$\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}$ $\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}$ $\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}$ $\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}$ $\def\ident{\Longleftrightarrow}$ $\def\thus{\Rightarrow}$ $\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }$ $\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }$ $\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }$ $\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }$ $\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}$ $\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}$ $\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}$ $\renewcommand{\geq}{\geqslant}$ $\renewcommand{\leq}{\leqslant}$ $\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}$ $\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}$ $\def\ex{\exists}$ $\def\exo{\ex!}$ $\renewcommand{\fal}{\forall}$ $\renewcommand{\int}{\intop}$ $\def\inf{\infty}$ $\renewcommand{\tg}{\tan}$ $\renewcommand{\phi}{\varphi}$ $\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}$ $\def\alp{\alpha}$ $\def\lam{\lambda}$ $\def\gam{\gamma}$ $\def\eps{\epsilon}$ $\def\sig{\sigma}$ $\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}$ $\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}$ $\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}$ $\newcommand\E{\mathbbold{e}}$ $\newcommand\F{\mathbbold{f}}$ $\newcommand\G{\mathbbold{g}}$ $\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}$ $\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}$ $\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}$ $\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}$ $\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}$ $\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}$ $\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}$ $\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}$ $\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}$ $\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}$ # ЭВМ и Периферийные Устройства ```{contents} Содержание --- depth: 2 ``` Кузьминова Алла Владимирована Новиков Григорий Григорьевич, доцент кафедры 12 Структура курса: теория, потом практика Межсемистровый контроль на 8 неделе Любая "Н"ка подкрепляется бумажкой Стоит слушать лекции Новикова Григория Григорьевича ## Разбалловка - 20 баллов за 1 - 8 работ - 30 за 9 - 16 работы штраф за несвоевременность сдачи ## Литература - Электронные версии http://dozen.mephi.ru/student/liter.him (htm?) - Канал Б.М. - электронные вычислительные машины и системы - В.В. Гуров - Основы теории и организации ЭВМ - Поспелов Д.А. - логические методы анализа и синтеза схем - Савельев А.Я. - Прикладная теория цифровых автоматов - Соловьев Г.Н. - Арифметические устройства ЭВМ ## СЕМ1 Арифметические действия над числами в произвольной системе счисления Числа используются для изображения и записи величины Одна и та же величина может быть написана различными методами Напр: $25\ (яблок) = XXV = 25_{10} = 1101_2 = 19_{16}$ Что такое ч Система счисления- система изображения чисел с помощью ограниченного количества символов Основание Системы Счисления (написано снизу) В позиционной системе счисления каждая позиция имеет свой уникальный вес: 2 3 2 - десятки, 3 - еденицы Произвольное Н-разрядное десятичное число можно записать как $$\overline{X} = \pm X_1 * 10^M-1 + X_2 * 10^{M-2} + ... + X_n * 10^{M-n}$$ $X_i$ - число $M$ - разряд $$\pm \sum^n_{i=1}{X_i * 10^{M-i}} = \pm 10^M * \sum^n_{i=1}{X_i * 10^{-1}}$$ $10 \rightarrow p$ для любой системы Для двоичной можем использовать 0, 1 Для p можем использовать 0, 1, 2 ... p-1 Дляпредставления значений больше 10 мы используем буквы: 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 :-|-|-|-|-|- A|B|C|D|E|F $35.75_{10}$: $p=2:\; 100100.11_2 = 1*2^5 + 1*2^2 + 1*2^{-1} + 1*2^{-2}$ $p=8:\; 44.6_8 = 4*8^1 + 4*8^0 + 6*8^{-1}$ $p=16:\; 24.C_{16} = 2*16^1 + 4*16^0 + C*16^{-1}$ Факторы для выбора системы счисления: 1. Сложность выполнения арифметических операция 2. Объём оборудования для хранения чисел 3. Условия для создания апаратуры Какие мы можем провести операции? ### Сложение $A_p = a_1\: a_2\: a_3\: ...\: a_n$ $B_p = b_1\: b_2\: b_3\: ...\: b_n$ $A_p + B_p = c_1\: c_2\: c_3\: ...\: c_n$ $(a_i + b_i = c_i)$ #### Таблица сложения для $p=2$ $0 + 0 = 0$ $1 + 0 = 1$ $0 + 1 = 1$ $1 + 1 = 10$ ### Вычитание $A_p = a_1\: a_2\: a_3\: ...\: a_n$ $B_p = b_1\: b_2\: b_3\: ...\: b_n$ $A_p + B_p = Г_1\: Г_2\: Г_3\: ...\: Г_n$ $(a_i + b_i = Г_i)$ #### Таблица вычитания для $p=2$ $0 - 0 = 0$ $1 - 0 = 1$ $1 - 1 = 0$ $10 - 1 = 1$ ### Умножение $p=2$ $a_i \setminus b_i$ | 0 | 1 :-|-|- 0|0|0 1|0|1 Например `6*5`: $\;\;110$ $\,{}^*101$ $\overline{\;\;110}$ $\;000$ $110$ $\overline{11110}$ ### Деление $p=2$ #### Примеры ##### Сложение $\:\:{8ED3}_{16}$ ${}^+{A47A}_{16}$ $\overline{\:{1334D}_{16}}$ ##### Вычитание $\:\:{D17E}_{16}$ ${}^-{AE98}_{16}$ $\overline{\:\:\:\:{22E6}_{16}}$ ##### Умножение $\:\:32_5$ ${}^*43_5$ $\overline{\:\:201}$ $233$ $\overline{3031_5}$ ##### Деление $3241_5 | \underline{21_5}$ $\underline{21}\;\;\;\;\;|130$ $\;\;144$ $\;\;\underline{113}$ $\;\;\;\;11$ Ответ: (A:B) = $130 (11) _5$ ## ЛЕК 1 Электронная Вычислительная Машина - устройство для автоматической обработки информации, представленной в цифровой форме, под управлением программы Программа - записанный алгоритм Не любую задачу можно алгоритмизировать, значит и написать для неё программу Чарльз Бэббидж предложил такую структуру машины: - "склад" (storage) для хранения чисел, память - "мельница" (mill) - арифметическое устройство - устройство управления - устройство, которое определяет последовательность дейсвий - устройство вводы и вывода данных Марк 1 - был построен с помощью шестерёнок Мог производить 30 сложений/вычитаний в секунду 20 умножений с секунду и 5-10 делений в секунду EINAC - первый ЭВМ, разработанный в IBM, был создан с помощью вакуумных ламп 5000 сложений/вычитаний в секунду 300-400 умножений в секунду 40 делений в секунду 4 декабря 1948 года был произведено первое изобретение в сфере электронной техники 25 декабря 1951 года СССР приняла в эксплуатацию первую действующую в СССР и Европе ЭВМ БЭСМ производила 10 тыс операций в секунду, 39-разрядные числа с плавающей точкой имел оперативную памяти на 1024 слова и внешнее ЗУ ЭВМ "МИФИ" (1957-1962) Разработан Атомавяном, орифмитические снова выбрал Соловьёв Зуев работал над ЗУ, Чернышёв разработал систему ввода-вывода Эволюция использования компьютеров Параметр|50-е|60-е|70-е|80-е|с 90-х -|-|-|-|-|- критерий эффективности использлования ЭВМ|машинные ресурсы|машинные ресурсы|человечечкие ресурсы, программы писать трудно|тружно формализовывать|полная скорость доступа к информации расположение пользователя|-|-|-|-|- тип пользователя|-|-|-|-|- тип диалога|-|-|-|-|- Поколения ЭВМ: 1) лампы 2) транзисторы 3) интегральные микросхемы ## ЛЕК 20.09.22 формат - какие смысловое значения будут присвоены отдельным разрядам или группам разрядов в формате того самого X любой форматможно представить ограниченым количеством разрядов формат числа с плавающей точной представлен парой числе с фиксированной точкой $X = \pm 2^{\pm m} \sum^n_{i=1} x_i2^{-1}$ мантисса нормализованная - правильная дробь (без целой части) можно, где первая цифра отлична от нуля. представляется в ввиде числа с фиксированной запятой (слева) порядок "экспонента" - целое число. представляется в виде числа с фиксированной запятой (справа) Арифметические сложение сумма в i-м разряде $S_i = X_i + Y_i + C_{i-1}$ $S_i = S_i-P$ при $S_i \geq P$ перенос в следующий i+1 разряд $C_i = \cases{0, X_i + Y_i +C_{i-1} < P \\ 1, X_i +Y_i + C_{i-1} \geq P}$ Прямой код - когда знак хранится в первом бите, а в остальном - значение при выполнении операция с прямым кодом можно использовать только числа с одинаковыми знаками обратный код - если число положительное - протсо записываем в двоичном формате, если меньше нуля - интверсия дополнительный код - то же, что в обратном, то добавь 1 к отрицательным числам переполнение разрядной сетки модифицированный обратный и дополнительный коды - дополнительно добавляем вперёд один разряд в случае если первый бит и доп бит не равны - возникло переполнение при переносе из знакового разряда стоит корректироватл числоа, добавляя 1 операция сдвига - логический - циклический - арифметический Логические основы ЭВМ - формальный синтез комбинационных схем - постоение устройств с памятью логическая переменная - может принимать два значения: истина, ложь функция алгебры логики - такая функция, агрменты и значения которой принадлежит множеству из элементов "истина" и "ложь" канонический способ представления ФАЛ следует из таблицы истинности формат - какие смысловое значения будут присвоены отдельным разрядам или группам разрядов в формате того самого X любой форматможно представить ограниченым количеством разрядов формат числа с плавающей точной представлен парой числе с фиксированной точкой $X = \pm 2^{\pm m} \sum^n_{i=1} x_i2^{-1}$ мантисса нормализованная - правильная дробь (без целой части) можно, где первая цифра отлична от нуля. представляется в ввиде числа с фиксированной запятой (слева) порядок "экспонента" - целое число. представляется в виде числа с фиксированной запятой (справа) Арифметические сложение сумма в i-м разряде $S_i = X_i + Y_i + C_{i-1}$ $S_i = S_i-P$ при $S_i \geq P$ перенос в следующий i+1 разряд $C_i = \cases{0, X_i + Y_i +C_{i-1} < P \\ 1, X_i +Y_i + C_{i-1} \geq P}$ Прямой код - когда знак хранится в первом бите, а в остальном - значение при выполнении операция с прямым кодом можно использовать только числа с одинаковыми знаками обратный код - если число положительное - протсо записываем в двоичном формате, если меньше нуля - интверсия дополнительный код - то же, что в обратном, то добавь 1 к отрицательным числам переполнение разрядной сетки модифицированный обратный и дополнительный коды - дополнительно добавляем вперёд один разряд в случае если первый бит и доп бит не равны - возникло переполнение при переносе из знакового разряда стоит корректироватл числоа, добавляя 1 операция сдвига - логический - циклический - арифметический Логические основы ЭВМ - формальный синтез комбинационных схем - постоение устройств с памятью логическая переменная - может принимать два значения: истина, ложь функция алгебры логики - такая функция, агрменты и значения которой принадлежит множеству из элементов "истина" и "ложь" канонический способ представления ФАЛ следует из таблицы истинности ## СЕМ 23.09.22 Минимизация ФАЛ по методу Куайна - Мак-Класки СДНФ $X_1 X_2 X_3 \cup \upline{X_1} X_2 X_3$ (1 1 1) (0 1 1) СКНФ $(X_1\cup X_2) \cap (\upline{x_1} \cup \upline(X_2))$ (0 0) (1 1) Алгоритм 1) термы $\rightarrow$ бинарный код 2) группы, с равным количеством 1 3) сравнение в группах (склеивание) $X_1 X_2 X_3 \cup X_1 X_2 \upline X_3 = X_1 X_2$ 4) Составляем таблицу исходных теоремы фин $\rightarrow$ столбцы, минимизируем термы Пример $f(x ,y, z) = \sum(6, 7, 2, 1, 0)$ 110 111 010 001 000 3-й ранг 0-я группа 000 1-я группа 010 001 2-я группа 110 3-я группа 111 2-й ранг 0-я группа 0-0,00- 1-я группа -10,--- 2-я группа 11- нинтермы $\;$|110|111|010|001|000 -|-|-|-|-|- 0-0|||x||x 00-||||x|x -10|x||x||| 11-|x|x|||| нужено минимум по кресту из каждого столбца $f_{МДНФ}=\upline{x}\ \upline y\cup x\ y\cup\upline x\ \upline z = \upline{x}\ \upline y\cup x\ y\cup y\ \upline z$ Пример $f(x, y, z) = \prod(6, 5, 4, 3, 1)$ 110 101 100 011 001 3-й ранг 0-я группа 1-я группа 100, 001 2-я группа 110, 101, 011 3-я группа 2-й ранг 0-я группа 1-я группа 1-0, 10-, ---, ---, -01, 0-1 2-я группа \ |110|101|100|011|001 -|-|-|-|-|- 1-0|x||x|||| 10-||x|x||||| -01||x|||x 0-1||||x|x $f_{МДНФ} = (\upline x \cup z)(x\cup\upline z)(\upline x \cap y) = (\upline x \cup z)(x\cup\upline z)(y\cup\upline z)$ ## СЕМ 30.09.22 ## ЛЕК 04.10.22 n переменных набор переменных - неповторимое сочитание двоичный эквивалент - число, записанное в двоичном формате номер набора - величина двоичного квивалента Гравифечкие метода минимизации ФАЛ Диаграммы Вейча | |b|notb| |-|-|-| |a|ab|a not b| |not a| not a b| not a not b #### Логический синтез комбинационного сумматора $S_i(x_i, y_i, c_{i-1}) = x_i + y_i +c_{i-1}$ ```{mermaid} flowchart LR a((Xi)) --> b["f(xi,yi,ci-1)\n \n \n"] c((Yi)) --> b d(("Ci-1")) --> b b --> e((Si)) & f((Ci)) ``` |xi|yi|ci-1|si|ci| |-|-|-|-|-| | 0 | 0| 0|0|0 | 0 | 0| 1|1|0 | 0 | 1| 0|1|0 | 0 | 1|1|0|1 | 1 | 0|0|1|0 | 1 | 0|1|0|1 | 1 | 1|0|0|1 | 1 | 1|1|1|1 далее записываем как ФАЛ и минимизируем ## СЕМ 07.10.22 Минимизация неполностью определённых ФАЛ Пример 1 |abc|f(a, b, c)| |-|-| |000|1 |001|0 |010|0 |011|0 |100|- |101|1 |110|1 |111|- | |b|b|-b|-b| |-|-|-|-|-| |a|1|.|1|.| |-a|0|0|0|1| ||-c|c|c|-c| Алгоритм НДНФ 1) создаём эквивалентную функцию: 0 $\rightarrow$ 0, 1 $\rightarrow$ 1, "-" $\rightarrow$ 1 2) МДНФ эквивалентной функции 3) анализируем МДНФ эквивалентной (исключаем лишние/избыточные члены) 4) теперь мы нашли Пример 2 $F(a, b, c, d) = \sum (0, 5, 8, 12, 15)$ запрещённые наборы - X = (1,2,3,10,13,14) min ДНФ от F - ? |N|a|b|c|d|F|$\tilde F$| |-|-|-|-|-|-|-| |0|0|0|0|0|1|1 |1|0|0|0|1|-|1 |2|0|0|1|0|-|1 |3|0|0|1|1|-|1 |4|0|1|0|0|0|0 |5|0|1|0|1|1|1 |6|0|1|1|0|0|0 |7|0|1|1|1|0|0 |8|1|0|0|0|1|1 |9|1|0|0|1|0|0 |10|1|0|1|0|-|1 |11|1|0|1|1|0|0 |12|1|1|0|0|1|1 |13|1|1|0|1|-|1 |14|1|1|1|0|-|1 |15|1|1|1|1|1|1 C6 минимизация | |b|b|-b|-b| | |-|-|-|-|-|-| |a|1|1.||1|-c |a|1.|1||1.|c |-a|||1.|1.|c |-a||1|1.|1|-c | |-d|d|d|-d|| $\tilde F = ab\cup \upline {ab} \cup \upline {bd} \cup \upline{ac}d$ | |0(0000)|5(0101)|8(1000)|12(1100)|15(1111)| |-|-|-|-|-|-| |$ab$(11--)||||x|x| |$\upline {ab}$(00--)|x||||| |$\upline {bd}$(-0-0)|x||x||| |$\upline {ac}d$(0-01)||x|||| $min \tilde F_{МДНФ}(a,b,c,d) = ab \cup \upline{bd} \cup \upline{ac}d$ для МКНФ используем нули для неопределённых знаяений (для КНФ мы делаем единицы для abcd и пишем в таблицу для вычеркивания ненужных обратные значения и используем 0 как форма записи) ## ЛЕК 11.10.22 Солько будет 1+1 Хорошо ли, что дна и та же штука обозначается по разному Значения суммтора исходят из арифметической операции, но явялется логической функцией Минимизировать - чтобы опимизировать (вот что начальство делает с преподавательским составом XD) Потенциальное представление логическийх переменных - напражением в проводе больше или равно (3.5 вольт) - "1" меньше или равно (0 вольт) - "0" между - не несёт информации при переходе из одного состояния в другой тратятся время и энергия импульсный сигнал - изменение во времени сигнала несущего значение логической переменной, из исходного состояния в противоположенное и обратно (два раза) один раз - переход осциллограф - устройство, ползволяющее увидеть развёртку во времени фрагмента периодического сигнала временная диагламма - условное изображение состояния логическийх сигналов на осях времени логическая схема устройства - представление логических операций в графическом виде, с помощью условных графическийх обозначенияй правила рисования схем: - входы слева, выходы справа Принципы неймана: 1) машины на электронных элементах должны работать на в десятичной а в двоичной система счиасления 2) эвм должны управляться с помощью программ, расположенной в отдельном блоке - запоминающем устройстве (ЗУ), обладающем достоточной ёмкостью и скоростью чтения/записи 3) программа, и числа, с которыми оперирует машина представляются в двоичном коде - и данные и программу можно преобразовывать одними и теми же элементами 4) иерархическая организация памяти 5) арифм устройстваконструируются на основе схем, выполняющих операцию сложения 6) великий принцип неймана: для ускорения используем паралелизацию - способ превзойти физические ограничения по скорости Классическая эвм: ```{mermaid} flowchart TB z[Запоминяющее устройство] alu[Арифметика-Логическое устройство] y[Устройство управления] z --> |Операнды| alu z --> |Команда| y y --> |Адреса команд и данных| z alu --> |Результат| z alu --> |Признаки результата| y y --> |Управляющие сигналы| alu ``` Функционал устройства классического эвм запоминающее устройство - память - набор ячеек с присвоенными адресами арифметическо-логическое устройство - выполняет арифметические и логические операции ## СЕМ 14.10.22 Формы представления чисел в ЭВМ Число позиций $X_p=\pm p^m\sum^n_{i=1}x_ip^{-1}$ n - количество разрядов m - количество разрядов целой части #### Фиксированная запятая 1.1 m = const 1.2 m = 0 $X_p= \pm \sum ^ n _{i=1}x_ip^{-i}$ Формат числа |Знак|$2^{-1}$|$\dots$|$2^{-n}$| |-|-|-|-| n+1 ячеек 1.3 m = n |Знак|$2^{n-1}$|$x^{n-2}$|$\dots$|$2^1$|$2^0$| |-|-|-|-|-|-| n+1 ячеек #### Представление числе с плавающей запятой $m\neq cost$ m - порядок $X_p=\pm \sum ^n_{i=1}x_ip^{-i}=\pm(x_12^{-1} + x_22^{-2} + \dots + x_n2^{-n})$ - мантисса $m \geq n$ - целое число $m \leq 0$ - дробное число $1\leq m\leq n$ - смешанное число |Знак порядка| $2^{m-1}$|$\dots$|$2^0$|Знак мантиссы|$2^{-1}$|$\dots$|$2^{-n}$| количество ячеек - n #### Нормализация числа $p^{-1}<|\sum_{i=1}^nx_ip^{-i}|<1$ $0.1_2$ $|M|<1$ Нормализованное число $10^{-2} \cdot 0.989137$ Ненормализованное число $10^{-1} \cdot 0.0989137$ #### Смещённый порядок |$M_{машин}$ |.| Знак числа | . |Мантисса нормализованная| |-|-|-|-|-| $М_{машин}$ (машинный порядок) = $M_{числа} +2^{n_{поряд}-1}$ $n_{поряд}$ - разряд порядка $M_{числа}$ - число, на которое сдвигаем число 1) Порядок $-78.47_{10}$ $n_{пор}=5$ $n_{ман}=16$ $78/2=39\ ост\ 0$ $39/2=19\ ост\ 1$ $19/2=9\ ост\ 1$ $9/2=4\ ост\ 1$ $4/2=2\ ост\ 0$ $2/2=(1)\ ост\ 0$ $78_{10}=1001110_2$ 2) $0.47_{10} = 0111100001010_2$ $A_1 = 1001110,0111100001010$ Нормализуем $M_{маш} = +7+2^{5-1}=6+16=23_{10}=10111_2$ приводим к 16 разрядам $10111.1.1001110011110000|1010$ $10111.1.1001110011110001$ ## СЕМ 28.10.22 Машинная методика выполнения арифмитических операций П.К. - прямой код О.К. - обратный код Д.К. - дополнительный код М.О.К. - модифицированный обратный код М.Д.К. - модифицированный дополнительный код 1) Операция суммы A + B $\rightarrow$ сумматор 2) Операция вычитания A - B $\rightarrow$ сумматор $A = 0 . a_1 a_2 \dots a_n > 0$, то $\cases{[A]_{пк} \\ [A]_{ок}\\ [A]_{дк}} = 0 a_1 a_2 a_4$ $\cases{[A]_{мок} \\ [A]_{мдк}}= 0 0 . a_1 a_2 a_3$ $B = 0 . a_1 a_2 \dots a_n < 0$, то $[B]_{пк} = 1. a_1 a_2 a_4$ $[B]_{ок} = 1. \upline a_1 \upline a_2 \upline a_4$ $[B]_{дк} = 1. \upline a_1 \upline a_2 \upline a_4$ $1$ $[A]_{мок} = 11.\upline a_1 \upline a_2 \upline a_3$ $[A]_{мдк} = 11.\upline a_1 \upline a_2 \upline a_3$ $1$ пк $\rightarrow$ ок ок + 1 1) Алгебраическое суммирование для чисел пк $A_{пк} = \cases{A, A\geq 0\\|A|+1, A < 0}$ 2) Алгебраическое суммирование ок $A_{ок} = \cases{0.a_1a_2a_3, A\geq 0\\1.\upline a_1 \upline a_2 \upline a_3, A< 0}$ Пример $A_{ок} = 0.0111, B_{ок}=0.1101$ $0.0111$ + $\dnline {0.1101}$ $1.0100$ переполнение положительное $0.xx + 0.xx = 1.xx$ Прмер $A_{ок} = 0.1101, B_{ок}=-0.1011 = 1.1011$ $-0.1101 = A_{ок}$ $+$ $-1.1011 = B_{ок}$ $10.1000$ переносим первую еденичку при 10 $0.1000$ $+$ $1$ $0.1001$ Недостаток. Неоднозначность нуля +0 $\rightarrow$ 0.000.0 -0 $\rightarrow$ 1.111.1 Алгоритм суммы числа дк $A=0.a_1a_2a_3, A\geq 0$ $A=1.\upline a_1\upline a_2\upline a_3 +1, A<0$ Пример $A_{пк} = 0.1011, B_{пк}=0.1010$ $0.1011 (дк)$ $+$ $0.1010 (дк)$ $1.0101$ переполнение положительное $A_{ок} = 0.1101$ $B_{ок}=1.1011+1 = 1.1100$ $0.1101$ $+$ $1.1100$ $10.1001 (дк)$ правило дк: игнорируем первую единичку при 10 Неодназначность дк +0 $\rightarrow$ 0.000.0 -0 $\rightarrow$ 1.111.1 + 1 при 10 игнорируем 1 Представление в мок Алгоритм МОК МДК $знак1 | знак2 | . |\ |$ A > 0 $00.\_\_\_$ A < 0 11.___ переполнения `10.____` - отрицательное `01.____` - положительное 1) Сложение зад ДК, исп МДК, раз ПК $A_{дк} = 1.110100$ $B_{дк} = 0.101111$ $11.110100$ $+$ $00.101111$ $100.100011$ игнорируем $00.100011$ $C_{пк}=0.100011$ 2) Вычтаиние зад пк, исп мок, рез пк $A_{пк}=1.010101$ $B_{пк}=0.011011$ $A_{мок} = 11.101010$ $[-B]_{ок}=1.100100$ $[-B]_{мок}=11.100100$ $11.101010$ $+$ $11.100100$ $111.001110$ $11.001111 (мок)$ $1.001111(ок)$ $1.110000(пк)$ ## СЕМ 11.11.22 Операции умножения чисел с фиксированной запятой (ПК и ДК) $X_{пк} = Зн_х . х_1 х_2 х_3 х_4 \dots х_n$ $Y_{пк} = Зн_y . y_1 y_2 y_3 y_4 \dots y_n$ $Z_{пк} = зн_z . z_1 z_2 z_3 \dots z_n$ $Z = X * Y = $ 1) $Зн_z = Зн_x \oplus Зн_y$ |Зн х|Зн у| Зн z| |-|-|-| |0|0|0| |0|1|1| |1|0|1| |1|1|0| 2) $0.x_1x_2x_3 * 0.y_1y_2y_3 = 0.z_1z_2z_3$ M = 2n $Z = X*Y = X*(y_1*2^{-1} + y_2 * 2 ^ {-2} \dots y_n * 2^{-n})$ $= X * 2^{-1} *y_1 + X * 2^{-2} *y_2 \dots X * 2^{-n} *y_n$ схема горнера $Z = (\dots((O + X * y_n) * 2^{-1} + X*y_{n-1})*2^{-1} \dots + X*y_1) * 2^{-1}$ $O + X * y_n = z_1$ $(O + X * y_n) * 2^{-1} + X*y_{n-1} = z_2$ #### Пример 1 $X_{пк} = 1.1010$ $Y_{пк} = 0.1011$ $Z_{пк} = X_{пк} * Y_{пк}$ 1) $Зн_{z} = 1 \oplus 0 = 1$ $|X| = 0.1010$ $|Y|=0.1011$ 2) $x*2^{-1}*y_1 = 0.01010$ $x*2^{-2}*y_2=0.00000$ $x*2^{-3}*y_3 = 0.0001010$ $x*2^{-4}*y_4 = 0.00001010$ $= 0.01101110$ Ответ $Z_{пк} = 1.01101110_{пк}$ Последние нули в ответе оставляем #### Пример $X_{пк} = 1.1101$ $Y_{пк} = 1.1011$ $Z_{пк} = X_{пк} * Y_{пк}$ 1) $Зн_{z} = 1 \oplus 1 = 0$ 2) $0.0000$ $x*y_1=0.1101$ $0.1101 = \sum_1$ $0.01101 = \sum_1*2^{-1}$ $x*y_3=0.1101$ $1.00111 = \sum_2$ $0.100111 = \sum_2 * 2^{-1}*$ $0.000000$ $0.100111 = \sum_3$ $0.0100111 = \sum_3*2^{-1}$ $0.1101$ $1.0001111 = \sum_4$ $0.10001111 = \sum_4*2^{-1}$ Ответ $0.10001111$ ## СЕМ 18.11.22 Опер РКН ФЗ $X_{дк} = x_0 x_1 \dots x_n$ $Y_{дк} = y_0 y_1 \dots y_n$ $Z_{дк} = z_0 z_1 \dots z_n$ $Z = X * Y$ 1) начинаем со старшего разряда $Z = X(y_1-y_0) 2^0 + X2^{-1}(y_2-y_1) + \dots + X2^{-n}(y_{n+1}-y_{n})$ Пример 1 $X_{дк} = 0.10101, Y_{дк}$ = 1.01101==0== |такт|$y_i$|$y_{i-1}$|разность| | |-|-|-|-|-| |1|0|1|-1|$X_{дк} = 1.01011 * 2^0 = 1.01011$| |2|1|0|1|$X_{дк} = 0.10101 * 2^{-1} = 0.010101$| |3|1|1|0|$X_{дк} = 0 * 2^{-2} = 0$| |4|0|1|-1|$X_{дк} = 1.01011 * 2^{-3} = 1.11101011$| |5|1|0|1|$X_{дк} = 0.10101*2^{-4} = 0.000010101$| |6|==0==|1|-1|$X_{дк} = 1.01011*2^{-5} = 1.1111101011$| Сумма ~~10~~1.1001110001 $Z = 1.1001110001_{дк}$ $- X_{дк}$ = ? $X_{пк} = 0.10101$ $-X_{пк} = -0.10101 = 1.10101$ $[-X_{пк}]_{дк} = 1.01010 + 1 = 1.01011 = -X_{дк}$ 2) начинаем со страшего разряда $Z = (\dots ((0 + X(y_{n+1}-y_n)) 2^{-1} + X(y_{n}-y_{n-1})2^{-1}) \dots + X(y_2-y_01))2^{-1} + X(y_1-y_0)$ $X = 0.10101$ $Y = 1.01101$==0== |такт|$y_i$|$y_{i-1}$|разность| | |-|-|-|-|-| |1|0|1|-1|$X_{дк} = 1.01011$| |2|1|0|1|$X_{дк} = 0.10101$| |3|1|1|0|$X_{дк} = 0$| |4|0|1|-1|$X_{дк} = 1.01011$| |5|1|0|1|$X_{дк} = 0.10101$| |6|==0==|1|-1|$X_{дк} = 1.01011$| $0+1.01011 = 1.01011 = \sum_1\rightarrow 1p$ 1.01011 + 0.10101 = ==1==0.010101 = $\sum_2 \rightarrow 1p$ $0.0010101 + 1.01011 = 1.1000001 = \sum_3 \rightarrow 1p$ $1.11000001 + 0 = 1.1100001 = \sum_4 \rightarrow 1p$ 1.111000001 + 0.10101 = ==1==0.100010001 = $\sum \rightarrow 1p$ 0.10100010001 +1.01011 = 1.1001110001 $Z = 1.1001110001_{дк}$ ## ЛЕК 22.11.22 Как впихнуть невпихуемое? Каким образом код можно преобразовать из паралельное (нмогоразрядное) в ... - мультиплексирование Мультиплексер - цифровой коммутатор MUX выбирает из нескольких данных ему сигналов мультиплексер - базис Демультиплексер - дешифратор - на фходе имеет позиционный двоичный код а на выходе имеет унитарный двоичный код Время течёт равномерно, непрерывно из прошлого черезнастоящее в будущее Время обычно понимается в двух видах, физическое и искуственное - сделано с помощью машин, отмеряющих кванты верменеи - такты - оно работает из-за синхронизации этим занимается генератор тактовых импульсов - нет входов, один выход все события происходят одновременно с этими тактами моменты времени $\emat{\dots & t-1 & t & t+1 & \dots}$ Период - время между одноимёнными частиями такта $F = \frac 1 T$ Память - способность сохранять состояние $t \rightarrow t+1$ Состояние - значение логической переменной - в какой момент времени $Q(t)$ - состоярие сейчас $Q(t+1)$ - состояние в следующий момент времени $Q(t) \rightarrow Q(t+1)$ - состояние в переходе Тригер - элемент имеющий признаки: два устойчивые состояния, два взаимно инверсных входа, управляющие входы состояние в текущий момент времени под возжействием внешних сигналов пораждает состояние в следующий момент времени обратные связи - для схемы стрелки пирса табоица переходов - показывает переход состояния из сейчас в следующее состояние ## С10 Операция деление Ф3 ПК, ДК $X_{пк} = Зн\ .x_0 x_1 \dots x_n$ $Y_{пк} = Зн\ .y_0 y_1 \dots y_n$ $Z_{пк} = Зн\ z_0 .z_1 \dots z_n$ $Z_{пк} = \frac {X_{пк}}{Y_{пк}}$ 1) Определеяем знак Z = знак x $\oplus$ знак y 2) $Z = (0.x_1 x_2) / (0.y_1 y_2)$ ### Методика деления со сдвигом остатка (пк) $\alp_i = \cases{2\alp_{i-1} - y, \alp_{i-1} \geq 0 \\ 2\alp_{i-1} + y, \alp_{i-1} < 0}$ Если $\cases{\alp_u \geq 0 \thus z_i = 1\\\alp_i < 0 \thus z_i=0}$ $\alp_0 = |x|-|y|, \cases{\alp_0 \geq 0 \thus z_0 = 1 \\ \alp_0 < 0 \thus z_0=0}$ $2\alp_{i-1} - Y_{пк} \thus 2\alp_{i-1} + (-Y_{дк})$ #### Пример $X_{пк} = 1.1001$ $Y_{пк} = 0.1011$ 1) $Зн = 1 \oplus 0 = 1$ 2) $-Y_{дк} = 1.0101$ $0.1001 (|x|)$ $1.0101 (-y)$ $1.1110=\alp_0 <0$ $Z_0 = 0$ след опер + $1.1100 (2\alp)$ $0.1011 (y)$ $00111 = \alp_1 \geq 0 Z_1 = 1\ оп -$ $0.1110(2\alp_1)$ $1.0101 (-y)$ $0.0011 = \alp_2 \geq 0 Z_2 = 1\ сл -$ $0.0110 (2\alp_2)$ $1.0101 (-y)$ $1.1011 = \alp_3 < 0 Z = 0\ сл +$ $1.0110 (2\alp_3)$ $0.1011(y)$ $0.0001 = \alp_4 \geq 0 Z_4 = 1$ и тд до бесконечности Ответ $Z_{пк} = 10.1101_{пк}$ ### Методика для дк $X_{дк} = x_0.x_1x_2$, $x_0 - знак$ $Y_{дк} = y_0 .y_1 y_2$, $y_0 - знак$ $Z_{дк} = z_0 . z_2 z_2$ $|Z| < 1$ $\alp_1 = \cases{2\alp_{i-1} + [-Y_{дк}], Зн\alp_{i-1} = Зн Y\\2\alp_{i-1}+Y_{дк}, Зн \alp_{i-1} \neq Зн Y}$ Первый шаг вместо $2\alp_{i-1} \rightarrow x_{дк}$ $Зн \alp_{i-1} \thus Зн x = x_0$ #### Пример $X = 1.0111_{дк}$ $Y = 1.0011_{дк}$ $-Y_{дк} = 0.1101$ 1) Зн X = Зн Y |X| - |Y| $1.0111$ $0.1101$ $0.0100 = \alp_0$ $Зн \alp_0 \neq Зн Y , Z_0 = 0$ $0.1000$ $1.0011$ $1.1011$ $Зн \alp_1 = Зн Y , Z_1 = 1$ $1.0110$ $0.1101$ $0.0011$ $Зн \alp_2 \neq Зн Y, Z_2 = 0$ $0.0110$ $1.0011$ $1.1001$ $Зн \alp_3 = Зн Y, Z_3 = 1$ $1.0010$ $0.1101$ $1.1111$ $Зн \alp_4 = Зн Y , Z_4 = 1$ и тд до бесконечности Ответ $Z_{дк} = 0.1011_{дк}$ ## Арифметические операции с числами с плавающей точкой Умнож и деление Нормализация $X = M_x 2^{m_x} = S_x x_1 x_2 \dots$ $Y = M_y 2^{m_y} = S_y y_1 y_2 \dots$ $M_x, M_y$ - мантиссы, нормализованные $S_x, S_y$ - знаки чисел $Z_1 = XY = (M_x \cdot M_y) \cdot2 ^{m_x + m_y}$ $Z_2 = \frac X Y = (\frac {M_x} {M_y}) \cdot2^{m_x-m_y}$ #### Пример 1 $[M_x]_{дк} = 0.110$ $[M_y]_{дк} = 0.011$ $[M_{XY}]_{мдк} = 00.110 +00.011 = 0.1001_{мдк}, П(+)$ $[M_{\frac X Y}]_{мдк} = 00.110 + 11.101 = 100.011_{мдк}$ Ответ $01.001_{мдк}, П(+)$ $00.011_{мдк}$ ## Порядок смещения (машинный) $m_{маш} = m_{числа} +2^{n_п}$ $n_п$ - разрядность порядка $m_{XY_{маш}} = m_{X_{маш}} + m_{Y_{маш}} - 2^{n_п-1}$ $m_{\frac{X}{Y}_{маш}} = m_{X_{маш}} - m_{Y_{маш}} + 2^{n_п-1}$ Пример 2 $m_{X_{маш}} - 1110$ $m_{Y_{маш}} = 1011$ $m_{XН_{маш}} = 14+11-8 = 17_{10} = 10001_2, Предст$ $m_{\frac{X}{Y}_{маш}} = 14-11+8 = 11_{10} = 1011_2$ Ответ $10001_2, пр$ $1011_2$ ## СЕМ 16.12.22 Двоично-десятичная СС Алгоритм действия Методика сложения В СС 8421 |десят числа|$2^3=8$|$2^2=4$|$2^1=2$|$2^0=1$| |-|-|-|-|-| |0|0|0|0|0| |1|0|0|0|1| |2|0|0|1|0| |3|0|0|1|1| |4|0|1|0|0| |5|0|1|0|1| |6|0|1|1|0| |7|0|1|1|0| |8|1|0|0|1| |9|1|0|0|0| |10|1|0|1|1| |11|1|0|1|0| |12|1|1|0|1| |13|1|1|0|0| |14|1|1|1|1| |15|1|1|1|0| |16|0|0|0|1| |17|0|0|0|0| 8421+3 - сдвиг на три позиции вниз Сложение 1) десятич цифра -Ю двоичный эквиивалент (тетрады) 2) Послед сумм тетрады (попрев 2 арф) $\thus$ предварит $\sum$ $\geq 16$ перенос +0110 $10-15$ перенос искуств + 0110 нет переноса < 10 3) Коррекция преде раз 4) Окончат результат #### Пример 1 Сумма в 8421 | |Знак разряд| | | | | |-|-|-|-|-|-| |$548_{10}$|0|0101|0100|1000| |$279_{10}$|0|0010|0111|1001| |||1000|1100|==1==0001|предв $\sum$| ||| |0110|0110|коррекция| |||1000|==1==0010|0111| |||8|2|7| |+проверка||||| Ответ: $x+y = 0,1000\ 0010\ 0111_{8421}$ для +3 коннекцря +0011 нет переноса +1101 #### Пример 2 Сумма в 8421 + 3 | | | | | | | |-|-|-|-|-|-| |$2508_{10}$|0|0101|1000|0011|1011| |$0196_{10}$|0|0011|0100|1100|1001| ||0|1000+1101+10101|1101+1101=11010|10000+0011=0011|10100| |||2|7|0|4| положительная проверка Ответ: $0,0101\ 1010\ 0011\ 0111_{8421+3}$