin x$ в $x_0$ $\lim x x_0 \sin x = \lim t 0 sinx(x_0 + t)$ $=\sin x_0 \lim t 0 \cos t + \cos x_0 \lim t 0 \sin t = \sin x_0$ аналогично $\cos x$ в $x_0$ ### Теорема 7 Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения ## 5.7 непрерывность функции на множестве ### Теорема вейрштрасса непрерывная компактная функция ограничена и принимает максимальное и минимальное значение Доказательство $m = inf E_f, M = sup E_f$ 1) Докажем, что $M \in E_f$ $\set{a_n} : a_n < M, \lim n \inf a-n = M$ $M = sup E_f \thus \forall y_n > a-n, y_n < M, y_n = f(x_n), y-n \in E_f$ $\set{y_n}, \set{x_n} \subseteq D_f$ $D_f$ - огр $\thus \ex \set{x_{n_k}} : \lim k \inf x_{n_k} = x_0$ $D_f = [D_f] \thus x_0 \in D_f$ $Z_k = f(x_{n_k})$ Так как функция непрерывна $f(x)$ - нерп $\thus \lim k \inf Z_k = f(x_0)$ $\lim n \inf y_n = M \thus \lim k \in Z_k = M$ .... ## ЛЕК 12.12.22 Формула тейлора ### Опр 1 $f(x)\ x_0$ Многочлен тейлора нного порядка для $f(x)$ окрестности точки $x_0$ называется многочленом нной степени: его значений в точне $x_0$ и значение ысег его производных вплоть до к-й в это де точне совпалает с Говорят что многочлен тейлора имеет с f(x) в точке x0 Многочлен тейлора бесконечноог порядка называется рядом тейлора Многочлен тейлора нного порядка называется также разложением функции $f(x)$ в ряд тейлора до нного порядка включительно В приведённом определении предпологается, что все упомянутые функции $f(x)$ существуют Многочлен тейлора имеет следующий вид $P(x) = f(x_0) + \sum^n_{k=1}\frac{d^k(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ Доказательство ## Лек 08.02.23 ### 7. Интегралы #### 7.1 Определение интеграла \def Опр 1 $F(x) -$ функция $S \subseteq D_f$ - промежуток $F(x)$ называется первообразной функции $f(x) : \fal x \in S : F'(x) = f(x)$ \lem Лемма 1 Если $F(x)$ первообра для $f(x) \thus F$ дифференцируемая на $S \thus F$ непрерывна на $S$ Док-во очевидно \lem 2 Пусть $F_1(x)$ первообр для $f(x)$ на $S$ Чтобы $F_2(x)$ была первообразной $f(x)$ на промежутке $S$ $\leftrightarrow$ $F_1(x)$ и $F_2(x)$ отличались на константу $F_1(x) = F_2(x) + C, C = const$ Док-во Достаточность $\leftarrow$ $C' = 0$ Необходимость $\leftarrow$ Следствие 2 из Теоремы о Лагранжа \def 2 Множество всех первообразных - неопределённый интеграл $f(x), \set{F(x) | F(x) = F_0(x) + C}$ $F(x) = \int f(x) dx$ \def 3 $[x_0, x]$ некторый отрезок числовой оси Разбиение - множество: $\tilda \tau = \set{t_k}, x_0 = t_0 < t_1 < t_2 < \dots < t_{n-1} < t_n = x$ $t_k$ - узел разбиения $[t_{k-1}, t_k]$ - сегремнт разбиения $\Delta t_k = t_k-t_{k-1}$ - шаг разбиения $n$ - порядок разбиения \def 4 Система множеств $\tau = \set{\set{t_k}, \set{s_k}}, [x_0, x]$ - разбиение с отмеченными точками, если: - $\set{t_k}$ - разбиение отрезка $[x_0, x]$ - $\set{s_k}$ - множество отмеченых точек $\fal k : t_{k-1} \leq s_k \leq t_k$  $\tilda \tau = \tilda\tau(x_0, x, n, \set{t_k})$ $\tau = \tau(x_0, x, n, \set{t_k}, \set{s_k})$ \def 5 $\tilda \tau = \tilda\tau(x_0, x, n, \set{t_k})$ - разбиение $\set{\Delta t_k}$ - множество шагов разбиения $|\tau| = \max_k \Delta t_k$ - характеристика разбиения Мелкость разбиения = диаметр = характеристика разбиения \def 6 $\tilda \tau_n = \tilda\tau_n(x_0, x, n, \set{t_k})$ - разбиение порядка n отрезка $[x_0, x]$ $\tilda\tau_{n_1} = \tilda\tau_n(x_0, x, n_1, \set{t_s}), n_1 > n$ Это будет размельчением $\tilda \tau_n$, если $\set{t_k} \subset \set{t_s} :$ $: \fal k \ex s: ((t_k \in \tilda \tau_n) \thus (t_k = t_s \in \tilda\tau_{n_1}))$ Если $n_1 = n+1$, то $\tilda \tau_{n_1}$ - непоср измельчение $\tilda\tau_n$ Напр добавить один узел \def 7 $\tau_n, \tau_n \rightarrow \tau_{n+1}$ рассмотрим переход с свойствами 1) $\tau_{n+1}$ - непоср измельчение $\tau_n$ 2) $\tau_{n+1}, \set{s_k}$ - новый набор, не зависит от набора отмеченных точек $\tau_n$ Бесконечно продолжая этот процесс получим разбиения $\set{\tau_n}$ Последовательность разбиений - не числовая последовательность \def 8 $\set{\tau_n}$ - послед разбиений $\set{\tau_n} \rightarrow \set{|\tau_n|}$ - последовательность характеристик - харастеристическая последовательность (числовая последовательность) \def 9 Последовательность разбиений, у которой характеристическая последовательность является б.м. - стягивающаяся последовательность разбиений $\set{\tau_n} : |\tau_n| \rightarrow 0$ \def 10 $f(t)$, определена и ограничена на отрезке $[x_0, x] \subseteq D_f$ $\tau = \tau(x_0, x, n, \set{t_k}, \set{s_k})$ $\sigma_n(f) = \sum_{k=1}^{n} f(s_k) \Delta t_k$ - интегральная сумма или сумма римана $\set{\tau_n}, [x_0, x]$ - последовательность разбиений, соответствующая последовательность интегральных сумм является числовой последовательностью \def 11 (первое определение интеграла римана) Пусть $f(t), [x_0, x]\subseteq D_f, |f(t)| < M$ Если для любой стагивающейся последовательности разбиений $\fal \set{\tau_n}, |\tau_n| \rightarrow 0, \ex I: I=\lim n \inf \sigma_n(f)$ Последовательность суммы римана стремится к одному и тому же значения, то такой придел - интеграл римана $\thus I = \int_{x_0}^x f(t) dt = \lim n \inf \sum_{k=1}^n f(s_k) \Delta t_k$, если этот предел существует, называется интегралом лейбница $[x_0, x]$ - пределы интегрирования $t$ - переменная интегрирования $f$ - подинтегрированная функция $dt$ - дифференциал интегрирования \def 12 (второе определение интеграла римана) $f(t), [x_0, x] \subseteq D_f, |f(t)| < M$ Если $\ex I : \fal \eps > 0 \ex \delta > 0 : (\fal \tau_n, |\tau_n| < \delta) \thus (|\sigma(F) - I| < \eps)$ $\thus I = \int_{x_0}^x f(t) dt$ Определения 11 и 12 эквтиваленты \def 13 Если $x_0 = a, x = b$ - фиксированные числа, то $\int_{a}^b f(t) dt = const$ - определённый интеграл #### 7.2 Основные свойства интеграла Римана $\int_a^a f(t) dt =^\text{det} 0$ $\int_a^b f(t) dt =^\text{det} -\int_b^a f(t) dt$