$\newcommand{\block}[2]{\begin{#1} #2 \end{#1}}$ $\newcommand{\cases}[1]{\block{cases}{#1}}$ $\newcommand{\up}[2]{\stackrel{#1}{#2}}$ $\def\dn#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}$ $\def\ident{\Longleftrightarrow}$ $\def\thus{\Rightarrow}$ $\newcommand{\set}[1]{ \{ #1 \} }$ $\newcommand{\bigset}[1]{ \left \{ #1 \right \} }$ $\newcommand{\bracs}[1]{ ( #1 ) }$ $\newcommand{\bigbracs}[1]{ \left ( #1 \right ) }$ $\newcommand{\bkets}[1]{\langle #1 \rangle}$ $\newcommand{\bigbkets}[1]{\left \langle #1 \right \rangle}$ $\newcommand{\mat}[1]{\block{Vmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\det}[1]{\block{vmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\pmat}[1]{\block{pmatrix}{#1}}$ $\newcommand{\emat}[1]{\block{matrix}{#1}}$ $\renewcommand{\geq}{\geqslant}$ $\renewcommand{\leq}{\leqslant}$ $\newcommand{\upline}[1]{\overline{#1}}$ $\newcommand{\dnline}[1]{\underline{#1}}$ $\def\ex{\exists}$ $\def\exo{\ex!}$ $\renewcommand{\fal}{\forall}$ $\renewcommand{\int}{\intop}$ $\def\inf{\infty}$ $\renewcommand{\tg}{\tan}$ $\renewcommand{\phi}{\varphi}$ $\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}$ $\def\alp{\alpha}$ $\def\lam{\lambda}$ $\def\gam{\gamma}$ $\def\eps{\epsilon}$ $\def\sig{\sigma}$ $\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}$ $\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\EE}{\mathbb{E}}$ $\newcommand{\UU}{\mathcal{U}}$ $\newcommand\E{\mathbbold{e}}$ $\newcommand\F{\mathbbold{f}}$ $\newcommand\G{\mathbbold{g}}$ $\newcommand{\rawOlim}[3]{\dn{{#1}\rightarrow{#2}}{#3}}$ $\newcommand{\lim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{lim}}$ $\newcommand{\uplim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\upline{lim}}}$ $\newcommand{\dnlim}[2]{\rawOlim{#1}{#2}{\dnline{lim}}}$ $\newcommand{\norm}[1]{\left \lVert #1 \right \rVert}$ $\newcommand{\ord}[1]{\operatorname{ord}(#1)}$ $\newcommand{\ans}[1]{\textbf{Ответ}: #1.}$ $\renewcommand{\gcd}{\text{НОД}}$ $\newcommand{\lcm}{\text{НОК}}$ $\newcommand{\proj}[2]{\text{пр.}_{#1}{#2}}$ $\newcommand{\U}[2]{U_{#1}(#2)}$ # Аналитическая геометрия ```{contents} Аналитическая геометрия --- depth: 3 ``` Преподаватель - Михайлов Владислав Дмитриевич Конспект : Руденький Н.В., Б$22$-В$71$. ## Литература - [Клетник Д. В. - "Сборник задач по Аналитической Геометрии"](https://docs.google.com/gview?url=https://mephi-tex.rtfd.io/ru/latest/_static/literature/Сборник_задач_по_аналитической_геометрии_КлетеникДВ.pdf) ## Лекция 02.09.2022 ### Векторы ***Определение*** - Вектор - это направленный отрезок. - Длина вектора $|\vec{AB}|$ - Краткая запись $|\vec{a}|$ ***Факт*** - Векторы коллинеарны, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой ***Факт*** - Два вектора называются равными, если равны их длины (модули) и они коллинеарны и соноправлены ***Факт*** - Если два вектора коллинеарны, то они отличаются на константу. ***Свойства*** **Сложение** - По правилу треугольника - По правилу паралелограмма 1. $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ 2. $$ \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} $$ 3. $$\exists \vec{0} : \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$$ 4. $$\forall \vec{v} \in \RR^3 : \exists \vec{v}^{-1} : \vec{v} + \vec{v}^{-1} = \vec{0} $$ - Вектором $\lambda \vec{a}$ называется вектор, такой что : $|\lambda\vec{a}| = |\lambda||\vec{a}|$ - Вектор $\lambda \vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$ и сонаправлен, если $\lambda \geq 0$ ***Алгебраические свойства*** **Умножение векторов на константу** - $ \lambda (\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{b} + \lambda\vec{a}$ - $ (\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$ - $\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}$ ### Линейная зависимость системы векторов - $\vec{v} = \alpha_{1} \vec{a}_{1} + \alpha_{2} \vec{a}_{2} + ... + \alpha_{n} \vec{a}_{n}$ - линейная комбинация - Система линейно зависима, если для линейной комбинации существует $\alpha \in {\alpha_{1}, \alpha_{2}, ... , \alpha_{n}}$ такой, что $\alpha \neq 0$ - Доказательство : пусть $\alpha_{i} \neq 0$ и линейная комбинация равна нулю. 1. $\alpha_{1} \vec{a}_{1} + \alpha_{2} \vec{a}_{2} + ... + \alpha_{i - 1} \vec{a}_{i - 1} + \alpha_{i} \vec{a}_{i} + ... + \alpha_{n} \vec{a}_{n} = 0$ 2. $\alpha_{i} \vec{a}_{i} = - \alpha_{1} \vec{a}_{1} - \alpha_{2} \vec{a}_{2} ... - \alpha_{i - 1} \vec{a}_{i - 1} ... - \alpha_{n} \vec{a}_{n}$ 3. т.к. $\alpha_{i} \neq 0$, то можно разделить обе части на $\alpha_{i}$ 4. Получим: $\vec{a}_{i} = -\dfrac{\alpha_{1}}{\alpha_{i}}\vec{a}_{1} - -\dfrac{\alpha_{2}}{\alpha_{i}}\vec{a}_{2} - ... - -\dfrac{\alpha_{i - 1}}{\alpha_{i}}\vec{a}_{i - 1} ... -\dfrac{\alpha_{n}}{\alpha_{i}}\vec{a}_{n}$ 5. Назовем коэффициенты при $\vec{a}_{i}:$ $\lambda_{i}$, тогда $\vec{a}_{i} = \lambda_{1} \vec{a}_{1} + \lambda_{2} \vec{a}_{2} + ... + \lambda_{i - 1} \vec{a}_{i - 1} + ... + \lambda_{n} \vec{a}_{n}$ 6. Получим представление $\vec{a}_{i}$ в виде остальных векторов ### Достаточное условие линейной зависимости ***Теорема*** - Если в системе векторов присутсвует нулевой вектор, то система линейно зависима. ***Факт*** - Если часть векторов системы линейно зависима, то и остальные векторы линейно зависимы ***Факт*** - Если система векторов не является линейно зависимой, то она линейно независима. ***Теорема*** - Система линейно независима, если единственная ее линейная комбинация равна нулю. ***Следствие*** - Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они колинеарны - Если $\vec{a} = \lambda\vec{b}$, то векторы коллинеарны, это и есть линейная зависимость. - $3$ вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной или параллельных плоскостях) ***Упражнение*** - Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ - линейно зависимы. Доказать компланароность $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$. Доказательство : По определению линейной зависимости $\vec{a} = \lambda \vec{b} + \gamma\vec{c}$, тогда $\vec{a}$ лежит в одной плоскости, по правилу паралелограмма. Обратно : Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ - компланарны. Доказать их линейную зависимость. - Доказательство : так как векторы лежат в одной плоскости, можно представить один вектор из системы в виде суммы двух других. ***Утверждение*** - Любые 4 вектора линейно зависимы в трехмерном пространстве. - Доказательство : Пусть даны произвольные 4 вектора $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$. Приведем к одному началу эти векторы. На любой тройке этих векторов образуем куб $ABCDA'B'C'D'$. В нем 1. $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ 2. $\vec{AC'} = \vec{AC} + \vec{AA'}$ 3. $\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{AA'}$ . Где $\vec{AB} = \alpha\vec{a}, {BC} = \beta \vec{b}, \vec{AA'} = \gamma \vec{c}$. 4. Получим $\vec{AC'} = D$. Вывод : $D = \alpha\vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{b}$. Следовательно $\{\vec{D}, \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ - линейно зависима. ***Определение*** **Базисом** в трехмерном пространстве называется система из трех линейно независимых (неколлинеарных) векторов. Любой вектор соответствующего пространства может быть разложен и при том единственным образом. Коэффициенты этого разложения называются координатами вектора в этом базисе ***Упражнение*** - Дано $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ - Базис. Тогда $v \in \RR^3 : v = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}.$ $(\alpha, \beta, \gamma)$ - коэффициенты вектора $v$ в базисе $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ ***Определение*** - **Ортонормированный базис** - базис из попарно перпендикулярных (ортогональных) векторов длины 1. Такие векторы принято называть $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. **Следствие** 1. $\vec{a} = X\vec{i} + Y\vec{j} + Z\vec{k}$, $X, Y, Z $ - проекции. 2. $X^2 + Y^2 + Z^2 = |\vec{a}|^2 \\ $ 3. $\cos{\alpha}^2 + \cos{\beta}^2 + \cos{\gamma}^2 = 1$ ## Лекция 09.09.2022 ### Направляющие косинусы вектора - Пусть $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ - ортогональный базис в трехмерном постранстве. Построим паралелепипед $ABCDA'B'C'D'$ на этом наборе векторов. Тогда $\vec{d} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}$ 1. $pr_{x}{\vec{d}} = X$ 2. $pr_{y}{\vec{d}} = Y$ 3. $pr_{z}{\vec{d}} = Z$ - С другой стороны : 1. $X = |d| \cos{\alpha}$ 2. $Y = |d| \cos{\beta}$ 3. $Z = |d| \cos{\gamma}$ - Получим : $X^2 + Y^2 + Z^2 = |d|^2(\cos{\alpha}^2 + \cos{\beta}^2 + \cos{\gamma}^2) \Rightarrow \cos{\alpha}^2 + \cos{\beta}^2 + \cos{\gamma}^2 = 1$ ### Скалярное произведение векторов ***Определение*** - Пусть даны два вектора $\vec{a}, \vec{b}$. Скалярным произведенимем этих векторов называют число, такое что $(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\alpha}$ ***Альтернативное определение через проекции.*** - Пусть даны два вектора $\vec{a}, \vec{b}$ , выходящие из одного начала $O$, с концами в точках $A$ и $B$. Тогда построим перпендикуляр к $\vec{b}$ из $A$. Получим перпендикуляр $AA'$. $OA' = pr_{\vec{b}}{\vec{a}} = |\vec{a}| \cos{\alpha} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| pr_{\vec{a}}{\vec{b}} = |\vec{b}| pr_{\vec{b}}{\vec{a}}$ ***Алгебраические свойства*** 1. $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$ 2. $(\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{a}, \vec{c}) + (\vec{b}, \vec{c})$ 3. $(\lambda \vec{a}, \vec{b}) = \lambda (\vec{a}, \vec{b})$ 4. $(\vec{a}, \vec{a}) = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$ ***Упражнение*** Докажем $(2)$: - $(\vec{a}, \vec{c}) = |c|pr_{\vec{c}}{\vec{a}}$ - $(\vec{b}, \vec{c}) = |c|pr_{\vec{b}}{\vec{a}}$ - $(\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}) = |c|pr_{\vec{c}}{\vec{a} + \vec{b}} = |c|(pr_{\vec{c}}{\vec{a}} + pr_{\vec{c}}{\vec{b}})$ ***Геометрические свойства*** 1. $\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 0$. Стоит заметить что обратно не следует в том случае, если $\vec{a} = \vec{0}$ или $\vec{b} = \vec{0}$ 2. $\phi < 90 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) > 0$ $\textbf{Вытекает из определения скаляного произведения}$ 3. $\phi > 90 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) < 0 $ $\textbf{Вытекает из определения скаляного произведения}$ ***Определение*** - $\cos{\phi} = \dfrac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{a}| |\vec{b}| }$ ***Упражнение*** - Выразим скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов. Рассмотрим векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ в базисе $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$. - Тогда : 1. $\vec{a} = X_{1}\vec{i} + Y_{1}\vec{j} + Z_{1}\vec{k}$ 2. $\vec{b} = X_{2}\vec{i} + Y_{2}\vec{j} + Z_{2}\vec{k}$ - $(\vec{a}, \vec{b}) = (X_{1}\vec{i} + Y_{1}\vec{j} + Z_{1}\vec{k}, X_{2}\vec{i} + Y_{2}\vec{j} + Z_{2}\vec{k})$. Т.к. $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$ - ортонормированный, то $(\vec{i}, \vec{j}) = (\vec{i}, \vec{k}) = (\vec{j}, \vec{k}) = 0$, а $(\vec{i}, \vec{i}) = (\vec{k}, \vec{k}) = (\vec{j}, \vec{j}) = 1$ $\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = X_{1}X_{2}(\vec{i}, \vec{i}) + Y_{1}Y_{2}(\vec{k}, \vec{k}) + Z_{1}Z_{2}(\vec{j}, \vec{j}) =X_{1}X_{2} + Y_{1}Y_{2} + Z_{1}Z_{2}$ Скалярное произведение можно рассматривать как произведение силы $F$ на путь $AB$. $\vec{F} = |F||AB|\cos{\phi}$. ### Векторное произведение векторов ***Обозначение*** - $[\vec{a}, \vec{b}]$ ***Определение*** - $[\vec{a}, \vec{b}]$ - вектор, такой что: $|[\vec{a}, \vec{b}]| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi$. Кроме того этот вектор $\perp$ плоскости перемножаемых векторов. ***Определение*** - Векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ образуют **правую тройку**, если с конца $\vec{a}$ вращение от $\vec{b}$ к $\vec{c}$ по кратчайшему направлению предоставляется происходящим против часовой стрелки, при условии приведения к одному началу. - Тут показывать надо, но попробую описать словами: берем правую руку, и нумеруем пальцы начиная с большого (большой — первый вектор, указательный — второй, средний — третий). Такую тройку векторов назовём «правой».Аналогично можно сделать для левой руки. Суть в том, что никакую правую тройку векторов невозможно перевести в левую (так чтобы в процессе тройка оставалось базисом) ***Пример*** - $\{[\vec{a}, \vec{b}], \vec{a}, \vec{b}\}$ является правой тройкой векторов. ***Геометрические свойства.*** 1. Если $\vec{a}, \vec{b}$ - коллинеарны, то $[\vec{a}, \vec{b}] = \vec{0}.$ Т.к $[\vec{a}, \vec{b}] = |\vec{a}||\vec{b}| \sin{\phi}$. $\phi = 0$ или $\phi = \pi \Rightarrow \sin{\phi} = 0$. 2. $ \textbf{Геометрический смысл.}$ $|[\vec{a}, \vec{b}]| = S_{AB} $. $[\vec{a}, \vec{b}]$ = $S_{AB} \vec{e} $. Где $AB$ - паралелограмм, образованный на $\{\vec{a}, \vec{b}\}$, а $\vec{e}$ - единичный вектор вдоль $[\vec{a}, \vec{b}]$. ***Алгебраические свойства*** 1. $[\vec{a}, \vec{b}] = - [\vec{b}, \vec{a}]$. Следует из ориентации. 2. $[\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{c}] + [\vec{b}, \vec{c}]$. Распределительное свойство. 3. $[\vec{a}, \vec{a}] = \vec{0}$. $(\vec{a}$ - коллинеарен $\vec{a})$ ### Смешанное произведение векторов ***Определение*** - $([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c})$ ***Геометрическое свойство*** - $([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c}) = V_{ABCDA'B'C'D'}$. Где $ABCDA'B'C'D'$ - паралелепипед, построенный на тройке $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$. (Взят с плюсом, если тройка правая и с минусом иначе). ***Упражнение*** Докажем : $([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c}) = V_{ABCDA'B'C'D'}$ 1. Действительно, $[\vec{a}, \vec{b}]$ - есть $\perp$ к плоскости $A_{\vec{b}, \vec{a}} \Rightarrow [\vec{a}, \vec{b}] = S_{AB}$. 2. $([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c}) = |\underbrace{[\vec{a}, \vec{b}]}_{S_{AB}}||\vec{c}|\cos{\gamma} = |[\vec{a}, \vec{b}]| \cdot pr_{[\vec{a}, \vec{b}]}(c) = V_{ABCDA'B'C'D'}$ ***Следствие*** - $([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c}) = (\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]) = (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ ***Свойства смешанного произведения векторов*** 1. $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{b}) = (\vec{a}, [\vec{b}, \vec{b}] = \vec{0}) = 0$ 2. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0$. 3. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Пусть: 1. $\vec{a} = X_{1}\vec{i} + Y_{1}\vec{j} + Z_{1}\vec{k}$ 2. $\vec{b} = X_{2}\vec{i} + Y_{2}\vec{j} + Z_{2}\vec{k}$ 3. $[\vec{a}, \vec{b}] = [X_{1}\vec{i} + Y_{1}\vec{j} + Z_{1}\vec{k}, X_{2}\vec{i} + Y_{2}\vec{j} + Z_{2}\vec{k}]= X_{1}X_2\underbrace{[\vec{i}, \vec{i}]}_{\vec{0}} + X_{1}Y_2\underbrace{[\vec{i}, \vec{j}]}_{\vec{k}} + Z_{1}Z_2\underbrace{[\vec{k}, \vec{k}]}_{\vec{0}} + X_{1}Z_{2}\underbrace{[\vec{i}, \vec{k}]}_{-\vec{j}} + Y_{1}Y_2\underbrace{[\vec{j}, \vec{j}]}_{\vec{0}} + Y_{1}Z_{2}\underbrace{[\vec{j}, \vec{k}]}_{\vec{i}} \dots =$ $\begin{equation*} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ X_{1} & Y_{1} & Z_{1} \\ X_{2} & Y_{2} & Z_{2} \end{vmatrix} = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} Y_{1} & Z_{1} \\ Y_{2} & Z_{2} \end{vmatrix} -\vec{j} \cdot \begin{vmatrix} X_{2} & Z_{1} \\ X_{2} & Z_{2} \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} X_{1} & Y_{1} \\ X_{2} & Y_{2} \end{vmatrix} \end{equation*}$ ***Свойства*** 1. $\vec{a} = X_{1}\vec{i} + Y_{1}\vec{j} + Z_{1}\vec{k}$ 2. $\vec{b} = X_{2}\vec{i} + Y_{2}\vec{j} + Z_{2}\vec{k}$ 3. $\vec{c} = X_{3}\vec{i} + Y_{3}\vec{j} + Z_{3}\vec{k}$ - Получим : - $ \begin{equation*} (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = ([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c}) \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} X_{1} & Y_{1} & Z_{1} \\ X_{2} & Y_{2} & Z_{2} \\ X_{3} & Y_{3} & Z_{3} \end{vmatrix} \end{equation*}$ ***Упражнение*** **С помощью смешанного произведения легко доказываются свойства векторного произвдения}** 1. Тривиально 2. Умножим скалярно обе части на $\vec{b}$. $([\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}], \vec{b}) = ([\vec{a}, \vec{c}], \vec{b}) + \underbrace{([\vec{b}, \vec{c}], \vec{b})}_{0}$. Поскольку $\{[\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}], \vec{a}, \vec{b}\} \perp \vec{c}$, значит они компланарны $\Rightarrow$ один из них - линейная комбинация двух других $\Rightarrow S_{[\vec{a} + \vec{b}, \vec{c}]} = S_{[\vec{a}, \vec{c}]} + S_{[\vec{b}, \vec{c}]}$ ## Лекция 24.09.2022 ### Алгебраическое выражение геометрических образов - Рассмотрим задачу: - В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости получить уравнение прямой, проходящей через данную точку $M_{0}(x_{0}, y_{0})$, перпендикулярной данному вектору $\vec{N}(A; B)$.  - Возьмем точку с текущими координатами $M(x, y)$ - Необходимое и достаточное условие принадлежности точки $M(x, y)$ указанной прямой есть равенство скалярного произведения $(\vec{N}, M_{0}M) = 0$. $\vec{N} = (A; B), M_{0}M = (x - x_{0}, y - y_{0})$. - Получим $A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) = 0$ ***Определение нормали*** - Любой вектор, перпендикулярный прямой называется ее нормальным вектором или нормалью. ### Общее уравнение прямой - Раскроем $A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) = 0$ - $Ax + By + \underbrace{- Ax_{0} - By_{0}}_{C} = 0$ - $Ax + By + C= 0$ ### Неполные уравнения прямой - $C = 0$, $A \neq 0$, $B \neq 0 \implies Ax + By = 0 \implies y = -\dfrac{A}{B}x \implies y = kx$, $k$ - угловой коэффициент. - $C = 0$, $A = 0$, $B \neq 0 \implies By = 0 \implies y = 0$. Получим уравнение оси $Ox$. - $C = 0$, $A \neq 0$, $B = 0 \implies Ax = 0 \implies x = 0$. Получим уравнение оси $Oy$. ***Определение координат нормали*** - $(A; B)$ - координаты нормали ### Уравнение прямой в отрезках на координатных осях - $Ax + By + C= 0$ - $Ax + By = - C$ $| \cdot (- \dfrac{1}{C})$ - $- \dfrac{A}{C}x - \dfrac{B}{C}y = 1$ - $\dfrac{x}{\underbrace{-\dfrac{C}{A}}_{a}} + \dfrac{y}{\underbrace{-\dfrac{C}{B}}_{b}} = 1$ - $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ ### Уравнение прямой с угловым коэффициентом - Пусть дан угол наклона прямой и оси $Ox$, направленной в положительную сторону. Тогда $\tan{\phi} = k$.  - $\tan{\phi} = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ - $\tan{\phi} = \dfrac{y - y_{2}}{x - x_{2}}$ - $\dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \dfrac{y - y_{2}}{x - x_{2}}$ - $y - y_{2} = \dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}(x - x_{2})$. Получим уравнение прямой, проходящей, через две точки. - $y - y_{2} = \tan{\phi}(x - x_{2})$ - $y - y_{2} = k(x - x_{2})$ - $y = y_{2} + kx - kx_{2} = kx + y_{2} - kx_{2} = kx + b$. Получим уравнение прямой с угловым коэффициентом, где $b$ - начальная ордината. ### Угол между двумя прямыми - Дано : - $\ell_{1} : y = k_{1}x + b_{1}$ - $\ell_{2} : y = k_{2}x + b_{2}$  - $\phi = \phi_{2} - \phi_{1}$ - $\tan{\phi} = \tan{(\phi_{2} - \phi_{1})} = \dfrac{\tan{\phi_{2}} - \tan{\phi_{1}}}{1 + \tan{\phi_{1}\tan{\phi_{2}}}} = \dfrac{k_{2} - k_{1}}{1 + k_{1}k_{2}}$. - Заметим, $(1 + k_{1}k_{2} = 0) \implies \phi = \dfrac{\pi}{2} \implies \ell_{1} \perp \ell_{2}$ - $(1 + k_{1}k_{2} = 0) \implies k_{1}k_{2} = -1 \implies k_{2} = -\dfrac{1}{k_{1}}$ ### Условие перпендикулярности, исходя из общего уравнения - Дано: - $\ell_{1} : A_{1}x + B_{1}y + C_{1}= 0$ - $\ell_{2} : A_{2}x + B_{2}y + C_{2}= 0$ - $(A_{1}; B_{1}) = \vec{N_{1}}$ - нормаль $\ell_{1}$ - $(A_{2}; B_{2}) = \vec{N_{2}}$ - нормаль $\ell_{2}$ - $(\vec{N_{1}}, \vec{N_{2}}) = 0$ - условие $\ell_{1} \perp \ell_{2}$ ***Определение угла между прямыми через нормали*** - $\cos{\phi} = \dfrac{(\vec{N_{1}}, \vec{N_{2}})}{|\vec{N_{1}}|| \vec{N_{2}}|}$ - Угол между нормалями. ### Каноническое уравнение прямой - Через точку $M_{0}(x_{0}, y_{0})$ проведем прямую, параллельную данному вектору $\vec{a} = (l, m)$. Этот вектор называется направляющим вектором прямой $\ell$.  - Условием принадлежности точки данной прямой является коллинеарность векторов $\vec{M_{0}M}$ и $\vec{a}$. ***Каноническое уравнение прямой*** - Так как коллинеарные векторы отличаются на константу, то $\vec{M_{0}M} = \lambda \vec{a}$: - $\begin{equation*} \begin{cases} x - x_{0} = \lambda l\\ y - y_{0} = \lambda m \end{cases} \end{equation*} \implies$ $ \begin{equation*} \begin{cases} \lambda = \dfrac{x - x_{0}}{l} \\ \lambda = \dfrac{y - y_{0}}{m} \end{cases} \end{equation*} \implies \dfrac{x - x_{0}}{l} = \dfrac{y - y_{0}}{m}$ ### Параметрическое уравнение прямой - $ \dfrac{x - x_{0}}{l} = \dfrac{y - y_{0}}{m} = t$ - $ \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{x - x_{0}}{l} = t \\ \dfrac{y - y_{0}}{m} = t \end{cases} \end{equation*} \implies$ $\begin{equation*} \begin{cases} x = x_{0} + lt \\ y = y_{0} + mt \end{cases} \end{equation*}$ - $t$ можно трактовать, как время движения точки вдоль прямой. ### Нормальное уравнение прямой  - Необходимое и достаточное условие принадлежности точки данной: $pr_{\vec{n}}(\vec{OM}) = p$ - это уже уравнение прямой. Выразим его в координатах. - $pr_{\vec{n}}(\vec{OM}) = \dfrac{\left(\vec{OM}, \vec{n}\right)}{|\vec{n}|} = \left(\vec{OM}, \vec{n}\right) = x\cos{\phi} + y\sin{\phi} = p \implies x\cos{\phi} + y\sin{\phi} - p = 0$ ***Нормальное уравнение прямой из ее общего уравнения*** - $x\cos{\phi} + y\sin{\phi} - p = 0$ - $Ax + By + C = 0$ $|\left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{A^2 + B^2}}\right)$ - $\dfrac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}x + \dfrac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}y - \dfrac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = 0 \implies \left(\dfrac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}\right)^2 + \left(\dfrac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}\right)^{2} + \left(\dfrac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}}\right)^2 = 1$ ***Пример*** 1. $3x - 4y + 5 = 0$ $|\cdot (- \dfrac{1}{5}) \implies - \dfrac{3}{5}x + \dfrac{4}{5}y - 1 = 0$ ### Применение нормального уравнения прямой для нахождения расстояния от данной точки до данной прямой  - $pr_{\vec{n}}(\vec{OM}) = \dfrac{(\vec{OM}, \vec{n})}{|\vec{n}|} = x^{\star} \cos{\phi} + y^{\star} \sin{\phi}$ - $d = x^{\star} \cos{\phi} + y^{\star} \sin{\phi} - p$. Это верно, если $M^{\star}$ и $O$ лежат по разные стороны от прямой  - $pr_{\vec{n}}(\vec{OM}) = p - d$ ***Обозначение отклонения прямой от точки*** - $x^{\star} \cos{\phi} + y^{\star} \sin{\phi} - p = \delta$. Где $\delta = \pm d$. - $\delta$ - отклонение точки от прямой ***Задача*** - Даны две пересекающиеся прямые $\ell_{1}, \ell_{2}$. Получить уравнение биссектрис углов между $\ell_{1}, \ell_{2}$.  - $d_{1} = x \cos{\phi_{1}} + y \sin{\phi_{1}} - p_{1}$ - $d_{2} = x \cos{\phi_{2}} + y \sin{\phi_{2}} - p_{2}$ - Расстояние до биссектрис $x \cos{\phi_{1}} + y \sin{\phi_{1}} - p_{1} = \pm (x \cos{\phi_{2}} + y \sin{\phi_{2}} - p_{2})$ ## Лекция 07.10.2022 ### Определение пучка прямых - Множество всех прямых, проходящих через данную точку называют пучком.  - Эта точка либо задается непосредственно, либо как пересечение двух прямых пучка. Пусть это будут прямые: $ \begin{equation*} \begin{cases} A_{1}x + B_{1}y + C_{1} = 0 \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2} = 0 \end{cases} \end{equation*} \implies$ Пересечение, если $\begin{equation*} \begin{vmatrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \end{vmatrix} \end{equation*} \neq 0$ ***Уравнение пучка*** - $\alpha(A_{1}x + B_{1}y + C_{1}) + \beta(A_{2}x + B_{2}y + C_{2}) = 0$ ($\alpha , \beta$ - некоторые числа, $\alpha \neq 0, \beta \neq 0$ ) ***Пример*** - Даны две пересекающиеся прямые, найти прямую, входящую в пучок первых двух и параллельную заданной прямой вне пучка. - Данная прямая $\ell_{0} : A_{0}x + B_{0}y + C_{0}$ - $\ell_{1} : A_{1}x + B_{1}y + C_{1}$ - $\ell_{2} : A_{2}x + B_{2}y + C_{2}$ - Искомая прямая $\ell_{3} : A_{3}x + B_{3}y + C_{3}$ - Тогда $\alpha(A_{1}x + B_{1}y + C_{1}) + \beta(A_{2}x + B_{2}y + C_{2}) = 0$, найти $\alpha$ и $\beta$ такие, что полученная прямая параллельна $\ell_{0}$. - Искомая прямая $\ell_{3}$ содержится в пучке. Пучок : $(\alpha A_{1} + \beta A_{2})x + (\alpha B_{1} + \beta B_{2})y + (\alpha C_{1} + \beta C_{2}) = 0 $. По условию задачи : $\dfrac{A_{3}}{A_{0}} = \dfrac{B_{3}}{B_{2}} \neq \dfrac{C_{3}}{C_{0}} \implies \dfrac{\alpha A_{1} + \beta B_{2}}{A_{0}} = \dfrac{\alpha B_{1} + \beta B_{2}}{B_{0}} \implies (\alpha A_{1} + \beta B_{2})B_{0} = (\alpha B_{1} + \beta B_{2})A_{0} \implies \alpha(A_{1}B_{0} - B_{1}A_{0}) = \beta(B_{2}A_{0} - A_{2}B_{0})$ - Пусть $\alpha \neq 0$, тогда $\beta = \dfrac{A_{1}B_{0} - B_{1}A_{0}}{B_{2}A_{0} - A_{2}B_{0}}$ ### Прямая и плоскость в пространстве ### Уравнение плоскости - Составить уравнение плоскости через данную точку $M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$, перпендикулярной данному вектору $\vec{N}(A, B, C)$  - Необходимое и достаточное условие принадлежности $M(x, y, z)$ искомой плоскости: $(\vec{N}, \vec{M_{0}M}) = 0$, получим уравнение : $A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0$. - $Ax + By + Cz + D = 0$ ***(Общее уравнение плоскости, где $D = -Ax_{0} - By_{0} - Cz_{0}$)*** ### Неполные уравнения плоскости 1. $D = 0 : Ax + By + Cz = 0$ (Плоскость, проходящая через начало координат) 2. $A = 0: By + Cz + D= 0$ (Плоскость, параллельная $Ox$) 3. $B = 0: Ax + Cz + D= 0$ (Плоскость, параллельная $Oy$) 4. $C = 0: Ax + By + D= 0$ (Плоскость, параллельная $Oz$) 4. $A = B = 0 : Cz + D = 0, z = - \dfrac{D}{C}, z = const$ (Плоскость, параллельная $Oxy$, $z = 0$ - уравнение $Oxy$) ### Уравнение плоскости в отрезках на координатных осях - $Ax + By + Cz + D = 0 | \cdot (- \dfrac{1}{D})$ - $\dfrac{Ax}{-D} + \dfrac{By}{-D} + \dfrac{Cz}{-D} = 1$. Обозначим $\dfrac{A}{-D} = a, \dfrac{B}{-D} = b, \dfrac{C}{-D} = c$ - $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$  ### Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей ***Определение*** - Угол между плоскостями есть угол между их нормалями. - $\cos\phi = \dfrac{(\vec{N_{1}}, \vec{N_{2}})}{|\vec{N_{1}}||\vec{N_{2}}|}$  ***Условие параллельности двух плоскостей*** - $\dfrac{A_{1}}{A_{2}} = \dfrac{B_{1}}{B_{2}} = \dfrac{C_{1}}{C_{2}}$ ***Условие перпендикулярности двух плоскостей*** - $(\vec{N_{1}}, \vec{N_{2}}) = 0$ ### Нормальное уравнение плоскости  - Плоскость задается $p, \alpha, \beta, \gamma$, где $p$ - расстояние от начала координат до плоскости и $\alpha, \beta, \gamma$ - углы $\vec{n}$ с осями координат. - Необходимое и достаточное условие принадлежности $M(x, y, z)$ искомой плоскости: $pr_{\vec{n}}{\vec{OM}} = p$ - $\dfrac{(\vec{OM}, \vec{n})}{|\vec{n}|} = p \implies (\vec{OM}, \vec{n}) = p \ (|\vec{n}| = 1)$ - $x\cos{\alpha} + y\cos{\beta} + z\cos{\gamma} = p$ - $x\cos{\alpha} + y\cos{\beta} + z\cos{\gamma} - p = 0$ - Нормальное уравнение плоскости ### Перевод из общего уравнение плоскости в нормальное - $Ax + By + Cz + D = 0 \ |\cdot (\dfrac{1}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}) $ (Если свободный член $> 0, $ то $| \cdot (- \dfrac{1}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}})$ - $\underbrace{\dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}}_{\cos{\alpha}}x + \underbrace{\dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}}_{\cos{\beta}}y + \underbrace{\dfrac{C}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}}_{\cos{\beta}}z - \dfrac{D}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = 0$ ### Расстояние от точки до плоскости  - $d$ - расстояние от $M^{\star}$ до плоскости - $pr_{\vec{n}}(\vec{OM^{\star}}) = p + d$ - $x^{\star}\cos{\alpha} + y^{\star}\cos{\beta} + z^{\star}\cos{\gamma} = p + d$ - $x^{\star}\cos{\alpha} + y^{\star}\cos{\beta} + z^{\star}\cos{\gamma} - p = d$ ***Замечание***  - Если $\vec{OM^{\star}}$ по одну сторону от плоскости, то получим $x^{\star}\cos{\alpha} + y^{\star}\cos{\beta} + z^{\star}\cos{\gamma} - p = - d$ - Отклонения $\delta$ точки от плоскости, $\delta = \pm d$. Причем, если $M^{\star}$ и $O$ лежат по разные стороны от плоскости, $\delta = d$. $\delta = - d$ иначе. ### Уравнение биссектрисы плоскости двугранного угла  - $x\cos{\alpha_{1}} + y\cos{\beta_{1}} + z\cos{\gamma_{1}} - p_{1} = x\cos{\alpha_{2}} + y\cos{\beta_{2}} + z\cos{\gamma_{2}} - p_{2}$ ## Лекция 21.10.2022 ### Пучек плоскостей ***Определение*** - Пучек плоскостей - множество всех плоскостей, проходящих через данную прямую.  - Пучек задается прямой, которая задается любой парой плоскостей. ***Общая формула пучка плоскостей*** - $\alpha(A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1}) + \beta(A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2}) = 0$. Где $\alpha, \ \beta$ - любые числа. ### Прямая в пространстве - Прямая в пространстве может быть задана как система из двух уравнений плоскостей, пересечением которых она является.  - $\ell : \begin{equation*} \begin{cases} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 \end{cases} \end{equation*}$ ### Каноническое уравнение прямой в пространстве - Рассмотрим задачу: через данную точку провести прямую, параллельную данному вектору.  - Необходимое и достаточное условие принадлежности искомой прямой является коллинеарность векторов $\vec{M_{0}M}$ и $a$. Это означает пропорциональность их соответствующих координат. - $\dfrac{x - x_{0}}{l} = \dfrac{y - y_{0}}{m} = \dfrac{z - z_{0}}{n}$ ### Переход от общих уравнений прямой к каноническому в пространстве  - $\vec{a} = \left[\vec{N_{1}}, \vec{N_{2}}\right]$ - $\vec{N_{1}} = \left(A_{1}, B_{1}, C_{1} \right)$ - $\vec{N_{2}} = \left(A_{2}, B_{2}, C_{2} \right)$ ***Пример*** - $\ell : \begin{equation*} \begin{cases} x + y - z + 1 = 0 \\ 2x - y + 3z - 2 = 0 \end{cases} \end{equation*}$ - $\vec{N_{1}} = \left(1, 1, -1 \right)$ - $\vec{N_{2}} = \left(2, -1, 3 \right)$ - $\vec{a} = \left[\vec{N_{1}}, \vec{N_{2}}\right] = \begin{equation*} \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} \end{equation*} = \left(2, -5, -3 \right)$ - $z = 0 \implies \begin{equation*} \begin{cases} x + y = -1 \\ 2x - y = 2 \end{cases} \end{equation*} \implies x = \dfrac{1}{3}; y = - \dfrac{4}{3}$ - Искомое уравнение : $\dfrac{x - \dfrac{1}{3}}{2} = \dfrac{y + \dfrac{4}{3}}{-5} = \dfrac{z}{-3}$ ### Угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. - Даны две прямые : - $\ell_{1} : \dfrac{x - x_{1}}{l_{1}} = \dfrac{y - y_{1}}{m_{1}} = \dfrac{z - z_{1}}{n_{1}}$ - $\ell_{2} : \dfrac{x - x_{2}}{l_{2}} = \dfrac{y - y_{2}}{m_{2}} = \dfrac{z - z_{2}}{n_{2}}$ ***Определение угла между прямыми в пространстве*** - Углом между прямыми называют угол между их направляющими векторами $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}$ - $\cos{\phi} = \dfrac{\left(\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}} \right)}{|\vec{a_{1}}||\vec{a_{2}}|} $ ***Условие перпендикулярности прямых в пространстве*** - $\left(\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}} \right) = 0$ ***Условие параллельности прямых в пространстве*** - Параллельность направляющих векторов. ### Построение прямой по двум точкам в пространстве - Дано: $M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ - $\vec{a} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$ - В качестве точки на прямой можно взять любую, например $M_{1}$ - $\ell : \dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \dfrac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \dfrac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}$ ### Угол между прямой и плоскостью в пространстве - Угол между $\vec{a}$ и нормалью отличается от угла между плоскостью и вектором $\vec{a}$ дополнением до $\dfrac{\pi}{2}$. - Обозначим угол между $\vec{a}$ и плоскостью через $\phi$. Тогда угол между $\vec{N}$ и $\vec{a}$ будет $\dfrac{\pi}{2} - \phi$ - $\cos{\left(\dfrac{\pi}{2} - \phi\right)} = \dfrac{\left(\vec{N}, \vec{a}\right)}{|\vec{N}||\vec{a}|} = \sin{\phi}$. ### Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве ***Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве*** - $\vec{N} \parallel \vec{a} \implies \left(\vec{N}, \vec{a} \right) = 0$ ***Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве*** - $\vec{N} \perp \vec{a} \implies \dfrac{A}{l} = \dfrac{B}{m} = \dfrac{C}{n}$ ### Условие принадлежности данной прямой данной плоскости - $\ell : \dfrac{x - x_{0}}{l} = \dfrac{y - y_{0}}{m} = \dfrac{z - z_{0}}{n}$ - $\alpha : Ax + By + Cz + D = 0$  ***Условие принадлежности*** - $\left(\vec{N}, \vec{a}\right) = 0$ и $Al + Bm + Cn = 0$. - Какая - то точка прямой должна принадлежать плоскости, например $(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \implies Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D = 0$ ### Параметрические уравнения прямой - Пусть даны канонические уравнения прямой: $\dfrac{x - x_{0}}{l} = \dfrac{y - y_{0}}{m} = \dfrac{z - z_{0}}{n} = t$ - Имеем три уравнения с четырьмя переменными: $ \begin{equation*} \begin{cases} x - x_{0} = lt \\ y - y_{0} = mt \\ z - z_{0} = nt \end{cases} \end{equation*}$ $ \implies \begin{equation*} \begin{cases} x = x_{0} + lt \\ y = y_{0} + mt \\ z = z_{0} + nt \end{cases} \end{equation*}$ - С помощью этих параметрических уравнений легко находить точку пересечения прямой и плоскости:  - $\ell : \dfrac{x - x_{0}}{l} = \dfrac{y - y_{0}}{m} = \dfrac{z - z_{0}}{n} = t$ - $\pi : Ax + By + Cz + D = 0$ - Чтобы найти $\rho$ используем параметрические уравнения $\ell$ и подставим $x, y, z$ из этих уравнений в уравнение плоскости. - $A(x_{0} + lt) + B(y_{0} + mt) + C(z_{0} + nt) + D = 0$. Получим одно уравнение с $t$. - Находим $t$ и подставляем в параметрические уравнения. Это и будут координаты точек пересечения $\rho$. ***Примеры*** - Опустить $\perp$ из данной точки на данную плоскость. - Запишем канонические уравнения искомого перпендикуляра $\dfrac{x - x_{0}}{A} = \dfrac{y - y_{0}}{B} = \dfrac{z - z_{0}}{C}$ - Провести через данную точку плоскость, параллельную данной плоскости.  - Дано : $\pi : Ax + By + Cz + D = 0$, $M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ - Нормаль искомой плоскости совпадает с нормалью данной плоскости $\vec{N} = (A, B ,C)$. - Получим : $A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0$ ### Условие принадлежности двух прямых плоскости в пространстве  - $\ell_{1} : \dfrac{x - x_{1}}{l_{1}} = \dfrac{y - y_{1}}{m_{1}} = \dfrac{z - z_{1}}{n_{1}}$ - $\ell_{2} : \dfrac{x - x_{2}}{l_{2}} = \dfrac{y - y_{2}}{m_{2}} = \dfrac{z - z_{2}}{n_{2}}$ - Воспользуемся условием компланарности трех векторов $(\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, \vec{M_{1}M_{2}}) : \begin{vmatrix} x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ l_{1} & m_{1} &n_{1} \\ l_{2} & m_{2} &n_{2} \end{vmatrix} = 0$ ### Скрещивающиеся прямые в пространстве - Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.  ***Пример*** - Написать уравнение плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых, параллельно другой из них.  - $\ell_{1} : \dfrac{x - x_{1}}{l_{1}} = \dfrac{y - y_{1}}{m_{1}} = \dfrac{z - z_{1}}{n_{1}}$ - $\ell_{2} : \dfrac{x - x_{2}}{l_{2}} = \dfrac{y - y_{2}}{m_{2}} = \dfrac{z - z_{2}}{n_{2}}$ - Для уравнения нужна нормаль $\vec{N} = [\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}] = (A, B, C) $ и точка $M(x_{1}, y_{1}, z_{1})$. - Искомая плоскость : $A(x - x_{1}) + B(y - y_{1}) + C(z - z_{1}) = 0$ ### Пучек и связка плоскостей ***Определение связки плоскостей*** - Связка плоскостей - совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку. - Дана точка $M_{0}(x_{0},y_{0}, z_{0})$. Уравнение связки плоскостей : $A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0$. Где $A, B, C$ - произвольные числа, не равные нулю одновременно. ### Условие прохождения трех различных плоскостей через одну и только одну точку. - Дано: $ \begin{equation*} \begin{cases} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 \\ A_{3}x + B_{3}y + C_{3}z + D_{3} = 0 \end{cases} \end{equation*}$ - По правилу Крамера условие единственности решения системы : $\begin{equation*} \begin{vmatrix} A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \\ A_{3} & B_{3} & C_{3} \end{vmatrix} \end{equation*} = 0$ ## Лекция 18.11.2022 ### Прямая в пространстве  - $ \begin{equation*} \begin{cases} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 \\ \end{cases} \end{equation*}$ - Общее уравнение прямой, можно описать эту же прямую любой другой парой плоскостей пучка. - Общий вид плоскостей пучка: $\alpha(A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1}) + \beta(A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2}) = 0$ ### Некоторые задачи на прямую и плоскость - Условие пересечения трех различных плоскостей в одной и только одной точке - $ \begin{equation*} \begin{cases} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{3} = 0 \end{cases} \end{equation*}$ - По правилу Крамера система имеет единственное решение когда определитель системы отличен от нуля - $\Delta = \begin{equation*} \begin{vmatrix} A_{1} & B_{1} & C_{1} \\ A_{2} & B_{2} & C_{2} \\ A_{3} & B_{3} & C_{3} \end{vmatrix} \end{equation*} \neq 0$ - Даны две плоскости. Написать уравнения биссекторных плоскостей.  - Приведем каждое из уравнений плоскостей к нормальному виду - $x\cos{\alpha} + y\cos{\beta} + z\cos{\gamma} - p = 0$ - $\alpha, \beta, \gamma$ - углы нормального вектора плоскости с осями координат. - $p$ - расстояние от начала координат до плоскости - Переход от общего уравнения плоскости к нормальному: - $Ax + By + Cz + D = 0 \bigg| \cdot \left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\right)$ - $\dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}x + \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}y + \dfrac{C}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}z - \dfrac{|D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = 0$ - Уравнение биссекторных плоскостей: - $x\cos{\alpha_{1}} + y\cos{\beta_{1}} + z\cos{\gamma_{1}} - p_{1} = \pm \left(x\cos{\alpha_{2}} + y\cos{\beta_{2}} + z\cos{\gamma_{2}} - p_{2}\right)$ - Условие пересечения данной плоскости отрезка $AB$  - Запишем плоскость в нормальном виде - Найдем отклонения точки $A$ и $B$ от плоскости $\delta_{A}, \delta_{B}$ - Условие пересечения: знаки $\delta_{A}$ и $\delta_{B}$ - разные - Даны две точки $A$ и $B$. Выяснить лежат ли эти точки: - В одном углу между двумя плоскостями  - Вычислим отклонения этих точек от обеих плоскостей: - $\delta_{A}^{1},\ \delta : \ \delta_{A}^{1}, \ \delta_{B}^{1}$ - один знак - $\delta,\ \delta_{B}^{2} : \ \delta_{A}^{2}, \ \delta_{B}^{2}$ - один знак - В смежных углах -  - Знаки отклонения точек $A$ и $B$ от первой плоскости - разные, от второй - одинаковые - В вертикальных углах -  - Отклонения $A$ и $B$ от первой плоскости - разные, от второй - разные. - Опустить $\perp$ из данной точки на данную плоскость  - Уравнение плоскости : $Ax + By + Cz + D = 0$ - $A,\ B, \ C$ - координаты нормали вектора $\vec{N}(A,B,C)$ - Известны координаты направлений вектора - перпендикуляра, каноническое уравнение: - $\dfrac{x - x_{0}}{l} = \dfrac{y -y_{0}}{m} = \dfrac{z - z_{0}}{n}$ - $\vec{a} = (l, m, n)$ - направляющий вектор - $\dfrac{x - x_{0}}{A} = \dfrac{y - y_{0}}{B} = \dfrac{z - z_{0}}{C}$ - Через данную прямую провести плоскость $\perp$ данной плоскости - $L : \dfrac{x - x_{0}}{l} = \dfrac{y - y_{0}}{m} = \dfrac{z - z_{0}}{n}$ - Точка искомой плоскости: $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ - Вектор нормали : $\vec{N} = \left[\vec{N_{0}}, \vec{a}\right]$ - Векторы данной плоскости $\vec{N_{0}} = \left(A,B,C\right)$ - $A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0$ - Через данную прямую провести плоскость $\parallel$ данной плоскости  - Точка искомой плоскости известна: $P(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ - $\vec{N}$ - нормальный вектор совпадает с нормальным вектором данной плоскости $\vec{N} = (A, B, C)$ - $A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0$ - Условие принадлежности двух прямых данной плоскости  - $L_{1} : \dfrac{x - x_{1}}{l_{1}} = \dfrac{y - y_{1}}{m_{1}} = \dfrac{z - z_{1}}{n_{1}}$ - $L_{2} : \dfrac{x - x_{2}}{l_{2}} = \dfrac{y - y_{2}}{m_{2}} = \dfrac{z - z_{2}}{n_{1}}$ - Условие принадлежности двух прямых - компланарность векторов $\vec{a_{1}}, \ \vec{a_{2}}$ и $\vec{M_{1}}, \ \vec{M_{2}}$, то есть смешанное произведение равно $0$: - $\begin{equation*} \begin{vmatrix} x_{2} - x_{1} & y_{2} - y_{1} & z_{2} - z_{1} \\ l_{1} & m_{1} & n_{1} \\ l_{2} & m_{2} & n_{2} \end{vmatrix} \end{equation*} = 0$ - Даны две прямые $L_{1}, \ L_{2}$. Провести через $L_{1}$ плоскость $\parallel$ $L_{2}$  - $L_{1} : \dfrac{x - x_{1}}{l_{1}} = \dfrac{y - y_{1}}{m_{1}} = \dfrac{z - z_{1}}{n_{1}}$ - $L_{2} : \dfrac{x - x_{2}}{l_{2}} = \dfrac{y - y_{2}}{m_{2}} = \dfrac{z - z_{2}}{n_{2}}$ - Для наклонной плоскости нужны точка $M_{0}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и вектор нормали $\vec{N} = \left[\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}\right] = \begin{equation*} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ l_{1} & m_{1} & n_{1} \\ l_{2} & m_{2} & n_{2} \end{vmatrix} \end{equation*}$ - Провести плоскость через данную точку $\perp$ данной прямой  - $L_{1} : \dfrac{x - x_{0}}{l} = \dfrac{y - y_{0}}{m} = \dfrac{z - z_{0}}{n} $ - Искомое уравнение $l\left(x - x^{\star}\right) + m\left(y - y^{\star}\right) + n\left(z - z^{\star}\right) = 0$ - Провести плоскость через данную прямую и не принадлежащую ей точку  - $L : \dfrac{x - x_{0}}{l} = \dfrac{y - y_{0}}{m} = \dfrac{z - z_{0}}{n} $ - Точка искомой плоскости: $M^{\star}$. Нормальный вектор искомой плоскости: $\vec{N} = \left[\vec{a}, \vec{M_{0}M^{\star}}\right]$ - Через данную точку провести $\perp$ к заданной прямой  - Можно свести к предыдущей задаче - Провести через $M^{\star}$ плоскость $\perp$ $L$. - Найти $m \times p$ и получить направляющий вектор искомого перпендикуляра: $\vec{a} = \vec{pM}$ - Написать уравнение общего перпендикуляра двум скрещивающимся прямым  - Направляющий вектор $\vec{a} = \left[\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}\right]$. $m$ - любая из $L_{1}$ и $L_{2}$ - Найти расстояние между скрещивающимися прямыми  - Искомое расстояние $d$ - проекция вектора $\vec{M_{1}M_{2}}$ на общий $\perp$ - $pr_{b}(\vec{a}) = \dfrac{\left(\vec{a}, \vec{b}\right)}{|b|}$ - $\vec{N}_{\perp} = \left[\vec{a_{1}},\vec{a_{2}} \right]$ - $d = \dfrac{\left(\left[\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}\right], \vec{M_{1}M_{2}}\right)}{\left|\left[\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}\right]\right|}$ ## Лекция 02.12.2022 ### Кривые второго порядка #### Эллипс - Эллипс - это геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек есть величина $2a$  - $MF_{2} = \sqrt{(x + F_{x})^{2} + y^{2}}$ - $MF_{1} = \sqrt{(x - F_{x})^{2} + y^{2}}$ - $MF_{1} + MF_{2} = 2a$ - $F_{x} = \left|F_{1_{x}}\right|$ - $\sqrt{(x + F_{x})^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - F_{x})^{2} + y^{2}} = 2a$ - $\sqrt{(x + F_{1_{x}})^{2} + y^{2}} = 2a - \sqrt{(x - F_{x})^{2} + y^{2}}$ - $(x + F_{x})^{2} + y^{2} = 4a^{2} - 4a\sqrt{(x - F_{x})^{2} + y^{2}} + (x - F_{x})^{2} + y^{2}$ - $4a\sqrt{(x - F_{x})^{2} + y^{2}} = 4a^{2} - 4xF_{x}$ - $a\sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = a^{2} - xc$ - $a^{2}\left[\left(x - F_{x}\right)^{2} + y^{2}\right] = a^{4} - 2a^{2}xF_{x} + x^{2}F_{x}^{2}$ - $a^{2}\left(x^{2} - 2xF_{x} + F_{x}^{2} + y^{2}\right) = a^{4} - 2a^{2}xF_{x} + x^{2}F_{x}$ - $a^{2}\left(x^{2} + F_{x}^{2} + y^{2}\right) = a^{4} + x^{2}F_{x}^{2}$ - $a^{2}x^{2} - F_{x}^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} = a^{4} - a^{2}F_{x}$ - $\left(a^{2} - F_{x}^{2}\right)x^{2} + a^{2}y^{2} = a^{2}(a^{2} - F_{x}^{2})$ - $a > 0 \implies a^{2} - F_{x}^{2} > 0 \implies a^{2} - F_{x}^{2} = b^{2}$ - $b^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}$ - $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ***Эксцентриситет эллипса*** - $e = \dfrac{c}{a}$ ***Директриса эллипса*** - $x = \pm \dfrac{a}{e}$ #### Гипербола - Гипербола - это геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек есть величина постоянная  - $MF_{2} = \sqrt{(x + F_{x})^{2} + y^{2}}$ - $MF_{1} = \sqrt{(x - F_{x})^{2} + y^{2}}$ - $|MF_{1} - MF_{2}| = 2a$ - $F_{x} = \left|F_{1_{x}}\right|$ - $|\sqrt{(x - F_{x})^{2} + y^{2}} - \sqrt{(x + F_{x})^{2} + y^{2}}| = 2a$ - $(x - F_{x})^{2} + y^{2} - 2\sqrt{(x - F_{x})^{2} + y^{2}}\sqrt{(x + F_{x})^{2} + y^{2}} + (x + F_{x})^{2} + y^{2} = 4a^{2}$ - $2x^{2} + F_{x}^{2} + 2y^{2} - 4a^{2} = 2\sqrt{(x - F_{x})^{2} + y^{2}}\sqrt{(x + F_{x})^{2} + y^{2}}$ - $\dots$ - $b^{2} = F_{x}^{2} - a^{2}$ - $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ***Уравнение асимптоты гиперболы*** - $\dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \dfrac{x^{2}}{a^{2}} - 1$ - $y^{2} = \dfrac{b^{2}}{a^{2}}x - b^{2}$ - $y = \pm \sqrt{\dfrac{b^{2}}{a^{2}}x - b^{2}}$ - $\lim{x}{\infty} \dfrac{y}{y_{a}} = 1$ - $k = \ \lim{x}{\infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{b^{2}}{a^{2}}x - b^{2}}}{kx + b} = 1 \implies \dfrac{b}{a}$ - $y = \pm \dfrac{b}{a}x$ #### Парабола - Парабола - это геометрическое место точек, расстояние которых до данной фиксированной точки равно расстоянию до данной фиксированной прямой.  - $r = d$ - $r = \sqrt{\left(x - \dfrac{p}{2}\right)^{2} + y^{2}}$ - $d = \sqrt{\left(x + \dfrac{p}{2}\right)^{2}}$ - $\sqrt{(x - \dfrac{p}{2})^{2} + y^{2}} = \sqrt{\left(x + \dfrac{p}{2}\right)^{2}}$ - $\left(x - \dfrac{p}{2}\right)^{2} + y^{2} = \left(x + \dfrac{p}{2}\right)^{2}$ - $-px + y^{2} = px$ - $y^{2} = 2px$ - Каноническое уравнение параболы ### Исследование общего уравнения второго порядка и упращение его с помощью преобразования системы координат #### Центральная кривая - $a_{11}x^{2} + a_{22}y^{2} + 2a_{12}xy + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$ - Чтобы избавиться от линейных членов сделаем параллельный перенос осей координат - $ \begin{equation*} \begin{cases} x = x' + x_{0} \\ y = y' + y_{0} \end{cases} \end{equation*}$ - $a_{11}(x' + x_{0})^{2} + a_{22}(y' + y_{0})^{2} + 2a_{12}(x' + x_{0})(y' + y_{0}) + 2a_{13}(x' +x_{0}) + 2a_{23}(y' + y_{0}) + a_{33} = 0$ - Приравняем коэффициенты при линейных членах к нулю - $ \begin{equation*} \begin{cases} x': 2a_{11}x_{0} + 2a_{12}y_{0} + 2a_{13} = 0 \\ y' :2a_{12}x_{0} + 2a_{22}y_{0} + 2a_{23} = 0 \end{cases} \sim \begin{cases} a_{11}x_{0} + a_{12}y_{0} + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_{0} + a_{22}y_{0} + a_{23} = 0 \end{cases} \end{equation*}$ - По правилу Крамера система имеет и притом единственное решение, когда ее определитель отличен от нуля. - $\delta = \begin{equation*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix} \end{equation*} \neq 0 \implies$ кривая имеет центр симметрии $(x_{0}, y_{0})$ и называется ***Центральной*** - $a_{11}x^{2} + a_{22}y^{2} + 2a_{12}xy + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33}' = 0$ - $a_{33}' = a_{11}x_{0}^{2} + a_{22}y_{0}^{2} + 2a_{12}x_{0}y_{0} + 2a_{13}x_{0} + 2a_{23}y_{0}$ - Сделаем поворот осей координат на некоторый угол: $ \begin{equation*} \begin{cases} x': \hat{x} \cos{\alpha} - \hat{y}\sin{\alpha} \\ y': \hat{y} \cos{\alpha} + \hat{x}\sin{\alpha} \end{cases} \end{equation*} $ - $a_{11}(\hat{x}\cos{\alpha} - \hat{y}\cos{\alpha})^{2} + a_{22}(\hat{x}\sin{\alpha} + \hat{y}\cos{\alpha})^{2} + 2a_{12}(\hat{x}\cos{\alpha} - \hat{y}\cos{\alpha})(\hat{x}\sin{\alpha} + \hat{y}\cos{\alpha}) + a_{33}'$ - Найдем коэффициенты при $\hat{x}\hat{y}$: - $-2a_{11}\cos{\alpha}\sin{\alpha} + 2a_{22}\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 2a_{12}\cos{\alpha}^{2} - 2a_{12}\sin{\alpha}^{2} = 0 \big| \cdot \dfrac{1}{\cos{\alpha}^{2}}$ - $-a_{11}\tg{\alpha} + a_{22}\tan{\alpha} + a_{12} - a_{12}\tg{\alpha}^{2} = 0$ - $-a_{12}\tg{\alpha}^{2} + (a_{22} - a_{11})\tg{\alpha} + a_{12} = 0$ - Решение существует, когда $D \geq 0$. - $D = (a_{22} - a_{11})^{2} + 4a_{12}^{2}$ - Нашли $\alpha$ , после которого уравнение примет вид: - $\hat{a_{11}} \hat{x}^{2} + \hat{a_{22}}\hat{y}^{2} + a_{33}'' = 0$ - $\hat{a_{11}} \hat{x}^{2} + \hat{a_{22}}\hat{y}^{2} = - a_{33}'' \bigg| - \dfrac{1}{a_{33}'}$ - $\dfrac{x^{2}}{-\dfrac{a_{33}'}{\hat{a_{11}}}} + \dfrac{y^{2}}{-\dfrac{a_{33}'}{\hat{a_{22}}}} = 1$ - $- \dfrac{a_{33}'}{ \hat{a_{11}}} > 0$ и $- \dfrac{a_{33}'}{\hat{a_{22}}} > 0 \implies \dfrac{\hat{x}^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\hat{y}^{2}}{b^{2}} = 1$ - Если оба отношения отрицательны, то решения нет. Эта кривая называется мнимым эллипсом. - Если отношения разных знаков, то кривая - гипербола. - Если $a'_{33} = 0$ и $\hat{a_{11}}, \hat{\ a_{22}}$ - одинакового знака, то кривая - вырожденный эллипс. Если $\hat{a_{11}}, \hat{\ a_{22}}$ разных знаков, то имеем две пересекающиеся прямые #### Нецентральная кривая - Можем показать, что $\delta$ - инвариант - $\delta = \begin{equation*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix} \end{equation*} = a_{11}a_{22} - a_{12}^{2} = 0$ - Параллельного переноса нет, делаем поворот на $\alpha$, при этом $\delta = 0$. - При $\hat{x}\hat{y}$ получим: $a_{11}'x'^{2} + a_{22}'y'^{2} + 2a_{13}'x' + 2a_{23}'y' + a_{33} = 0$ - $\delta = \begin{equation*} \begin{vmatrix} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \end{vmatrix} \end{equation*} = a_{11}a_{22} = 0$ - Остается только один член: - $a_{11}'x'^{2} + 2a_{13}'x' + 2a_{23}'y' + a_{33} = 0$. Дополним до полного квадрата по $x'$ - $a_{11}'\left(x'^{2} + 2\dfrac{a_{13}'}{a_{11}'}x' + \left(\dfrac{a_{13}'}{a_{11}'}\right)^{2}\right) - \dfrac{a_{13}'^{2}}{a_{11}'} + 2a_{23}y' + a_{33} = 0$ - $a_{33}' = a_{33} - \dfrac{a_{13}'^{2}}{a_{11}'} $ - $ \begin{equation*} \begin{cases} \hat{x} = x' + \dfrac{a_{13}'}{a_{11}'} \\ \hat{y} = y' \end{cases} \end{equation*} \implies a_{11}'\hat{x}^{2} + 2a_{23}\hat{y} + a_{33}' = 0$ - $y'' = \hat{y} + \dfrac{a_{33}}{2a_{23}} \implies a_{11}'\hat{x}^{2} + 2a_{23}'(\hat{y} + \dfrac{a_{33}'}{2a_{23}'}) = 0$ - Заменим: $\hat{x} = x''$, $\hat{y} = y'' - \dfrac{a_{33}'}{2a_{23}'}$ - Получим: $a_{11}'x''^{2} = -2a_{23}'y''$ - Исходя из общего вида: $a_{11}'x^{2} + 2py + q = 0$: - $p = 0, \ q = 0 \implies x^{2} = 0$ - Вертикальная прямая - $p = 0 \implies x = \pm \sqrt{\dfrac{q}{a_{11}}}$ - $q = 0 \implies 2py = -a_{11}x^{2}$ - Парабола ## Лекция 16.12.2022 ### Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду - $a_{11}x^{2} + a_{22}y^{2} + a_{33}z^{2} + 2a_{12}xy + 2a_{13}xz + 2a_{23}yz + 2a_{14}x + 2a_{24}y + 2a_{34}z + a_{44} = 0$ - Сделаем параллельный перенос : $ \begin{equation*} \begin{cases} x = x' + x_{0} \\ y = y' + y_{0} \\ z = z' + z_{0} \\ \end{cases} \end{equation*}$ - $ \begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{0} + a_{12}y_{0} + a_{13}z_{0} + a_{14} = 0 \\ a_{12}x_{0} + a_{22}y_{0} + a_{23}z_{0} + a_{24} = 0 \\ a_{13}x_{0} + a_{23}y_{0} + a_{33}z_{0} + a_{34} = 0 \\ \end{cases} \end{equation*}$ - Если $\Delta_{3} \neq 0 \implies$ Поверхность центральная, сделаем поворот системы координат и получим сумму квадратов $a_{11}'x'^{2} + a_{22}'y'^{2} + a_{33}'z'^{2} + a_{44}' = 0$ ### Классификация центральносимметричных поверхностей второго порядка #### Эллипсоид  - $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} + \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ #### Однополостный Гиперболоид  - $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ #### Двуполостный Гиперболоид  - $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = -1$ ### Классификация нецентральносимметрических поверхностей второго порядка #### Эллиптический параболоид  - $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 2pz$ #### Гиперболический параболоид  - $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 2pz$ ### Матрицы и определители ***Определение*** - Матрица - прямоугольная таблица размера $m \times n$ - $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{22} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}$ ### Алгебраические операции с матрицами - $A + B = C, \ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ - $\lambda A = C, \ c_{ij} = \lambda a_{ij}$ - $AB = C, \ c_{ij} = \sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$ ### Диагональная матрица - $A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ 0 & \dots & \dots & 0\\ 0 & 0 & \dots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}$ - $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & \dots & 0\\ 0 & 0 & \dots & 1\\ \end{pmatrix}, \ \forall A : AE = A, \ EA = A$ ### Определитель матрицы ***Обозначение*** - $det{A}$ ***Определение*** - Определителем $n -$ ого порядка квадратной матрицы называется сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и столбца. Сумма произведений по всевозможным перестановкам из индексов элементов. Каждое такое слагаемое называется членом определителя, взятым со знаком $(-1)^{n}$, где $n$ - четность перестановок из индексов элементов, составляющих член определителя. - $det{A} = \sum\limits_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sgn}({\sigma})a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\dots a_{n\sigma(n)}$ ### Перестановки ***Определение*** - Перестановка из некоторых чисел - упорядоченный набор этих чисел - $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \cdots & \sigma(n-1) & \sigma(n) \end{pmatrix}$ - Если какую - то перестановку считать главной, то все остальные получаются из нее транспозициями (взаимное изменение мест двух чисел перестановки) ### Четность перестановки - Определяется количеством инверсий в этой перестановке ### Инверсия перестановки - Инверсией в перестановке является факт наличия чисел $i < j, \ \sigma(i) > \sigma(j)$ ***Утверждение*** - Одна транспозиция меняет четность перестановки ### Правило вычисления определителя - $det{A} = \sum\limits^{n}_{i = 1} a_{ij} \cdot A_{ij}$ - $a_{ij}$ - элемент $A$ - $A_{ij}$ - алгебраическое дополнение $a_{ij}$. Получается вычеркиванием $i$ строки и $j$ ого столбца ### Определение минора - Определитель $M$ $(n - 1)$ порядка называется минором $a_{ij}$ и алгебраическим дополнением $A_{ij} = (-1)^{i + j} M$ ### Упрощение определителя на основании его свойств - При транспонировании определитель не меняется - $det{A} = 0$, если в квадратной матрице имеются одинаковые или пропорциональные строки - Если каждый элемент строки домножить на $\lambda$, то получим $\lambda det$ - К любой строке можно прибавить другую строку с произвольным множителем и определитель не изменится - Если строки в квадратной матрице поменять местами, то опредлеитель изменит знак