$\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}$ $\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}$ $\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}$ $\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}$ $\def\ident{\Longleftrightarrow}$ $\def\thus{\Rightarrow}$ $\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }$ $\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }$ $\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }$ $\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }$ $\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}$ $\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}$ $\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}$ $\renewcommand{\geq}{\geqslant}$ $\renewcommand{\leq}{\leqslant}$ $\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}$ $\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}$ $\def\ex{\exists}$ $\def\exo{\ex!}$ $\renewcommand{\fal}{\forall}$ $\renewcommand{\int}{\intop}$ $\def\inf{\infty}$ $\renewcommand{\tg}{\tan}$ $\renewcommand{\phi}{\varphi}$ $\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}$ $\def\alp{\alpha}$ $\def\lam{\lambda}$ $\def\gam{\gamma}$ $\def\eps{\epsilon}$ $\def\sig{\sigma}$ $\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}$ $\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}$ $\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}$ $\newcommand\E{\mathbbold{e}}$ $\newcommand\F{\mathbbold{f}}$ $\newcommand\G{\mathbbold{g}}$ $\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}$ $\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}$ $\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}$ $\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}$ $\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}$ $\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}$ $\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}$ $\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}$ $\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}$ $\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}$ # Линейная алгебра ```{contents} Линейная алгебра --- depth: 3 ``` Преподаватель : Михайлов Владислав Дмитриевич Конспект : Руденький Н.В., Б$22$-В$71$. ## Лекция 15.02.2023 ### Теорема об обратимости матриц - $A^{-1}$ - обратная, если $A^{-1}A =AA^{-1} = E$ - Теорема: $A$ обратима тогда и только тогда, когда $det{A} \neq 0, \ A^{-1} = \dfrac{1}{det{A}}\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix}$ - Доказательство: - Необходимость: Пусть $\exists A^{-1}: A^{-1}A = E, \ det{AB} = det{A} \cdot det{B} \implies det{A^{-1}} \cdot det{A} = det{E} = 1 \implies det{A} \neq 0$ - Достаточность: Докажем, что $A^{-1}$ обратная к $A, \ det{A} \neq 0$. - $AA^{-1} =\dfrac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix} = E$ - Предположим, что существует другая обратная матрица $\ A^{-1} = X , \ Y: AY = YA = E$ - $X = X(AY) = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y$ ### Свойства обратных матриц - $(A^{-1})^{-1} = A$ - $(AB)^{-1} =B^{-1}A^{-1}$ - $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$ - Докажем $(1)$ - $A^{-1}A = E$ - $A^{-1}AA^{-1} = (A^{-1}A)A^{-1} = EA^{-1}$ - Докажем $(2)$ - $(AB)B^{-1}A^{-1} \ ? \ E$ - $A(BB^{-1})A^{-1} = AEA^{-1} = AA^{-1} = E$ ### Вычисление обратных матриц - По определению - Элементарными преобразованиями ### Утверждение об элементарных преобразованиях - Каждое элементарное преобразование есть умножение исходной матрицы на некую невырожденную матрицу, а именно: - Перемена мест строк (столбцов) - $\rho = E - B_{ii} - B_{jj} + B_{ij} + B_{ji}, \ B_{ii}$ , где $b_{ij} = 0, b_{ii} = 1$ - Умножение $i$ - строки на $\lambda$ - $\rho = E - (1 - \lambda)B_{ii}$ - Сложение $i, j$ - строк - $\rho = E + B_{ij}$ - Переход от $A$ к $E$ есть последовательность операций : $\rho_{s}\rho_{s-1}\dots\rho_{1}A = E$ - $\rho_{s}\rho_{s-1}\dots\rho_{1}AA^{-1} = EA^{-1}$ - $\rho_{s}\rho_{s-1}\dots\rho_{1} = A^{-1}$ ### Теорема о ранге матрицы - $rg{(A)} = r$ - Если в матрице $A$ есть минор $k$ порядка отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то $rg(A) = k$ ## Лекция 01.03.2023 ### Теорема о базисном миноре - Любая строка базисного минора есть линейная комбинация базисных строк - Докажем, что любая строка есть линейная комбинация базисных строк. Если cтрока базисная, то данное утверждение очевидно. Возьмем произвольную строку не обязательно входящую в базисный минор. Для удобства будем считать, что базисный минор порядка $r$ в левом верхнем углу матрицы. Разложим определитель по правому столбцу. - $ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1r} & a_{1j} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2r} & a_{2j} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{r1} & a_{r2} & \dots & a_{rr} & a_{rj} \\ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{kr} & a_{kj} \end{vmatrix} = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \dots + a_{kj}A_{kj} = a_{1j}C_{1} + a_{2j}C_{2} + \dots + a_{kj}C_{kj} = 0$ - Получим, что произвольная строка выражается через линейную комбинацию базисных. ### Следствие из теоремы о базисном миноре - Определитель матрицы равен $0$ тогда и только тогда, когда его строки линейно зависимы - Доказательство: - Необходимость: $det{A} = 0 \implies$ строки $A$ линейно зависимы. - Достаточность : строки линейно зависимы $\implies$ $det{A} = 0$ ### Системы линейных алгебраический уравнений - $\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{11}x_{1} + a_{11}x_{1} + \dots + a_{1n}x_{n} = b_{2} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots\dots \dots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \dots + a_{mn}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases} \end{equation*}$ - Набор чисел называется решением, если при подстановке в систему образуется тождество. В этом случае система совместна - Две системы эквивалентны, если множества их решений совпадают ### Совместность однородной системы - $\left(b_{1}=b_{2} \dots = b_{m} = 0\right)$ Всегда совместна, так как имеется одно решение $\left(x_{1}=x_{2} \dots = x_{m} = 0\right)$ ### Теорема Кронекера - Капелли - Система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы - $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{22} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$ - $\overline{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{22} & a_{13} & \dots & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n} & b_{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn} & b_{m} \\ \end{pmatrix}$ - Доказательство - Необходимость: система имеет решение, тогда существует набор чисел $x_{1} = c_{1}, x_{2} = c_{2}, \dots, x_{n} = c_{n}$. Тогда при подстановке в систему обращаются в тождество - $\begin{pmatrix} a_{11} \\ \dots \\ a_{m1} \\ \end{pmatrix} c_{1} + \begin{pmatrix} a_{12} \\ \dots \\ a_{m2} \\ \end{pmatrix} c_{2} + \dots + \begin{pmatrix} a_{1n} \\ \dots \\ a_{mn} \\ \end{pmatrix} c_{n} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ \dots \\ b_{m} \\ \end{pmatrix}$. Это означает, что столбец $B$ есть линейная комбинация столбцов матрицы $A \implies rgA = rg\overline{A}$ - Достаточность: дано $rang{A} = rang{\overline{A}}$. Доказать, что система совместна, то есть если добавление столбца свободных членов не меняет ранга расширенной матрицы, то этот столбец есть линейная комбинация столбцов $A$. А это значит, что существуют ненулевое число $c_{j}$ ### Правило Крамера - Рассмотрим квадратную систему с отличным от нуля определителем (Система Крамера) - $\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots + a_{1n}x_{n} = b_{1} & | & A_{1j}\\ a_{21}x_{1} + a_{21}x_{2} + \dots + a_{2n}x_{n} = b_{2} & | & A_{2j}\\ \dots + \dots + \dots + \dots + \dots =& | & \dots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \dots + a_{nn}x_{n} = b_{n} & | & A_{nj} \\ \end{cases} \end{equation*}$ - $x_{1}(a_{11} A_{1j} + a_{21} A_{2j} + \dots + a_{n1} A_{nj}) + \dots + x_{n}(a_{1n}A_{1j} + a_{2n}A_{2j} + \dots + a_{nn}A_{nj}) = \underbrace{b_{1} A_{1j} + b_{2} A_{2j} + \dots + b_{n}A_{nj}}_{\Delta j}$ - $x_{j} \Delta = \Delta_{j} \implies x_{j} = \dfrac{\Delta_{j}}{\Delta}$ ### Исследование системы. Общее решение однородных и неоднородных систем - Пусть $rg{A} = r < n$. Без ограничения общности будем считать, что $r$ уравнений, входящих в базисный минор и $r$ неизвестных находятся в левом верхнем углу. - $\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots + a_{1r}x_{r} = - a_{1_r+1}x_{r + 1} - a_{2, r + 2}x_{r + 2} - \dots - a_{1n}x_{n} + b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \dots + a_{2r}x_{r} = - a_{2, r+1}x_{r + 1} - a_{2, r + 2}x_{r + 2} - \dots - a_{2n}x_{n} + b_{2} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{r1}x_{1} + a_{r2}x_{2} + \dots + a_{rr}x_{r} = - a_{r, r+1}x_{r + 1} - a_{2, r+2}x_{r + 2} - \dots - a_{rn}x_{n} + b_{r} \\ \end{cases} \end{equation*}$ - Получим систему Крамера, которая имеет единственное решение, поскольку свободным переменным можно придавать любые значения, то решений бесконечно много - $\bigg|\{x_{r + 1}, x_{r + 2}, \dots, x_{n}\}\bigg|= n - r \implies n - r $ линейно независимых наборов свободных переменных. Все они и называются ФСР. - Нормальная ФСР состоит из единиц и нулей: $X_{1} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \dots \\ x_{r} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ \end{pmatrix}; \ X_{2} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \dots \\ x_{r} \\ 0 \\ 1 \\ 0\\ \dots \\ \end{pmatrix}; \ X_{3} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \dots \\ x_{r} \\ 0 \\ 0 \\ 1\\ \dots \\ \end{pmatrix}; \ \dots; \ X_{n - r} = \begin{pmatrix}x_{1} \\ \dots \\ x_{r} \\ 0 \\ 0 \\ \dots \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ - Если сложить все решения ФСР с произвольными коэффициентами, то получим общее решение соответствующей однородной системы: $X = c_{1}X_{1} + \dots + c_{n -r}X_{n-r}$ ### Общее решение неоднородной системы - Общее решение неоднородной системы $X_{ОРНС} = X_{ЧРНС} + X_{ОРОС}$ ## Лекция 15.03.2023 ### Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений - $\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} \dots a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} \dots a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \dots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} \dots a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{cases}$ - Элементарными преобразованиями приводим расширенную матрицу системы к виду: - $\begin{pmatrix} 1 & a_{12} & \dots & a_{1n} \ | b_{1} \\ 0 & 1 & \dots & a_{2n}' \ | b_{2}' \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & a_{m-1n}' & a_{mn}' \ | b_{m}' \\ 0 & \dots & \dots &\dots | 0 \\ \end{pmatrix}$ - $a_{mn}' = a_{m-1n}' = 0 \neq b_{m}' \implies$ Система несовместна - $a_{m-1n}' = 0, a_{mn}' \neq 0 \implies$ У системы только одно решение - $a_{m-1n}' \neq 0, a_{mn}' \neq 0 \implies $ У системы больше одного решения ### Линейные пространства ***Обозначение*** - $\RR^{n}$ ***Определение*** - Множество элементов любой природы называется линейным пространством этих элементов, если эти элементы подчиняются двум требованиям: - Для любой пары элементов определен элемент этого же пространства, называемый суммой этих элементов, так что выполняется 4 аксиомы для $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \RR^{n}$: - $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ - $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ - $\forall \vec{a}: \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ - $\forall \vec{a} \in \RR^{n} \ \exists \vec{a}': \vec{a}' + \vec{a} = \vec{0}$ - На данном множестве определена операция умножения элемента пространства на число, со следующими свойствами: - $(\lambda \mu)\vec{a} = \lambda(\mu \vec{a})$ - $(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$ - $\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$ - $\vec{a} \cdot 1 = \vec{a}$ - Примеры - $\RR^{2}$ по сложению и умножению - Пространство функций заданных и непрерывных на $\left[a;b\right]$ - Пространство упорядоченных наборов чисел $a = \left(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\right)$ - Пространство всех многочленов $P_{n}(x), \deg{P} \leq n$ ### Некоторые свойства $\RR^{n}$ - Единственность нулевого элемента - Предположим, что есть два различных нулевых элемента $\vec{0_{1}}, \ \vec{0_{2}} \in \RR^{n}$. Взяв за нулевой элемент $\vec{0_{1}}$, за произвольный $\vec{0_{2}}:$ $\vec{0_{2}} + \vec{0_{1}} = \vec{0_{2}}$. Наоборот: $\vec{0_{2}}: \vec{0_{1}} + \vec{0_{2}} = \vec{0_{1}} \implies \vec{0_{1}} = \vec{0_{2}}$ - Единственность противоположного элемента для любого элемента $\vec{a} \in \RR^{n}$. - Пусть имеется два различных противоположных элемента для одного и того же $\vec{a} \in \RR^{n}: \vec{a} + \vec{b_{1}} = \vec{0}$ и $\vec{a} + \vec{b_{2}} = \vec{0} \implies$$\vec{b_{1}} = \vec{b_{1}} + \vec{0} = \vec{b_{1}} + (\vec{a} + \vec{b_{2}})= (\vec{b_{1}} + \vec{a}) + \vec{b_{2}} = \vec{0} + \vec{b_{2}} = \vec{b_{2}}$ - Нулевой элемент получается умножением любого элемента $a \in \RR^{n}$ на число $0 \in \RR$. - $0 \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot 0 + \vec{0} = \vec{a} \cdot 0 + \vec{a} + \vec{a}' = \vec{a} \cdot 0 + \vec{a} \cdot \vec{1} + \vec{a}' = \vec{a} \left(0 + \vec{1}\right) + \vec{a}' = \vec{a} \cdot 1 + \vec{a}' = \vec{a} + \vec{a}' = \vec{0}$ - Получение противоположного элемента для любого $\vec{a} \in \RR^{n}$ с заданной операцией сложения элементов. - Докажем, что $\vec{a}' = \left(-1\right)\vec{a}$ - $\left(-1\right)\vec{a} = \left(-1\right)\vec{a} + \vec{0} = \left(-1\right) \vec{a} + \vec{a} + \vec{a}' = (-1 + 1) \vec{a} + \vec{a}' = 0 \vec{a} + \vec{a}' = \vec{0} + \vec{a}' = \vec{a}'$ ### Базис и размерность $\RR^{n}$ - Совокупность элементов $\vec{e}_{1}, \vec{e_{2}}, \dots, \vec{e_{n}} \in \RR^{n}$ называется линейно независимой, если $ \lambda_{1}\vec{e_{1}} + \lambda_{2}\vec{e}_{2} + \dots + \lambda_{n} \vec{e_{n}} = 0 \implies $ $\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3} = \dots = \lambda_{n} = 0$.